1 Derivadas (2)

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas 1
DERIVADAS
Derivada de
una función
en un punto
Definición.
Si f(x) es una función continua y a es un punto de su dominio, la derivada de f en a
se define como:
ax
)a(f)x(flím
ax 


 Si el límite existe y es un número real, se dice que f es derivable en a. Al valor
del límite se lo llama derivada de f en a y se lo denota )a('f
 Si el límite no existe en a, esto es, cuando x tiende a por izquierda y por
derecha, resulta que los límites laterales son distintos, decimos que la función
no es derivable en a.
 Al cociente
ax
)a(f)x(f


se lo llama cociente incremental. Por lo que la derivada
de la función en a es el límite cuando x tiende a a del cociente incremental.
 Como x está próximo a a podemos escribir que x = a + h siendo h un número
pequeño, en valor absoluto muy próximo a cero. Y es x - a = h
Por lo que podemos escribir a
ax
)a(f)x(f

 como
h
)a(f)ha(f 
Y entonces es
ax
)a(f)x(f
lím)a(f
0xx
'




=
h
)a(f)ha(f
lím
0h


El número )a('f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a;
f(a))
Llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a)) a la recta
que pasa por ese punto y cuya pendiente es )a('f
Ejemplo 1.
 Calcular, usando la definición de derivada, )a('f si f(x) = x2 + 3 y a = 1
Solución.
Por definición es
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


En el este caso es a = 1, por lo que debemos hallar:
h
)1(f)h1(f
lím)1('f
0h



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Para ello calculamos
f(1+ h) = (1+h) 2 + 3 = 1 + 2h + h2 + 3
= 2h + h2 + 4
f(1) = 12 + 3 = 4
Reemplazamos en la fórmula:
h
hh2lím
h
44hh2lím)1('f
2
0h
2
0h


La última expresión podemos escribirla como:
)h2(lím
h
)h2(h
lím
0h0h



Por lo que es
2)h2(lím
h
)1(f)h1(flím
0h0h


En consecuencia la pendiente de la recta tangente a la función en el
punto (a; f(a)) = (1; 4) es
2)a('f 
Observación.
Si en vez de calcular )a('f mediante
h
)1(f)h1(flím)1('f
0h


lo hacemos por la
fórmula
1x
)1(f)x(flím)1('f
1x 


llegamos al mismo resultado:
1x
1xlím
1x
43xlím
1x
)1(f)x(flím)1('f
2
1x
2
1x1x 






Como es x2 – 1 = (x+1)(x-1) reemplazando es:
21xlím
1x
)1x)(1x(
lím
1x
1x
lím
1x
)1(f)x(f
lím)1('f
1x1x
2
1x1x











Ejemplo 2
Calcular, usando la definición de derivada, )a('f si f(x) = 3 - x y a = 0
Solución
Por definición es
h
)a(f)ha(f
lím)a('f
0h



Y siendo a = 0 es
h
)0(f)h0(flím)0('f
0h


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Calculamos:
f(0+h) = 3 – (0+h) = 3 – h
f(0) = 3 – 0 = 3
Reemplazando:
11lím
h
h
lím
h
3h3
lím
h
3h3
lím
h
)0(f)h0(f
lím)0('f
0h0h0h
0h0h











Luego es 1)0(f ' 
Recta tangente
al gráfico de
una función
en un punto
Al hallar la derivada de una función en un punto )a('f , dijimos que el número )a('f
es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a; f(a)).
Y además, llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto
(a; f(a)) a la recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es )a('f .
Para encontrar la ecuación de la recta tangente, usamos la expresión
)ax()a(f)a(fy ' 
Vamos a utilizar estos conceptos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.
Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 – x en
(2; 2).
Hallar la ecuación de la recta y graficar la curva y la recta.
Solución:
Observamos que (a; f(a)) = (2; 2) por lo que es a = 2 y f(a) = 2. Buscamos
primero la pendiente de la recta hallando )a('f
 Pendiente de la recta tangente en a = 2
Sabemos que
h
)a(f)ha(f
lím)a('f
0h



En este caso es:
h
)2(f)h2(f
lím)2('f
0h



Calculamos:
f(2+h) = (2+h)2 – (2 – h) = 4 + 4h + h2 – 2 – h = 2 + 3h + h2
f(2) = 22 - 2 = 2
Lego:
3)h3(lím
h
)h3(h
lím
h
hh3
lím
h
2hh32lím
h
)2(f)h2(flím)2('f
0h0h
2
0h
2
0h0h








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Por lo que la pendiente de la recta tangente es )2('f = 3
 Ecuación de la recta tangente.
La recta y la curva se intersecan en el punto (2; 2).
Por lo que el punto (2; 2) pertenece a la recta tangente.
Como la ecuación de la recta tangente es
y – f(a) = )a('f (x – a).
Reemplazamos
y – 2 = 3 (x – 2)
o bien ;
y = 3x – 4
 Graficamos la función y la recta tangente a la misma en el punto (3; 2)
Observación
Para determinar la recta tangente a una función en un punto de su dominio,
seguimos estos pasos:
 Calculamos la pendiente de la recta tangente calculando la derivada de la
función en el punto x = a.
 Usamos este resultado y el punto (a; f(a)) en la ecuación de la recta:
)ax()a('f)a(fy 
¿Existe
siempre la
derivada
en un
punto?
Veremos ahora que no siempre existe la derivada de una función en un punto del
dominio.
Para que exista
h
)a(f)ha(flím)a(f
0h
' 

