Problemas de calculo vectorial-70

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854 Sea S el casquete de paraboloide z = 4 − x2 − y2, z ≥ 0. Se considera el
campo vectorial:
F =
(
x
(x2 + y2 + z2)3/2
,
y
(x2 + y2 + z2)3/2
,
z
(x2 + y2 + z2)3/2
)
.
Hallar el flujo de F a través de S hacia el exterior.
Solución 854:
No es dif́ıcil comprobar que el campo F tiene divergencia nula. Pero
debemos tener la precaución de observar que no está definido en el
origen. Luego cualquier región en la que trabajemos con dicho campo
debe evitar el origen. En particular consideremos la superficie S1 que
consiste en el hemisferio superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y S2,
el anillo entre las circunferencias de radio 1 y 2 sobre el plano z = 0.
Sea R la región limitada por estas tres superficies S, S1 y S2 (véase la
Figura 60). Como el campo F tiene divergencia nula, concluimos que
0 =
∫∫∫
R
div F dV =
∫
S
F +
∫
S1
F +
∫
S2
F,
considerando las orientaciones apropiadas (exteriores). En consecuencia∫
S
F = −
∫
S1
F−
∫
S2
F.
La última de estas dos integrales se calcula de manera directa pues la
normal unitaria exterior es (0, 0,−1), luego
F · (0, 0,−1) = − z
(x2 + y2 + z2)
3
2
y la integral queda ∫
S2
− z
(x2 + y2 + z2)
3
2
dS = 0
pues S2 se encuentra sobre el plano z = 0.
En cuanto a la otra integral observamos que la normal exterior unitaria
es N = −(x, y, z) y
F ·N = − x
2 + y2 + z2
(x2 + y2 + z2)
3
2
= −1,
Finalmente ∫
S
F = Área(S1) =
4π
3
.
6.5 Teorema de Gauss 209
−2
0
2−2
0
2
0
2
4
Figura 60: Región del Ejercicio 854
855 Sea F = (x, y, z) y D una región del espacio con frontera ∂D. Probar que
el volumen de D viene dado por 13
∫
∂D
F. Usar este hecho para calcular el
volumen de un cono circular de altura h y radio a.
856 Sea S una superficie cerrada que encierra un volumen D, y sea ∂f∂n = ∇f ·n
la derivada direccional de una función escalar en la dirección de la normal
unitaria exterior a S. Probar que∫
S
∂f
∂n
=
∫∫∫
D
∆f dV
857 Sea R el recinto en el espacio limitado por las superficies x2 + y2− z = 0 y
el hemisferio superior de x2 + y2 + z2 = 1, y sea S la superficie frontera de
R. Considera el campo F = (x3− y3, y3− z3, z3− x3). Usando el teorema
de la divergencia, transforma I =
∫
S
F, y escribe la integral resultante en
coordenadas ciĺındricas (no es necesario calcular la integral final).
858 Sea F = (−xz,−yz, x2 + y2 + z2) y S la superficie
S = {x2 + y2 + z2 = 1, − 12 ≤ z ≤ 12}.
Calcular la integral, con orientación exterior I =
∫
S
F.
Solución 858:
Sean S+ y S− las dos tapas
z =
1
2
, x2 + y2 ≤ 3
4
, y z = −1
2
, x2 + y2 ≤ 3
4
,
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respectivamente. Si completamos S con estas dos tapas orientadas ex-
teriormente tendremos, por el teorema de la divergencia,∫∫∫
R
div F dV =
∫
S
F +
∫
S+
F +
∫
S−
F.
Ahora bien, es inmediato comprobar que div F = 0 y que las normales
unitarias sobre S+ y S− son, respectivamente, (0, 0, 1) y (0, 0,−1). Por
tanto ∫
S+
F +
∫
S−
F =
∫
S+
(x2 + y2 + 14 )−
∫
S−
(x2 + y2 + 14 ) = 0,
pues la proyección de S+ y S− sobre el plano XY es la misma. Conclui-
mos que la integral solicitada es nula.
859 Calcula la integral del campo F = (xz2− xy2, yx2− yz2, zy2− zx2) sobre
la superficie S = {z2 − x2 − y2 = 0, 1 ≤ z ≤ 2}, orientada al exterior.
860 Sea S la superficie dada por
S = {x2 + y2 = 2z, 0 ≤ z ≤ 1} ∪ {3− z = x2 + y2, 1 ≤ z ≤ 2}.
Calcular el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (x, y, z) a través de S,
con orientación interior,
(a) Directamente.
(b) Usando el Teorema de Gauss.
Solución 860:
(a) Denotemos por S1 y S2 las dos partes de S, respectivamente y por
S3 {
3− z = x2 + y2, 2 ≤ z ≤ 3
}
.
Nótese que S∪S3 forma una superficie cerrada que limita la región
del espacio atrapada por los dos paraboloides 2z = x2 + y2 y
3− z = x2 + y2 (véase la Figura 61).
Las integrales del campo F sobre S1 y S2 requieren sendas para-
metrizaciones. Las coordenadas ciĺındricas proporcionan la mejor
parametrización en ambos casos. Aśı sobre S1
(r cos θ, r sen θ, 12r
2), 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤
√
2.
Después de calcular los vectores tangentes con respecto a θ y a r,
evaluar el vector normal y realizar el producto escalar con F, se
llega a que debemos integrar la expresión∫ 2π
0
∫ √2
0
(
−1
2
r3
)
dr dθ = −π.