PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-60

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tangentes en el origen, son: y   5 6 x12 . Corta al eje XX
′ en: 0,0, 5,0. Corta al eje YY ′ en: 0,0,
0,2 6 . El punto 0,2 6 es un máximo, y el punto 0,−2 6 es un mínimo. La curva es tangente
a: x  4, en los puntos 4,2 3 , y es tangente a: x  5, en los puntos 5,2 6 . El dibujo de la
curva es el siguiente (se han dibujado en línea de trazos las asíntotas):
-5 5
-5
5
E 150- Dibujar la curva x4 − y4  x3  y3 − 3xy  0.
Solución: La curva tiene una asíntota paralela a la primera bisectriz, teniéndose que:
yx
lim y − x 
yx
lim x
3  y3 − 3xy
x2  y2x  y
 12 −
3
4x , luego la asíntota es: y  x 
1
2 , siendo yc − ya 
−3
4x . La
curva corta a esta asíntota en los puntos de coordenadas: −5  3124 ,
7  31
24 . Tiene una asíntota
paralela a la segunda bisectriz, teniéndose que:
y−x
lim y  x 
y−x
lim x
3  y3 − 3xy
x2  y2y − x
 −34x , luego la
asíntota es la segunda bisectriz, siendo yc − ya  −34x . La curva corta a esta asíntota en 0,0, siendo las
tangentes en este punto, los ejes: x  0, y  0. El dibujo de la curva es el siguiente (se han dibujado en
línea de trazos las asíntotas):
-4 -2 2 4
-5
5
E 151- Dibujar la curva x4 − x2y2 − 2x2  4y2 − 4y  1  0.
Solución: La curva es simétrica respecto al eje YY ′. La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer
(figura A) corresponde a las asíntotas: x  2. Añadiendo la primera paralela se tiene: x2 − 4  −4y .
Luego para la asíntota: x  2  0, xc − xa  1y (figura B). Para la asíntota: x − 2  0, xc − xa 
−1
y
(figura C). Los puntos de intersección con estas asíntotas, son: 2, 94 . La determinatriz (II) define las
asíntotas: y  x  0. Añadiendo la primera paralela se tiene: x2 − y2  2x
2 − 4y2
x2
. Luego para la asíntota:
y  x  0, se tiene yc − ya  −1x (figura D). Para la asíntota: y − x  0, se tiene yc − ya 
1
x (figura D).
La curva corta a estas asíntotas en los puntos de ordenada y  2  22 . La curva corta a los ejes en los
puntos 1,0, que son mínimos, y en 0, 12 , que es un punto doble en el que las pendientes de las
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tangentes son  34 . También son puntos dobles  3 ,2 .
1
2
3
4
5
6
(I)
(II)
(III)
(IV)
Fig A
X+2=0 X-2=0
Fig B Fig C
Y+X=0
Fig E
Y-X=0
Fig D
1
2
3
4
5
6
(I)
(II)
(III)
(IV)
Fig A
X+2=0 X-2=0
Fig B Fig C
Y+X=0
Fig E
Y-X=0
Fig D
El dibujo de la curva es el siguiente (en líneas de trazos se han incluido las asíntotas):
-4 -2 2 4
-5
5
E 152- Dibujar la curva x4 − 4y3 − 12y2 − 8x2  16  0.
Solución: La curva es simétrica respecto al eje YY ′. Siendo: x2  4  2y y  3 , hay curva para y  −3.
No tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica según el eje OY. Corta a los ejes en: 2,0, 0,1 y 0,−2.
Las pendientes de las tangentes en 2,0, que son puntos dobles, son:  13 Las de las tangentes en
0,−2, que es punto doble, son:  23 . El punto 0,1 es un máximo. Los puntos 2,−3 son mínimos.
El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2 4
-5
5
179
180