 Debe existir el límite para x h y además ese límite debe ser un
número real.
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Ejemplo 4
Consideremos la función f(x) = |x| y veamos si es derivable en x = 0
Para ello, calculamos
h
)a(f)ha(f
lím
0h


Siendo a = 0 calculamos:
f(a+h) = f(0 + h) = |0 +h| = |h|
f(0) = |0| = 0
Y reemplazamos
h
0h
lím
h
)a(f)ha(f
lím
0h0h




Como |h| = h si h 0 y |h| = -h si h < 0 por definición de la función módulo,
debemos considerar qué sucede en cada uno de estos casos, calculando los
límites laterales:
1
h
h
lím
h
0h
lím
h
0h
lím
1
h
hlím
h
0hlím
h
0h
lím
0h0h0h
0h0h0h




















Vemos que los límites laterales no
son iguales, por lo que no existe
h
0h
lím
0h


(recordemos que para que exista el
límite de una función en un punto los
límites laterales deben ser iguales).
Luego la función f(x) = |x| no es
derivable en x = 0
Ejemplo 5
Tampoco es derivable en x = 1 la
función del gráfico.
0
h
)a(f)ha(f
lím
1
h
)a(f)ha(f
lím
0h
0h






En este caso, los límites laterales
para h0 son distintos por lo que
no existe la derivada de la función
en x = 1.
Luego la función no es derivable en
x = 1.
La función no es continua en x =
1 y no es derivable en x = 1
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Ejemplo 6
La función 3 x)x(f  no es derivable en x = 0
Calculemos
h
)a(f)ha(flím
0h


, siendo a = 0
 f(a+ h) = f(0 + h) = f(h) = 3 h
 f(0) = 3 0 = 0
Y reemplazamos:

 3 20h
3
0h
3
0h
3
0h0h h
1lím
h
hlím
h
hlím
h
0hlím
h
)a(f)ha(flím
Como el límite no es finito concluimos que la
3 x)x(f  no es derivable en x = 0.
En este caso, la recta tangente es una recta
vertical, paralela al eje de ordenadas.
Para tener en
cuenta
De lo que hemos hecho hasta ahora podemos extraer algunas conclusiones.
1. La derivada de la función en un punto del dominio de la función es un
número real.
2. Para que exista la derivada en ese punto, la función debe ser continua en
ese punto.
3. Que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en
ese punto.
4. No existe la derivada de una función en los valores donde la función no es
continua, tiene puntos angulosos o la recta tangente es vertical.
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La derivada
como función
Hasta aquí calculamos la derivada de una función para un punto de su dominio.
Podemos preguntarnos ahora si es posible encontrar una función que nos dé el valor
de la derivada de cualquier punto x del dominio de la función.
Consideremos la función f(x) = x2 – x delejemplo anterior.
En el ejemplo, calculamos )2('f y hallamos )2('f = 3
Calculemos ahora la derivada en los siguientes puntos:
a) x = -1
b) x = 0
c) x = 1
La expresión que nos permite calcular la derivada en cada uno de esos puntos
es, como se ha visto:
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


Ayudémonos con una tabla:
x = -1 x = 0 x = 1
f (a+h) (-1 + h) 2 –(-1+h)
1 - 2h + h2 +1 – h
2 - 3h + h2
(0 + h) 2 – (0 + h)
h2 - h
(1 + h) 2 – (1+h)
1 + 2h + h2 -1-h
h + h2
f(a) (-1)2 – (-1) = 2 02 – 0 = 0 (1)2 – (1) = 0
h
)a(f)ha(f
lím)a('f
0h


 h
2hh32lím
2
0h


3
h
)h3(h
lím
h
hh3
lím
0h
2
0h





h
0hhlím
2
0h


1
h
)1h(h
lím
h
hh
lím
0h
2
0h





h
0hhlím
2
0h


1
h
)h1(h
lím
h
hh
lím
0h
2
0h





3)1('f  1)0('f  1)1('f 
Tenemos ahora:
3)1('f  1)0('f  1)1('f  3)2('f 
Si representamos los puntos en ejes cartesianos, observamos que están
situados sobre una recta.
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Podemos comprobar que la ecuación de esa recta es y = 2x – 1
Y la recta de ecuación y = 2x -1 contiene a todos los puntos de la forma (a; f’(a))
para cualquier x = a que pertenezca al dominio de la función y f’(a) es la derivada de
la función en el punto a.
Esta afirmación nos permite decir que para cualquier punto del dominio de f
podemos encontrar la derivada en ese punto, sólo reemplazando en
y = 2x – 1
Por ejemplo,
si x = 3; y = 2. 3 – 1 = 5
lo que significa que para el elemento x= 3 del dominio, la derivada en ese punto es 5.
Esto es 5)3('f 
De este modo hemos encontrado una función que transforma cada x en 2x – 1.
A esta función la llamamos función derivada y la nombramos f’.
En el ejemplo anterior
f(x) = x2 – x
Es 1x2)x('f 
También se anota:
1x2)'xx( 2 
Definición Se llama función derivada de f a una función f’ que asocia a cada punto x la derivada
de f en ese punto, f’(x).
Notemos que.
 la derivada de una función f es ella misma una función, que puede ser
utilizada para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (x; f(x)) de
la gráfica de f.
A partir del concepto de derivada de una función podemos deducir reglas que nos
permiten calcular las derivadas sin necesidad de recurrir cada vez al cálculo del
límite.
Veremos cómo se llega a algunas de estas reglas haciendo uso de la definición de
derivada en un punto.
Ejemplo 7
Calculamos la derivada de la función constante f(x) = k (k es un número real)
Solución.
Nos proponemos calcular )a('f para a = x, siendo x un punto cualquiera del
dominio de f.
Recordemos que la función constante está definida para todos los números reales.
Como antes, calculamos
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


