2 Derivada de la función compuesta

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivada función compuesta 1
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
REGLA DE LA CADENA
Antes de
empezar
En general las funciones que estudiamos son el resultado de aplicar operaciones entre
funciones más sencillas. Por ejemplo,
 f(x) = x2 + senx es la suma de las funciones g(x) = x2 y m(x) = senx

1x
2x3)x(f

 es el cociente entre las funciones g(x) = 3x – 2 y m(x) = x – 1.
Y en otros casos, son el resultado de componer dos ó más funciones.
Vamos, en principio a ocuparnos de este último caso.
Recordemos que dadas dos funciones, f y g, para hallar la expresión de la función
compuesta gf  , hacemos,  )x(gf)x)(gf( 
Por ejemplo,
si f(x) = x y g(x) = x+1, entonces,   1x1xf)x)(gf(  ,
cuyo dominio es: Dom( gf  ) = [-1; +)
Para poder derivar funciones compuestas es necesario que podamos reconocer cuáles
son las funciones que intervienen en la composición, esto es, poder mirar hacia atrás y
pensar una función como una composición de funciones más sencillas.
Por ejemplo, en funciones como,
h(x) = (2x -1)3 ó
1x
1)x(h
2 

que son funciones compuestas, nos va a interesar reconocer cómo se hizo la composición.
Intentemos hacerlo:
Ejemplo 1.
Vamos a expresar h(x) = (2x – 1)3 como una composición:
Para ello, observemos que (2x -1)3 se obtiene de encontrar 2x – 1 y elevar al
cubo este resultado. Y además Dom (h) = 
Luego podemos pensar que f(x) = x3 y g(x) = 2x – 1 y Dom(f) = Dom(g) = 
Entonces es h(x) = (2x – 1)3 = [g(x)]3 =   )x)(gf()x(gf 
Lo que da h como una composición de las funciones f y g.
Si dudamos, es posible verificarlo, hallando gf  . Lo hacemos:
  3)1x2()1x2(f)x(gf)x)(gf(  = h(x)
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Ejemplo 2
Probemos ahora con
1x
1
)x(h
2 
 , Dom (h) =  - {-1; 1}
Observemos que
1x
1
2 
se obtiene de encontrar x2 – 1 y luego hallar su
recíproca, esto es calcular
x
1
, siendo Dom(f) = -{0} y Dom(g) = .
Luego podemos pensar que es f(x) =
x
1
y g(x) = x2 – 1.
Por lo que es 


)x(g
1
1x
1)x(h
2
  )x)(gf()x(gf 
Si dudan, recuerden que pueden verificarlo, hallando la composición.
Ejemplo 3.
¿Y si h(x) = ln2(x – 2), con Dom(h) = >2 = (2; +)?
Esto parece más difícil, pero lo intentamos otra vez:
Observemos que ln2(x – 2), lo encontramos primero de aplicar x – 2, a este
resultado le aplicamos logaritmo natural con lo que obtenemos, ln(x – 2) y luego a
este resultado lo elevamos al cuadrado.
Ahora, tenemos 3 funciones y no 2, como en los ejemplos anteriores:
f(x) = x2 ; Dom(f) = 
g(x) = ln(x); Dom(g) = >0 = (0; +)
m(x) = x – 2; Dom(m) = 
Luego
h(x) = ln2(x-2) = [ln(x-2)]2 = [ln(m(x))]2 =
= [g(m(x))]2 = f[g(m(x))]
= ))x)(mg(f 
Lo verificamos:
)2x(ln)]2x[ln())2x(ln(f))2x(g(f))x)(mg(f 22 
Observación.
La función h(x) = ln2(x-2), también puede escribirse como un producto:
h(x) = ln(x – 2). ln(x – 2)
donde cada factor es la composición de las funciones g(x) = lnx y m(x) = x – 2
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Derivada de
funciones
compuestas.
Regla de la
cadena
Recordemos ahora, la regla de la cadena.
Usando la definición de derivada, es posible verificar que si es:
h(x) =  )x(gf)x)(gf( 
la derivada de h; es;
    )x(g.)x(gf)x)(gf()x('h '''  
Las funciones que intervienen en la composición deben ser derivables. Es decir, debe ser
g derivable en todo su dominio y f derivable en el conjunto de imágenes de g.
Ahora vamos a relacionar lo que recordamos en el apartado anterior con el cálculo de
derivadas.
Lo importante es recordar que cuando tenemos que derivar una función compuesta,
primero debemos reconocer las funciones que se componen. Hecho esto, podremos
aplicar fácilmente la regla de la cadena.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 4.
Hallar la derivada de
 hx) = sen(x2)
La expresión sen(x2) la encontramos aplicando a las imágenes de x2 la función senx
Luego las funciones que se componen son: f(x) = senx y g(x) = x2
Por lo que es h(x) =   )x(sen)x(f)x(gf)x)(gf( 22 
Como es:
x2)x()x(g
xcos)senx()x(f
'2'
''


Entonces es:
  x2)x(g.y)xcos())x(gcos()x(gf '2' 
Por lo tanto, usando la regla de la cadena es:
    )x(g.)x(gf)x)(gf()x('h '''   = cos(x2) . 2x
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 h(x) = sen2x
h es la composición de las mismas funciones del ejemplo anterior:
f(x) = x2 y g(x) = senx
h(x) =   xsen)senx(f)x(gf)x)(gf( 2
Como es:
xcos)senx()x(g
x2)x()x(f
''
'2'


