Guía 3 - Derivada de funciones-1 - Marcelo Zamorano

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Programa de Matemática 
 
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GUÍA N°3 DE CÁLCULO 
Derivada de funciones 
 
I Concepto de la derivada como límite intuitivo 
 
1. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de 
Santiago hacia el sur del país. La función 502,0)( 2  xxf entrega la posición de 
un ciclista (en kilómetros) después de 𝑡 minutos de su partida. 
 
a) ¿Cuál es su posición a los 30 minutos de su partida? 
b) ¿cuál es la velocidad promedio entre los 30 y 60 minutos? 
c) Determine mediante aproximaciones la Velocidad Instantánea a los 30 
minutos de su partida. Utilizar la siguiente tabla de valores, redacte respuesta. 
Intervalos de 
Tiempo 
Expresión Velocidad 
Promedio 
Velocidad Promedio 
3128  x 
2831
)28()31(

 ff
 
 
5,3029  x 
295,30
)29()5,30(

 ff
 
 
1,309,29  x 
9,291,30
)9,29()1,30(

 ff
 
 
01,3099,29  x 
99,2901,30
)99,29()01,30(

 ff
 
 
 
 
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2 
2. Se espera que dentro de t años, la población de cierta comunidad viene dada por 
la función 12005,0)(
75,0  tetp (miles de habitantes) 
 
a) Dentro de 10 años ¿Cuántos habitantes tendrá la comunidad? 
 
b) ¿cuál es la Tasa de Crecimiento promedio entre el 6to y décimo año? 
 
c) Determine mediante aproximaciones la Tasa de Crecimiento Instantánea de la 
comunidad dentro de 10 años, para ello utilizar la siguiente tabla de valores. 
Redacte respuesta. 
 
Intervalos de 
Tiempo 
Expresión Tasa de 
Crecimiento Promedio 
Tasa de Crecimiento 
Promedio 
5,105,9  t 
5,95,10
)5,9()5,10(

 pp
 
 
1,109,9  t 
9,91,10
)9,9()1,10(

 pp
 
 
01,1099,9  t 
99,901,10
)99,9()01,10(

 pp
 
 
001,10999,9  t 
999,9001,10
)999,9()001,10(

 pp
 
 
 
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3 
 
II Derivadas de Funciones Elementales. 
 
Definición de Derivadas: 
La derivada de la función )(xf con respecto a x es la función )(xf  dada por: 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0



 
Notación: 
Sea )(xfy  , entonces la derivada de la función se puede denotar por: 
dx
dy
yxf  )( 
 
 
 
 
Tipo de 
Función 
Expresión Algebraicas Derivada 
Constante  cdondecxf )( 0)(  xf 
Potencia 
 ndondexxf n)( 
1)(  nxnxf 
1)(  ndondexxf 1)(  xf 
Exponencial 
0)(  adondeaxf x )ln()( aaxf
x  
xexf )( 
xexf  )( 
Logarítmica 
)(log)( xxf a )ln(
1
)(
ax
xf

 
)ln()( xxf  
x
xf
1
)(  
 
 
 
 
Recordar: 
11  x
x
 nyn y xx / 
 
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3. Complete el siguiente cuadro 
Función Tipo de Función Derivada 
a) 
3)( xxf  
dx
df
 
b) 5)( xf 
dx
df
 
c) 
xxf 5)(   )(xf 
d) )(log)( 5 xxg   )(xg 
e) 
xey  y 
f) )log()( xxf  f 
g) 
x
xg 






3
5
)( 
dx
dg
 
h) 
5)(  xxg  )(xg 
i) 
x
xh
1
)(   )(xh 
j) 
x
xh
1
)(   )(xh 
k) 
4)( xf
 
dx
df
 
l) 
2
1
)( xf 
dx
df
 
m) 
3)( ttf   )(tf 
 
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5 
n) 4
3
)( ttf  
  )(tf 
o) 
xxf 2)(  
dx
df
 
p) )(log)( xxh e  )(xh 
q) 
5 2)( xxf  
dx
df
 
r) 2
1
)( xxf  
  )(xf 
s) 
2
5
)( xf  )(xf 
 
4. A continuación identifique el tipo de función y luego calcule su derivada. 
 
a) 
12)( xxf  b) 11)(  xxf c) 3 5)( xxf  
d) xxf )( e) xxm )( f) 
xxh 9)(  
g) )(log)( 3 xxg  h) 
5
4
)( xg i) )ln()( xxg  
 
 
 
 
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 III Álgebra de derivadas. 
 