.
Por ser x = a, es f(a+h) = f(x+h) = k
f(a) = f(x) = k
ya que todos los elementos del dominio de f tienen por imagen al número
real k.
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Luego es: 0
h
0
lím
h
kk
lím
h
)x(f)hx(f
lím)x('f
0h0h0h






Entonces, si f(x) = k es )x('f = 0
 Si f(x) = k (k es una constante) entonces 0)k()x(f '' 
Esto es, la derivada de una función constante es cero.
Ejemplo 8
Calculamos la derivada de la función lineal f(x) = mx + b
Sea f(x) = mx + b. Calcular )a('f para a = x, siendo x un punto cualquiera de su
dominio.
Solución:
Recordemos que la función lineal tiene como dominio el conjunto de los
números reales. Luego x 
Como en los ejemplos anteriores calculamos
h
)a(f)ha(f
lím)a('f
0h



Por ser a = x, es f(a+ h ) = f(x+h) = m(x+h) + b.
f(a) = f(x) = mx + b
h
)bmx(b)hx(m
lím)x('f
0h



Operando es:
mmlím
h
mhlím
h
bmxbmhmxlím)x('f
0h0h0h


Por lo tanto m)x('f  para cualquier número real x.
Además, el Dom(f) = Dom(f’) = 
 Si f(x) = mx + b entonces m)bmx()x(f '' 
Esto es, la derivada de una función lineal f(x) = mx + b es m)x(f ' 
Ejemplo 9.
Sea x)x(f  Calcular )a('f para a = x, siendo x un punto cualquiera de
su dominio.
Solución:
El dominio de f son los números reales mayores o iguales que cero.
Por lo que x{0; +)
Calculamos:
h
)a(f)ha(f
lím)a('f
0h



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Por ser a = x, es f(a+ h ) = f(x+h) = hx 
f(a) = x)x(f 
Luego;
h
xhxlím
h
)x(f)hx(flím)x('f
0h0h


Multiplicando numerador y denominador por xhx 
)xhx(h
)xhx()xhx(lím
h
xhxlím
h
)x(f)hx(flím)x('f
0h
0h0h





El numerador es una expresión de la forma (a + b) (a – b) = a2 – b2
Si usamos esta igualdad el numerador nos queda:
hxhx
)x()hx()xhx()xhx( 22


