Calculo diferencial Universidad-8

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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Reemplazando, tenemos:
𝑟𝑟 =
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
=
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦
 
Es decir:
𝑟𝑟 =
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
 
 (Ecuación 2)
O
𝑟𝑟 =
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦
 
Para determinar las coordenadas del punto de división dados los 
extremos y la razón, despejando tenemos:
𝑥𝑥 =
𝑥𝑥1 + 𝑟𝑟𝑥𝑥2
1 + 𝑟𝑟
 ; 𝑦𝑦 =
𝑦𝑦1 + 𝑟𝑟𝑦𝑦2
1 + 𝑟𝑟
 
 (Ecuación 3)
La razón es positiva cuando P(x, y) está en el segmento P
1
P
2
 (fi-
gura 10). La razón es negativa cuando P(x, y) está fuera del segmento 
P
1
P
2 
(figura 11).
Figura 10 Figura 11
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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EjErcicios rEsuEltos
ER1. Determine la razón a la que el punto Pm (punto medio), 
divide al segmento de recta AB de la figura adjunta.
Figura 12
solución
Reemplazamos los datos en la ecuación 2: 
𝑟𝑟 =
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
 
Tenemos: 
𝑟𝑟 =
7 − 2
12 − 7
 
De donde: r=1
Se puede resolver también con las ordenadas de los puntos dados 
para verificar el resultado. La razón en la que un punto medio de un 
segmento de recta divide dicho segmento es 1.
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ER2. Determinar las coordenadas del punto medio de un seg-
mento de recta.
solución
Sea el segmento de recta P
1
P
2
, cuyos extremos son los puntos P
1
 
y P
2
; el punto medio está definido por Pm ya que divide al segmento en 
dos partes iguales como se puede ver en la figura 13. Asimismo sabemos 
por el ejercicio anterior la razón en la que un punto medio divide un 
segmento de recta es 1, tenemos: 
Figura 13
𝑟𝑟 =
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
 
Reemplazamos la razón:
1 =
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