PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-63

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Y=X+4
Fig A Fig B
Y=0
Y=X-4
Fig C
Y=X+4
Fig A Fig B
Y=0
Y=X-4
Fig C
El dibujo de la curva es el siguiente:
-10 10 20
-10
10
-10 10 20
-10
10
E 167- Dibujar la curva x  2t
1  t2
, y  4t
2
1 − t4
.
Solución: 1º) Intervalo de existencia y simetría: Como xt2 − 2t  x  0, t  1  1 − x
2
x , luego la curva
es real para −1 ≤ x ≤ 1. La curva es simétrica con relación a los ejes XX′, YY ′, y por tanto con relación al
origen. 2º) Asíntotas: Para t  1, y  , la asíntota es: x  1; xc  xa (figura A). Para t  −1, y  , la
asíntota es: x  −1; xc  xa (figura B). 3º) Intersección con los ejes: t  0, 0,0, siendo 0 la pendiente de
la tangente. 4º) Máximos y mínimos: Para y ′  0, t  0 y t  , ya estudiados.
Fig A
X=1
Fig B
X=-1
Fig A
X=1
Fig B
X=-1
El dibujo de la curva es el siguiente:
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-2
2
E 168- Dibujar la curva x  t
t2 − 1
, y  t − 2
t2  t − 2
.
Solución: 1º) Asíntotas: Para t  1, x  , y  , a 
t→1
lim yx 
−2
3 , b  t→1
lim y  2x3 
11
18 , luego la
asíntota es: y  −2x3 
11
18 ; para t  1  , con  → 0, x 
1
2 , yc − ya 
−25
108 , luego para   0,
x  0, yc  ya, y para   0, x  0, yc  ya (figura A). Para t  −1, x  , la asíntota es: y  32 ; para
187
t  −1  , con  → 0, x  12 , yc − ya 
−5
4 , luego para   0, x  0, yc  ya, y para   0, x  0,
yc  ya (figura B). Para t  −2, y  , la asíntota es: x  −23 ; para t  −2  , con  → 0, y 
4
3 ,
xc − xa  −59 , luego para   0, y  0, xc  xa, y para   0, y  0, xc  xa (figura C). 2º) Intersección
con los ejes y pendiente m de la tangente: Para t  0, 0,1, m  0. Para t  2, 23 ,0 , m 
−9
20 . Para
t  , 0,0, m  1. 3º) Máximos y mínimos: Para y ′  0, se tienen los valores t  0, t  4. Ya se ha
estudiado t  0, que da el mínimo 0,1. Para t  4, se tiene el máximo 415 ,
1
9 . 4º) Punto de cruce: Se
plantea el sistema: t1
t12 − 1
 t2
t22 − 1
, t1 − 2
t12  t1 − 2
 t2 − 2
t22  t2 − 2
, cuya solución es t  −1  174 , que
corresponde al punto doble −2,2.
Y=-2X/3+11/18 X=-2/3
Fig A Fig B Fig C
Y=3/2Y=-2X/3+11/18 X=-2/3
Fig A Fig B Fig C
Y=3/2
El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2 4
-5
5
E 169- Dada la curva x  t
2
1 − t2
, y  t
3
1 − t2
, hallar las condiciones para que seis de sus puntos sean
concíclicos.
Solución: Sea el círculo: x2  y2  Ax  By  C  0. Luego: t
4
1 − t22
 t
6
1 − t22
 At
2
1 − t2