Reemplazamos:
x2
1
)xhx(
1lím
)xhx(h
hlím
0h
0h







Luego es
x2
1
)x('f  .
Observamos que mientras que el dominio de f es Dom(f) = [0; +), el
dominio de la derivada es Dom(f ’) = (0; +).
Esto significa que no existe la derivada de la función cuando x es igual a
cero.
En este caso, la recta tangente es vertical, por lo que su pendiente no está
definida en x = 0, como se observa en el gráfico.
 Si x)x(f  , x [0; +) entonces es
x2
1)x('f  , con x (0; +)
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De manera similar (aunque no siempre al alcance de este curso) puede mostrarse
que:
1. Si f es derivable y c es un número real, entonces h(x) = c.f(x) es derivable y
su derivada es )x(f.c)x(h '' 
2. Si las funciones f y g son derivables y
 h(x) = f(x) + g(x), entonces )x(g)x(f)x(h ''' 
 h(x) = f(x) - g(x) , entonces )x(g)x(f)x(h ''' 
La derivada de una suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables es
la suma (o diferencia) de sus derivadas.
3. Si f y g son dos funciones derivables y es h(x) = f(x) . g(x) entonces es
derivable y su derivada es )x(g.)x(f)x(g.)x(f)x(h '''  .
La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera
función multiplicada por la segunda más la primera multiplicada por la
derivada de la segunda función.
4. Si f y g son dos funciones derivables y es g(x) 0, entonces
)x(g
)x(f)x(h  es
derivable y su derivada es
 2
''
'
)x(g
)x(g..)x(f)x(g).x(f)x(h 
También pueden verificarse las siguientes reglas.
1. Si f(x) = k, con k entonces )x(f ' = 0
2. Si f(x) = mx + b, con m y m0 entonces )x(f ' = m
3. Si f(x) = x entonces )x(f ' = 1
4. Si f(x) = x2 entonces )x(f ' = 2x
5. Si f(x) = x3 entonces )x(f ' = 3x2
6. Si f(x) = xn , con n y n1 entonces )x(f ' = n xn-1
7. Si f(x) = lnx entonces
x
1)x('f 
8. Si f(x) = ex entonces )x(f ' = ex
9. Si f(x) = ax, con a>0 y a1, entonces )x(f ' = ax lna
10. Si f(x) = logax, con a>0 y a1, entonces alnx
1
)x('f 
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11. Si f(x) = cosx entonces )x(f ' = -senx
12. Si f(x) = senx entonces )x(f ' = cosx
13. Si f(x) = tgx entonces xsec
xcos
1
)x(f 2
2
' 
14. Si f(x) = ctgx entonces
xsen
1
)x(f
2
'  = - cosec2x
Resolvemos a continuación varios ejemplos, utilizando las reglas anteriores.
Ejemplo 10
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) f(x) = 6x3 – 2x2
b) f(x) =
x
7x2 
c) f(x) =
3 2
2
x2
1x 
d) f(x) = (x2+1) cosx
Solución
a) f(x) = 6x3 – 2x2
La función f es la diferencia de funciones: h(x) = 6x3 y g(x) = 2x2.
El dominio de f es Dom(f) = 
Su derivada f’ es la diferencia de las derivadas de h y g.
)x('g)x(h)x(f '' 
Notemos que h(x) es el producto de una constante por una función,
entonces su derivada es '3' )x(6)x(h 
Para calcular '3 )x( usamos que 'n )x( = n xn-1
Entonces es '3 )x( = 3.x2
Luego '3' )x(6)x(h  = 6. 3. x2 = 18x2
En forma similar calculamos g’(x).
Y hallamos que es g’(x) = 4x
Entonces:
)x('g)x(h)x(f ''  = 18x2 – 4x
Por lo que la derivada de f(x) = 6x3 – 2x2 es )x(f ' = 18x2 – 4x
El dominio de f’ es Dom(f’)= 
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b) f(x) =
x
7
x2 
La función f es la diferencia de funciones h(x) = x2 y
x
7
)x(g 
El dominio de f es Dom(f ) = (0; +)
Su derivada f’ es la diferencia de las derivadas de h y g.
)x('g)x(h)x(f '' 
 Calculamos la derivada de h(x) = x2
Como h es el producto de una constante por una función, su
derivada es la constante por la derivada de la función.
Para derivar x , escribimos la raíz en forma de potencia:
2
1
xx  y podemos aplicar la derivada de una potencia:
x
1
2
1
x
2
1
x
2
1
x 2
1
1
2
1'
2
1










 
Entonces es
x
1
x
1
2
1.2)x(h' 
 Calculamos la derivada de
x
7
)x(g 
Podemos escribir
x
1
.7)x(g 
Como g es el producto de una constante por una función, su
derivada es la constante por la derivada de la función.
Para calcular la derivada de
x
1
hacemos: 1x
x
1 
Luego, es
2
211'1
x
1xx1x 



 
Entonces es
2
'
x
1
.7)x(g 
Y
22
''
x
1
7
x
1
x
1
7
x
1
)x('g)x(h)x(f 





 =
Por lo que la derivada de f(x) =
x
7x2  es
2
'
x
17
x
1)x(f 
El domino de la derivada es Dom(f’) = (0; +)
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UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas 14
c) f(x) =
3 2
2
x2
1x 
El dominio de f es Dom(f) = -{0}
La función f es suma de las funciones h(x) = x2 y g(x) =
3 2x2
1
por lo que su derivada es )x('g)x(h)x(f '' 
 La derivada de h(x) = x2 es h’(x) = 2x
 Calculamos la derivada de g(x) =
3 2x2
1
Para ello comencemos por escribir
3 23 2 x
1
2
1
x2
1
)x(g 
Y a la vez: 3
2
3
23 2
x
x
1
x
1 

Entonces
3 5
3
5
1
3
2'
3
2'
3 2
'
x
1
3
1
x
3
1
x
3
2
.
2
1
x
2
1
x
1
2
1
)x(g
























(Observen que para hallar g’ usamos las mismas propiedades
que en los ítems anteriores)
Luego es
3 5
''
x
1
3
1
x2)x('g)x(h)x(f 
Por lo que la derivada de f(x) =
3 2
2
x2
1
x  es
3 5
'
x
1
3
1
x2)x(f 
d) f(x) = (x2+1) cosx
La función f es el producto de las funciones h(x) = x2+ 1 y g(x) = cosx
Entonces para derivar f usamos la regla del producto y es:
)x(g.)x(h)x(g.).x(h)x(f ''' 
 La derivada de h(x) = x2+ 1 es x2)x(h'  (usamos derivada de la
suma, derivada de una potencia y derivada de una constante)
 La derivada de g(x) = cosx es senx)x(g' 
Luego es )x(g.)x(h)x(g.).x(h)x(f '''  = 2x.cosx +(x2+1)(-senx)
= 2x cosx – (x2 + 1) senx
Por lo que la derivada de f(x) = (x2+1) cosx es f ’(x) = 2x cosx – (x2 + 1) senx
Y además es Dom(f) = Dom(f ‘) = 
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UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas 15
Ejemplo 11.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
1x
x
)x(f

 en el punto





3
2
;2
Solución:
Vimos que la ecuación de la recta tangente es:
)ax()a(f)a(fy ' 
donde (a; f(a)) es el punto de tangencia y )a(f ' es la pendiente de la recta.
En nuestro ejemplo es a = 2 y f(a) = f(2) =
3
2 y )2(f)a(f '' 
Por lo que es )2x()2(f
3
2
y ' 
Debemos calcular )2(f '
Calculamos la derivada de
1x
x
)x(f

 y luego la evaluamos en x = 2
Como f está expresada mediante un cociente entonces usamos la derivada del
cociente:
2222
''
'
)1x(
1
)1x(
.x1x
)1x(
1.x)1x.(1
)1x(
)1x(x)1x()x(
)x(f