Entonces es:
  xcos)x(g.y)x(sen2))x(g(2)x(gf '' 
Por lo tanto, usando la regla de la cadena es:
    )x(g.)x(gf)x)(gf()x('h '''   = 2 senx. cosx

4x
1)x(f
2 

Tenemos que f es la composición de las funciones
g(x) = x2 + 4 y
x
1)x(h 
f(x) =  
4x
1)4x(h)x(gh)x)(gh(
2
2


Como es:
x2)4x()x(g
x
1
x
1)x(h
'2'
2
'
'







Entonces es:
  x2)x(g.y
)4x(
1
))x(g(
1)x(gh '
222
' 


Por lo tanto, es:
   
2222
'''
)4x(
x2
x2.
)4x(
1
)x(g.)x(gh)x)(gh()x('f



 
Observamos que podíamos derivar la función
4x
1
)x(f
2 
 usando la derivada del
cociente de funciones. Si lo hacen, verán que se llega al mismo resultado.
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Hasta aquí derivamos funciones encontradas por la composición de sólo dos funciones
más sencillas.
Podemos extender el procedimiento al caso de la composición de tres funciones o más.
Ejemplo 5
Consideremos nuevamente la función h(x) = ln2(x – 2) y calculemos su derivada.
Vimos que h es la composición de
f(x) = x2 ; g(x) = ln(x); m(x) = x – 2
siendo h(x) = ))x)(mg(f 
Usemos la regla de la cadena para derivar h.
    )x()mg.()x)(mgf)x)(mg(f()x('h '''  
Observamos que )x()mg( ' es la derivada de una función compuesta por lo que
es
)x(m.))x(m(g)x()mg( ''' 
Reemplazando en la igualdad anterior:
  )x(m)).x(m(g.)x)(mgf)x('h ''' 
Ahora, usamos este resultado en nuestra función.
Recordemos que:
Si: f(x) = x2 es )x(f ' = 2x
g(x) = ln(x) es
x
1)x(g' 
m(x) = x – 2 es 1)x(m' 
Ahora,
 
2x
1
).2xln(.2
1.
2x
1
).2xln(.2
)2x(
2x
1).2xln(.2
)2xln(.)2xln(2)x(h
'
''








Entonces si h(x) = ln2(x – 2) es
2x
1).2xln(.2)x(h'


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Ejemplo 6
Calculamos la derivada de x7xsen)x(f 2 
f es la composición de g(x) = x2 – 7x ; h(x) = x y m(x) = sen x
Y es:
xcos)senx()x(m
x
1
2
1)x()x(h
7x2)x7x()x(g
''
''
'2'



Calculamos ahora )x(h'
x7x
7x2
1
x7xcos
2
1
)7x2.(
x7x
1
2
1
.x7xcos
)x7x(
x7x
1
2
1
.x7xcos
)x7x(.x7xcos)x(h
2
2
2
2
'2
2
2
'22'










Ejemplo 7
Derivamos la función   xcos23 e2xsenxln)x(h 
Vemos que h(x) es la diferencia entre dos funciones: r(x) = )senxxln( 23 y s(x)
= xcose2 , por lo que;
h’(x) = [ )senxxln( 23 ]’ – [ xcose2 ]’ (1)
A su vez, r y s son funciones compuestas.
Buscamos primero la derivada de r(x) = )senxxln( 23
La función h es la composición de f(x) = lnx y g(x) = x3 .senx2
Es decir r(x) = )x)(gf(  por lo que su derivada es )x(g)x)(g(f)x(r ''' 
Recordamos que (lnx)’ =
x
1))'x(ln(  . (2)
Y para hallar (x3 · senx2 )’ usamos la regla del producto;
(x3 · senx2 )’ = (x3) ‘ · senx2 + x3 (senx2 )’ (3)
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Pero (senx2 )’ es nuevamente la derivada de una función compuesta (pues x está
elevado al cuadrado).
(senx2 )’ = cosx2 · 2x (4)
Derivando el primer sumando de (3) y reemplazando por (4) es:
(x3 · senx2 )’ = 3x2 · senx2 + x3 cosx2 · 2x
= 3x2 · senx2 + 2x4 cosx2 (5)
Luego:
r’(x) = )cosxx2senx·3x(
senxx
1 2422
23 
(6)
Buscamos la derivada de s(x) = xcose2 .
Pero s(x) = xcose2 es también una función compuesta, por lo que volvemos a usar
la regla de lacadena:
s’(x) = 2 ( xcose )’ = 2·(-senx). xcose (7)
Finalmente reemplazamos (6) y (7) en (1):
h’(x) = [ )senxxln( 23  ]’ – [ xcose2 ]’
= )cosx2xsenx·3x(
senxx
1 2422
23 
- 2·(-senx). xcose
= cosx
23
2222
e2·senx.
senxx
)cosxx2senx(3x



Entonces la derivada de   xcos23 e2xsenxln)x(h 
es cosx
23
2222
' e2·senx.
senxx
)cosxx2senx(3x
)x(h 



Observación.
En los ejemplos hemos omitido escribir el dominio de las distintas funciones para agilizar
el cálculo de las derivadas. Sería un buen ejercicio para el lector, que los encuentre.