 Bt
3
1 − t2
 C  0, es decir: t6 − Bt5  1 − A  Ct4  Bt3  A − 2Ct2  C  0. De donde las condiciones
para que seis de sus puntos sean concíclicos, son: S1  B  −S3 (es decir, S1  S3  0), S5  0,
S2  S4  S6  1, siendo S1 la suma de las seis raíces de la ecuación en t, S2 la suma de sus productos
binarios, S4 la suma de sus productos cuaternarios, y S6 el producto de sus seis raíces.
E 170- Dada la curva x  t3 − t, y  t3 − t2, hallar la condición para que tres puntos de la curva estén
alineados.
Solución: Sea la recta: ax  by  1  0. Luego se tiene que: at3 − t  bt3 − t2  1  0, es decir:
a  bt3 − bt2 − at  1  0. Por tanto, S1  ba  b , S2 
−a
a  b , S3 
−1
a  b . Luego la condición pedida
es: S1 − S2  a  ba  b  1, siendo S1 la suma de las tres raíces de la ecuación en t, y S2 la suma de sus
productos binarios.
E 171- Dada la curva x  t
2
1  t3
, y  t
1  t3
, hallar la condición para que seis puntos de la curva estén
sobre una cónica.
188
Solución: Sea la cónica Ax2  By2  Cxy  Dx  Ey  1  0. Luego: At
4
1  t32
 Bt
2
1  t32

 Ct
3
1  t32
 Dt
2
1  t3
 Et
1  t3
 1  0, de donde se tiene: t6  Dt5  A  Et4  C  2t3  B  Dt2 
Et  1  0. Luego la condición pedida es: S6  t1t2t3t4t5t6  1.
E 172- Dibujar la curva x  2
1  t2
, y  2
t1  t2
.
Solución: 1º) Intervalo de existencia y simetría: Hay curva en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2. La curva es
simétrica respecto al eje XX′. 2º) Asíntotas: Para t  0, y  , siendo la asíntota: x  2; para x  2 − ,
con  → 0, y  . 3º) Intersección con los ejes: t  , 0,0, siendo 0 la pendiente de la tangente, es
punto de retroceso. 4º) Máximos y mínimos: No hay. 5º) Puntos de cruce: No hay. 6º) El dibujo de la
curva es el siguiente:
1 2
-10
0
10
E 173- Dibujar la curva x  t
3
t − 1t  2 , y 
t2 − 2t
t − 1 .
Solución: 1º) Asíntotas: Para t  1, x  , y  , a 
t→1
lim yx 
t→1
lim t
2
t  2t − 2  −3,
b 
t→1
lim y  3x  4tt  1t  2 
8
3 , siendo la asíntota: y  −3x 
8
3 ; para hallar la posición de la curva,
se hace t  1  , con  → 0, con lo que y  −1 , yc − ya 
28
9 , luego para   0, y  −, yc  ya, y
para   0, y  , yc  ya (figura A). Para t  , x  , y  , a 
t→
lim yx 
t→
lim t
2 − 4
t2
 1,
b 
t→
lim y − x 
t→
lim −4t
t − 1t − 2  0, luego la asíntota es: y  x; para hallar la posición de la curva se
tiene que yc − ya  −4tt − 1t  2 , luego para t  , y  , yc  ya, y para t  −, y  −, yc  ya
(figura B). Para t  −2, x  , siendo la asíntota: y  −83 ; para hallar la posición de la curva se hace
t  −2  , con  → 0, con lo que x  83 , yc − ya 
10
9 , luego para   0, x  , yc  ya, y para
  0, x  −, yc  ya (figura C). 2º) Intersección con las asíntotas: La curva corta a y  −3x  83 en
32
21 ,
40
21 , a y  x en 0,0, a y 
−8
3 en
32
15 ,
−8
3 . 3º) Máximos y mínimos: Para x
′  0, t  0,
t  −1  7 , obteniéndose el punto 0,0, que es un punto de inflexión, y los dos puntos de coordenadas
2 7 7 − 10
9 ,
2 7 − 4
3 , es decir, aproximadamente, 1.9,−0.9 y −6.3,−4.4, que son,
respectivamente, mínimo y máximo de x. No hay máximos de y. 4º) Punto de cruce: resolviendo el
sistema: t1
3
t1 − 1t1  2
 t2
3
t2 − 1t2  2
, t1
2 − 2t1
t1 − 1
 t2
2 − 2t2
t2 − 1
, se tiene la raíz  2 , que da el punto
de cruce 2,−2. Las pendientes de las tangentes en este punto, son −3  2 2 .
Y=-3X+8/3
Y=-8/3
Fig A Fig B Fig C
Y=XY=-3X+8/3
Y=-8/3
Fig A Fig B Fig C
Y=X
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