Y 
  9
1
12
1
2f
2
' 


Reemplazando en la ecuación )2x()2(f
3
2
y '  nos queda que la ecuación de
la recta tangente a la gráfica de f en el punto 





3
2
;2 es:
)2x(
9
1
3
2
y 
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UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas 16
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Antes de
empezar
En general las funciones que estudiamos son el resultado de aplicar
operaciones entre funciones más sencillas. Por ejemplo,
 f(x) = x2 + senx es la suma de las funciones g(x) = x2 y m(x) = senx

1x
2x3)x(f

 es el cociente entre las funciones g(x) = 3x – 2 y m(x) = x
– 1.
Y en otros casos, son el resultado de componer dos ó más funciones.
Vamos, en principio a ocuparnos de este último caso.
Recordemos que dadas dos funciones, f y g, para hallar la expresión de la
función compuesta gf  , hacemos,  )x(gf)x)(gf( 
Por ejemplo,
si f(x) = x y g(x) = x+1, entonces,   1x1xf)x)(gf(  ,
cuyo dominio es: Dom( gf  ) = [-1; +)
Para poder derivar funciones compuestas es necesario que podamos
reconocer cuáles son las funciones que intervienen en la composición, esto es,
poder mirar hacia atrás y pensar una función como una composición de
funciones más sencillas.
Por ejemplo, en funciones como,
h(x) = (2x -1)3 ó
1x
1)x(h
2 

que son funciones compuestas, nos va a interesar reconocer cómo se hizo la
composición.
Intentemos hacerlo:
Ejemplo 12.
Vamos a expresar h(x) = (2x – 1)3 como una composición:
Para ello, observemos que (2x -1)3 se obtiene de encontrar 2x – 1 y
elevar al cubo este resultado. Y además Dom (h) = 
Luego podemos pensar que f(x) = x3 y g(x) = 2x – 1 y Dom(f) = Dom(g) = 
Entonces es h(x) = (2x – 1)3 = [g(x)]3 =   )x)(gf()x(gf 
Lo que da h como una composición de las funciones f y g.
Si dudamos, es posible verificarlo, hallando gf  . Lo hacemos:
  3)1x2()1x2(f)x(gf)x)(gf(  = h(x)
Ejemplo 13
Probemos ahora con
1x
1)x(h
2 
 , Dom (h) =  - {-1; 1}
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Observemos que
1x
1
2 
se obtiene de encontrar x2 – 1 y luego hallar
su recíproca, esto es calcular
x
1
, siendo Dom(f) = -{0} y Dom(g) =
.
Luego podemos pensar que es f(x) =
x
1 y g(x) = x2 – 1.
Por lo que es 


)x(g
1
1x
1)x(h
2
  )x)(gf()x(gf 
Si dudan, recuerden que pueden verificarlo, hallando la composición.
Ejemplo 14.
¿Y si h(x) = ln2(x – 2), con Dom(h) = >2 = (2; +)?
Esto parece más difícil, pero lo intentamos otra vez:
Observemos que ln2(x – 2), lo encontramos primero de aplicar x – 2, a este
resultado le aplicamos logaritmo natural con lo que obtenemos, ln(x – 2) y luego a
este resultado lo elevamos al cuadrado.
Ahora, tenemos 3 funciones y no 2, como en los ejemplos anteriores:
f(x) = x2 ; Dom(f) = 
g(x) = ln(x); Dom(g) = >0 = (0; +)
m(x) = x – 2; Dom(m) = 
Luego
h(x) = ln2(x-2) = [ln(x-2)]2 = [ln(m(x))]2 =
= [g(m(x))]2 = f[g(m(x))]
= ))x)(mg(f 
Lo verificamos:
)2x(ln)]2x[ln())2x(ln(f))2x(g(f))x)(mg(f 22 
Observación.
La función h(x) = ln2(x-2), también puede escribirse como un producto:
h(x) = ln(x – 2). ln(x – 2)
donde cada factor es la composición de las funciones g(x) = lnx y m(x) = x – 2
Derivada de
funciones
compuestas.
Regla de la
cadena
Recordemos ahora, la regla de la cadena.
Usando la definición de derivada, es posible verificar que si es:
h(x) =  )x(gf)x)(gf( 
la derivada de h; es;
    )x(g.)x(gf)x)(gf()x('h '''  
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Las funciones que intervienen en la composición deben ser derivables. Es decir,
debe ser g derivable en todo su dominio y f derivable en el conjunto de imágenes
de g.
Ahora vamos a relacionar lo que recordamos en el apartado anterior con el cálculo
de derivadas.
Lo importante es recordar que cuando tenemos que derivar una función
compuesta, primero debemos reconocer las funciones que se componen. Hecho
esto, podremos aplicar fácilmente la regla de la cadena.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 15.
Hallar la derivada de
 hx) = sen(x2)
La expresión sen(x2) la encontramos aplicando a las imágenes de x2 la
función senx
Luego las funciones que se componen son: f(x) = senx y g(x) = x2
Por lo que es h(x) =   )x(sen)x(f)x(gf)x)(gf( 22 
Como es:
x2)x()x(g
xcos)senx()x(f
'2'
''


