PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-57

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asíntota x  y  0 corta a la curva, siendo las pendientes de sus tangentes −1  115 . La curva es
tangente a la asíntota x − y  0 en el punto 1,1.
1
2
3
4
5
( I ) ( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig D
Y-X=0
Fig B
X=0
Y+X=0
Fig C Fig E
Y=0
( V )
1
2
3
4
5
( I ) ( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig D
Y-X=0
Fig B
X=0
Y+X=0
Fig C Fig E
Y=0
( V )
El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2
-2
2
E 136- Dibujar la curva x2  y22  xx2 − y2  2x2  3x  1  0.
Solución: La curva es simétrica respecto al eje XX′. La determinatriz (I) del diagrama de
Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota general; como es x2  y22  0 indica que es
imaginaria, siendo la curva cerrada. La determinatriz (II) se refiere a la intersección con el eje XX′: −1,0
y −0.45,0. La determinatriz (III), y4  1  0, corresponde a la intersección con el eje YY ′, al que no
corta. Ordenando la ecuación dada, se tiene: y4  2x2 − xy2  x4  x3  2x2  3x  1  0. Dando valores
a x, se obtienen los dos valores correspondientes para y. Por ejemplo, para x  −0.7, y  0.35.
1
2
3
4
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678
( I )
( II )
( III )
Fig A
1
2
3
4
5
678
( I )
( II )
( III )
Fig A
El dibujo de la curva es el siguiente:
-1.0 -0.5
-0.5
0.0
0.5
169
E 137- Dibujar la curva x7  3x2y2  2y3  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), se refiere a la rama
parabólica según el eje YY ′: x7  2y3  0 (figura B). La determinatriz (II) se refiere a la tangente en el
origen: y  0, estando definida la posición de la curva por yc − yt   −x
5
3 (figura C). La determinatriz
(III) corresponde a la tangente en el origen: y  0, estando la posición de la curva determinada por
yc − ya  −3x
2
2 (figura D).
1
2
3
( I )
( II )
( III )
Fig A Fig B Fig C
Y=0
Fig D
Y=0
1
2
3
( I )
( II )
( III )
Fig A Fig B Fig C
Y=0
Fig D
Y=0
El dibujo de la curva es el siguiente:
-1 1
-1
1
E 138- Dibujar la curva y − xx3y − y  xx2y − xy2 − x2  y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), se refiere a la asíntota: x  0,
estando dada la posición de la curva por x  1y (figura B). La determinatriz (II) se refiere a las asíntotas
paralelas al eje YY ′: x2 − x − 1  0; la posición de la curva respecto a: x  1  52 se obtiene añadiendo
la primera paralela, lo que da xc − xa ≃ 3.8y (figura C), y respecto a: x 
1 − 5
2 , xc − xa ≃
−0.8
y
(figura D). La determinatriz (III) corresponde a la asíntota general; añadiendo la primera paralela, se tiene
la asíntota: y  x  2, estando dada la posición de la curva, por yc − ya  1x (figura E). La determinatriz
(IV) corresponde a la asíntota: y  0; la posición de la curva está dada por yc − ya  −1x2
(figura F). La
determinatriz (V) corresponde a la tangente en el origen: y  0; la posición de la curva está dada por
yc − ya  x2 (figura G). La curva solo corta a los ejes en el origen.
1
2
3
4
5
6
7
( I )
( II )
( III )
( IV )( V )
Fig A Fig B
X=0
Fig C Fig D Fig G
Y=0
Fig E
Y=X+2
Fig F
Y=0
X=(1+ )/2 X=(1- )/2551
2
3
4
5
6
7
( I )
( II )
( III )
( IV )( V )
Fig A Fig B
X=0
Fig C Fig D Fig G
Y=0
Fig E
Y=X+2
Fig F
Y=0
X=(1+ )/2 X=(1- )/255X=(1+ )/2 X=(1- )/25555
170
El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2 4
-10
10
E 139- Dibujar la curva x3yy − x − y3  2xy2 − x2  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), corresponde a la rama
parabólica según el eje YY ′: y  x3 (figura B). La determinatriz (II) se refiere a la asíntota general:
y − x  0, estando dada la posición de la curva, por yc − ya  −1x (figura C). Los puntos de intersección
de esta asíntota con la curva son 1,1 y el origen. La determinatriz (III) corresponde a la asíntota: y  0,
estando determinada la posición de la curva, por yc − ya  −1x2
. La determinatriz (IV) se refiere a la
tangente en el origen: y  0, estando dada la posición de la curva, por yc − yt  − 3 x2 (figura E).
1
2
3
4
5
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
Y-X=0
Fig CFig B Fig D
Y=0
Fig E
x=0
1
2
3
4
5
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
Y-X=0
Fig CFig B Fig D
Y=0
Fig E
x=0
El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2
-2
2
E 140- Dibujar la curva y − x2x4y2 − 2y  x3x2y  2x4 − 5x3y  3x2y2 − xy3  4y4  0.
Solución: La curva es simétrica respecto al origen de coordenadas. La determinatriz (I) del diagrama de
Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota paralela al eje YY ′, siendo la posición de la curva
x2 − 22  0, luego es imaginaria. La determinatriz (II) corresponde a la asíntota general de dirección:
y − x2  0; añadiendo la primera paralela, se tiene: y − x2  16; añadiendo la segunda paralela, se
tiene la posición de la curva respecto a: y  x  4, que viene dada por yc − ya  4x (figura B), y para:
y  x − 4, por yc − ya  4x (figura C). La curva corta a la asíntota y  x  4, en tres puntos cuyas
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