Operación de Funciones Elementales Derivada 
Multiplicación por 
una constante 
  )(xfcxh    fcxh  
suma o resta   )()( xgxfxh    gfxh  
multiplicación de 
dos funciones 
  )()( xgxfxh    gfgfxh  
división de dos 
funciones 
  0)(
)(
)(
 xg
xg
xf
xh  
 2g
gfgf
xh

 
 
 
5. Complete el siguiente cuadro: 
 
Funciones Operación Derivada 
a) 𝑓(𝑥) = 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥6 
ℎ(𝑥) = 𝑓 ∙ 𝑔 
ℎ(𝑥) = 
ℎ´(𝑥) = 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 
ℎ(𝑥) = 𝑓 + 𝑔 
ℎ(𝑥) = 
ℎ´(𝑥) = 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
ℎ(𝑥) = 𝑓 − 𝑔 
ℎ(𝑥) = 
ℎ´(𝑥) = 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
ℎ(𝑥) = 𝑓 ∙ 𝑔 
ℎ(𝑥) = 
ℎ´(𝑥) = 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 
ℎ(𝑥) = 𝑓 ∙ 𝑔 
ℎ(𝑥) = 
ℎ´(𝑥) = 
f) 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
ℎ(𝑥) =
𝑓
𝑔
 
ℎ(𝑥) = 
ℎ´(𝑥) = 
g) 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
𝑔(𝑥) = 𝑥 
ℎ(𝑥) =
𝑓
𝑔
 
ℎ(𝑥) = 
ℎ´(𝑥) = 
 
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6. Derive las siguientes funciones: 
a) )log(7)( xxh  b) xxg  2)( c) 728140)(
2  xxxf 
d) )ln()( 2 xxxf  e) 
xexxg )5()( 2  f)   19ln5)(  pepQ p 
g) 
x
x
xf
)ln(
)(  h) 
)ln(
)(
x
e
xf
x
 i) 
t
ttth
10
9,09)( 2  
 
7. Determina la derivada de las siguientes funciones 
 
a) 500.3160532)( 23  xxxxg b) 
xe
xx
xf
3
)(
2 
 
c) )log()( xexf x  d) 
2
)(log
)(
x
x
xf s 
e) 
2
23 2012
4
3
3
2
)(
t
ttttd  f)  32)log()(  xxxf 
 
IV Regla de la Cadena para Derivar una Función Compuesta 
Si  xf es una función compuesta, es decir   )()( xghxf  entonces su derivada 
será     )()()()( xgxghxghxf   
 
 
Generalmente se trabaja con las siguientes funciones compuestas: 
 
)(xge su derivada será ge xg )( 
 ng su derivada será ggn n   )1( 
 )(log ga su derivada será    ́)(log gga 
   

g
ag )ln(
1
 
 
 
 
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8. Complete el siguiente cuadro 
 
Funciones Determinar 𝑓(𝑥) Derivada 
a) 𝑓(𝑔) = 𝑒𝑔 
𝑔(𝑥) = 4𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) = 
b) 𝑓(𝑔) = 𝑔13 
𝑔(𝑥) = 8𝑥5 − 3𝑥3 − 15 
𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) = 
c) 𝑓(𝑔) = log⁡(𝑔) 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) = 
d) 𝑓(𝑔) = 125𝑒𝑔 
𝑔(𝑥) = 0,8𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑓´(𝑥) = 
 
 
 
9. Aplique la regla de la cadena y propiedades de las derivadas para calcular la 
derivada de las siguientes funciones. 
 
a) 
524 )23()(  xxxf b) )23ln(
2 xxy  c) )3log()(
2 xxxf 
 
d) )2ln(3)62(8)(
7 xxxf  e) 
22 )3( xxy  f) 
 52 2 xey 
 
10. Calcule 
dx
dy
 en las siguientes funciones. 
a) 
2xey  b) 
xey  3 c) )ln( 3xy  
d) )1log( 2  xy e)  3275 xxy  f) xy 57 
 
 
 
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SIGUE PRACTICANDO: 
 
11. Determina la derivada de las siguientes funciones 
 
a)   5007010 2  xxxI b) 563810)( 2  tttd c)  
1
2


x
x
xf 
d) 
wwwf 622)(  e) 2
2 57
)(
x
x
xf

 
f) xxxf 3)ln()(  
g) 
t
etV
8,0
125)(  h) 000.28)(
75,0

t
etp i) 4,0
4,0
41
2440
x
x
R


 
j) 
2
60
1000.100)( 






t
tV k) 






40
1000.500
x
V l) te
tp
5,0101
1
)(

 
m) 
5
5 16)(
x
xxg x   n)   xxxf 232)( 3  o) 
x
x
xf
5
)log(
)(  
p)  21)(  xxf q) 
te
tN
895.019991
000.2
)(

 r) 
ktetP 500.1)( 