Entonces es:
  x2)x(g.y)xcos())x(gcos()x(gf '2' 
Por lo tanto, usandola regla de la cadena es:
    )x(g.)x(gf)x)(gf()x('h '''   = cos(x2) . 2x
 h(x) = sen2x
h es la composición de las mismas funciones del ejemplo anterior:
f(x) = x2 y g(x) = senx
h(x) =   xsen)senx(f)x(gf)x)(gf( 2
Como es:
xcos)senx()x(g
x2)x()x(f
''
'2'


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Entonces es:
  xcos)x(g.y)x(sen2))x(g(2)x(gf '' 
Por lo tanto, usando la regla de la cadena es:
    )x(g.)x(gf)x)(gf()x('h '''   = 2 senx. cosx

4x
1
)x(f
2 

Tenemos que f es la composición de las funciones
g(x) = x2 + 4 y
x
1)x(h 
f(x) =  
4x
1)4x(h)x(gh)x)(gh(
2
2


Como es:
x2)4x()x(g
x
1
x
1)x(h
'2'
2
'
'







Entonces es:
  x2)x(g.y
)4x(
1
))x(g(
1)x(gh '
222
' 


Por lo tanto, es:
   
2222
'''
)4x(
x2x2.
)4x(
1)x(g.)x(gh)x)(gh()x('f



 
Observamos que podíamos derivar la función
4x
1)x(f
2 
 usando la derivada del
cociente de funciones. Si lo hacen, verán que se llega al mismo resultado.
Hasta aquí derivamos funciones encontradas por la composición de sólo dos
funciones más sencillas.
Podemos extender el procedimiento al caso de la composición de tres funciones o
más.
Ejemplo 16
Consideremos nuevamente la función h(x) = ln2(x – 2) y calculemos su derivada.
Vimos que h es la composición de
f(x) = x2 ; g(x) = ln(x); m(x) = x – 2
siendo h(x) = ))x)(mg(f 
Usemos la regla de la cadena para derivar h.
    )x()mg.()x)(mgf)x)(mg(f()x('h '''  
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Observamos que )x()mg( ' es la derivada de una función compuesta por lo
que es
)x(m.))x(m(g)x()mg( ''' 
Reemplazando en la igualdad anterior:
  )x(m)).x(m(g.)x)(mgf)x('h ''' 
Ahora, usamos este resultado en nuestra función.
Recordemos que:
Si: f(x) = x2 es )x(f ' = 2x
g(x) = ln(x) es
x
1
)x(g' 
m(x) = x – 2 es 1)x(m' 
Ahora,
 
2x
1).2xln(.2
1.
2x
1).2xln(.2
)2x(
2x
1
).2xln(.2
)2xln(.)2xln(2)x(h
'
''








Entonces si h(x) = ln2(x – 2) es
2x
1).2xln(.2)x(h'


Ejemplo 17
Calculamos la derivada de x7xsen)x(f 2 
f es la composición de g(x) = x2 – 7x ; h(x) = x y m(x) = sen x
Y es:
xcos)senx()x(m
x
1
2
1
)x()x(h
7x2)x7x()x(g
''
''
'2'



Calculamos ahora )x(h'
x7x
7x2
1
x7xcos
2
1
)7x2.(
x7x
1
2
1
.x7xcos
)x7x(
x7x
1
2
1
.x7xcos
)x7x(.x7xcos)x(h
2
2
2
2
'2
2
2
'22'









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Ejemplo 18
Derivamos la función   xcos23 e2xsenxln)x(h 
Vemos que h(x) es la diferencia entre dos funciones:
r(x) = )senxxln( 23 y s(x) = xcose2 ,
por lo que;
h’(x) = [ )senxxln( 23 ]’ – [ xcose2 ]’ (1)
A su vez, r y s son funciones compuestas.
Buscamos primero la derivada de r(x) = )senxxln( 23
La función h es la composición de f(x) = lnx y g(x) = x3 .senx2
Es decir r(x) = )x)(gf(  por lo que su derivada es )x(g)x)(g(f)x(r ''' 
Recordamos que (lnx)’ =
x
1
))'x(ln(  . (2)
Y para hallar (x3 · senx2 )’ usamos la regla del producto;
(x3 · senx2 )’ = (x3) ‘ · senx2 + x3 (senx2 )’ (3)
Pero (senx2 )’ es nuevamente la derivada de una función compuesta (pues x
está elevado al cuadrado).
(senx2 )’ = cosx2 · 2x (4)
Derivando el primer sumando de (3) y reemplazando por (4) es:
(x3 · senx2 )’ = 3x2 · senx2 + x3 cosx2 · 2x
= 3x2 · senx2 + 2x4 cosx2 (5)
Luego:
r’(x) = )cosxx2senx·3x(
senxx
1 2422
23


(6)
Buscamos la derivada de s(x) = xcose2 .
Pero s(x) = xcose2 es también una función compuesta, por lo que volvemos
a usar la regla de la cadena:
s’(x) = 2 ( xcose )’ = 2·(-senx). xcose (7)
Finalmente reemplazamos (6) y (7) en (1):
h’(x) = [ )senxxln( 23  ]’ – [ xcose2 ]’
= )cosx2xsenx·3x(
senxx
1 2422
23


- 2·(-senx). xcose
= cosx
23
2222
e2·senx.
senxx
)cosxx2senx(3x



Entonces la derivada de   xcos23 e2xsenxln)x(h 
es cosx
23
2222
' e2·senx.
senxx
)cosxx2senx(3x
)x(h 



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Observación.
En los ejemplos hemos omitido escribir el dominio de las distintas funciones para agilizar
el cálculo de las derivadas. Sería un buen ejercicio para el lector, que los encuentre.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Recordamos Una función g es la inversa de la función f si
x))x(g(f)x)(gf( 
Y
x))x(f(g)x)(fg( 
La función g se denota por f-1 (se lee “inversa de f”)
Gráficamente, una función y su inversa son simétricas
respecto a la recta y = x.
Conviene también recordar:
1. Si g es la inversa de f, entonces f es la inversa de g.
2. El dominio de f-1 es el conjunto de imágenes de f y el conjunto de imágenes
de f-1 es el dominio de f.
3. Una función puede no tener inversa, pero si la tiene, la inversa es única.
Derivada de la
función
iinversa
Sea f una función derivable y f*1 su inversa. Para hallar la derivada de f-1,
consideremos.
x))x(f(f)x)(ff( 11  
Si derivamos ambos miembros de la igualdad, vemos que:
 En el primer miembro, debemos calcular la derivada de una función
compuesta.
Por lo que es:
'11''1 ))x(f)).(x(f(f)x()ff(  
 En el segundo, es (x)’ = 1
Entonces podemos escribir;
1))x(f)).(x(f(f '11' 
Como nos interesa '1 ))x(f(  entonces despejamos:
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))x(f(f
1
))x(f(
1'
'1

  (con ))x(f(f 1'  0)
Ejemplo 19.
Vamos a usar esta expresión para calcular la derivada de la función inversa
de f(x) = x3
Primero, buscamos la inversa de f. Estamos seguros que existe pues f es
una función biyectiva con Dom(f) = Im(f) = .
y = x3  3 33 xy   xy3 
Cambiando y por x, es yx3  por lo que es 31 x)x(f  cuyo dominio y
conjunto de imágenes coinciden con las de f.
Nuestro propósito es calcular la derivada de 31 x)x(f  usando la
expresión de la derivada de la función inversa.
))x(f(f
1))x(f(
1'
'1

 
Como en el denominador tenemos la derivada de f, la calculamos:
f(x) = x3  2' x3)x(f 
Y además es 3 2233'1' x3)x.3)x(f))x(f(f 
Reemplazando en la fórmula, resulta:
3 21'
'1
x3
1
))x(f(f
1))x(f( 


que está definida para todo x distinto de cero.
Luego la derivada de 31 x)x(f  es
3 2
'1
x3
1))x(f( 
Observación: Verifique, usando las reglas de derivación que el resultado es
correcto.
Funciones
trigonométricas
y sus inversas
Como hemos visto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas, por lo
que no son inyectivas ya que elementos distintos del dominio tienen la misma
imagen.
Si consideramos la gráfica de la función seno, es fácil ver que cualquier recta
horizontal, atraviesa el gráfico de la función en más de un punto. En estas
condiciones no es posible definir la función inversa.
Para poder hacerlo, podemos elegir un intervalo donde la función sea inyectiva, por
ejemplo el intervalo 


 
2
;
2
.
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Inversa de la
función seno
En este intervalo es posible definir la inversa de la función seno. Esta función recibe el
nombre de arco seno de x. Lo denotamos arcsenx.
Además
y = arcsenx  x = sen y
 Notemos que y es el arco cuyo
seno es el número x.
Luego si
f: 


 
2
;
2
 [-1; 1] ; f(x) = senx
su inversa es
f-1: [-1; 1]  


 
2
;
2
; f -1(x) = arcsenx
Inversa de la
función coseno
y de la función
tangente
En el caso de la función f(x) = cos x, es inyectiva en el intervalo [0; ]. En este
intervalo es posible definir la función inversa del coseno. Esta función recibe el
nombre de arco coseno y se denota arccos.
Además
y = arccosx  x = cosy
 y es el arco cuyo coseno es el
número x.
Luego si
f:   ]1;1[;0  ; f(x) = cosxsu inversa es
f-1: [-1; 1]   ;0 ; f-1(x) = arccosx
Análogamente, la inversa de la función tangente es la función arco tangente (arctg)
y = arctgx  x = tgy
 y es el arco cuya tangente es el
número x.
Luego si
f: );(
2
;
2



  ; f(x) = tgx
su inversa es
f-1: 


 
2
;
2
);( ; f -1(x) = arctgx
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Derivada de las
funciones
trigonométricas
inversas
 Derivada de arcsenx
Recordemos que cuando componemos una función con su inversa
obtenemos la función identidad
x))x(f(f)x)(ff( 11  
Entonces al componer f(x) = senx y f-1(x) = arcsenx obtenemos también la
función identidad, por lo que resulta que:
sen(arcsenx) = x
Por otro lado, si y = arcsenx entonces y  


 
2
;
2
por lo que es cosy 0.
Además por la relación pitagórica es:
sen2y + cos2y = 1  ysen1ycos 2
Vamos a usar estas relaciones para calcular la derivada de f-1(x) = arcsenx = y.
  222
'
'
x1
1
)arcsenx(sen1
1
ysen1
1
cosy
1
inversa)funciónlade(derivada
)y(f
1
(arcsenx)







Luego, la derivada de arcsenx es
2x1
1

Derivadas de arccosx y arctgx
De manera análoga, se puede verificar que:

2
'
x1
1(arccosx)



2
'
x1
1)arctgx(


Resolvemos algunos ejemplos en los cuales interviene la derivada de funciones
trigonométricas inversas.
Ejemplo 20.
Calcular la derivada de:
a) f(x) = arctg(3x2)
b) f(x) = earcsenx
Solución
a) f(x) = arctg(3x2)
La función f es la composición de las funciones h(x) = arctgx y g(x) = 3x2
Sabemos que si f(x) = )x)(gh(  su derivada es )x(g).)x(g(h)x(f ¡'' 
Calculamos )x(gy)x(h ''
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x6)x3()x(g
x1
1)arctgx()x(h
'2'
2
''



Reemplazando en )x('g).)x(g(h)x(f '' 
x6.
)x3(1
1
)x(f
2
'


Luego si f(x) = arctg(3x2) es x6.
)x3(1
1
)x(f
2
'


b) f(x) = earcsenx
La función f es la composición de g(x) = arcsenx y h(x) = ex
Sus derivadas son:
xx'
2
''
e)'e()x(h
x1
1
)arcsenx()x(g



Reemplazando en )x(g).)x(g(h)x(f ''' 
2
arcsenx
2
arcsenx'
x1
e
x1
1
e)x(f




Ejemplo 21.
Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = arcsenx en el punto de
abscisa x = 0.
Solución .
Recordamos la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de la
función.
)ax()a(f)a(fy ' 
En el ejemplo es a = 0
Calculamos:
f(a) = f(0) = arcsen0.
Buscamos el ángulo que pertenece al
dominio de arcsenx cuyo seno es cero.
En este intervalo senx = 0 si x = 0
Luego f(0) = 0
1
01
1)0(f)a(f
2
'' 


Reemplazamos en la ecuación de la
recta
xy
)0x(10y


Entonces la ecuación de la recta tangente
a la función f(x) = arcsenx en x = 0 es
y = x
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Derivación
logarítmica.
En muchas ocasiones, para hallar la función derivada de algunas funciones
compuestas en las que intervienen la función exponencial, es útil usar la regla de la
cadena en )x)(gf(  siendo f(x) = lnx.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 22.
Derivamos la función
12x)x3()x(f 
Para ello, tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros :
))x3ln(())x(fln( 1
2x 
Y desarrollamos el segundo miembro, utilizando propiedades del logaritmo:
)x3ln()1x(
))x3ln(())x(fln(
2
12x

 
Derivamos ambos miembros (en el primero, es la derivada de una función
compuesta, en el segundo la derivada de un producto)
x3
3
)1x()x3ln(x2
)x(f
)x´(f 2 
Despejamos f´(x)
)x(f
x3
3)1x()x3ln(x2)x´(f 2 




 
Y reemplazamos f(x)
  1
2x2 x3
x3
3
)1x()x3ln(x2)x´(f 




Ejemplo 23
Calculamos la derivada de
x
x
senx)x(f 





Igual que en el ejemplo anterior, tomamos logaritmos en ambos miembros.
 




















x
senx
lnx
x
senx
ln)x(fln
x
Y derivamos ambos miembros y operamos
1
senx
xxcos
x
senx
ln
senx
senxxxcos
x
senx
ln
x
senxxxcos
senx
xx
x
senxln1
)x(f
)x(f
2


















 






Despejamos f´(x) y reemplazamos f(x) por su fórmula.




















 1
senx
xxcos
x
senx
ln
x
senx
)x(f
x
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Derivadas
sucesivas
Como la derivada de una función f es también una función, como tal podemos derivarla y
obtener de ella su derivada. A esta nueva función la llamamos derivada segunda de f.
Lo anotamos: f” (x)
Del mismo modo, al ser f” una función, podemos seguir derivándola y obtener la tercera,
cuarta … n-èsima derivada de f.
A estas nuevas funciones se las denomina funciones derivadas sucesivas de f.
Ejemplo 12.
Si f(x) = 3x4 – x3 + 5x2 – 3 sus derivadas sucesivas son:
 Derivada primera: f ’(x) = 12x3 – 3x2 + 10x
 Derivada segunda: f”(x) = 36x2 – 6x + 10
 Derivada tercera: )x(f ''' = 72x – 6
 Derivada cuarta: fV(x) = 72
 Las derivadas sucesivas son todas iguales a cero.