La derivada - Transformación Conforme - Teoría

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 31 
 
 
 
 
 
 
 
3LA FUNCIÓN COMPLEJA Y LA DERIVACIÓN 
 
 
1. LA DERIVADA COMPLEJA 
 
1.1. Definición 
 
Sea una función cuyo dominio contiene un entorno de z
0
; la derivada de en z
0
, se define 
como: 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
siempre que este límite exista. 
 
Se dice que es diferenciable en z
0 
cuando existe su derivada en z
0
. 
 
Sea una nueva variable compleja, podemos escribir esta definición como: 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Si omitimos el subíndice en z
0 
 y llamamos al cambio o variación que sufre el valor ( ) 
cuando la variable z varía en z, es decir: ( ) ( ) y si además llamamos 
 
 
 a 
 ( ) obtenemos la siguiente expresión para la derivada: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
Ejemplos 
 
1. Dada ( ) , obtener 
 ( ) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 32 
si operamos obtenemos 
 
 ( ) 
 
( ) 
 
Si ( ) , ( ) 
 
 
2. Para ( ) ̅, se obtiene 
 ( ) 
 
 
 
 
( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) ̅
 
 
 
donde y ( ) ( ) (Figura 21); reemplazando resulta: 
 
 ( ) 
 
( ) ( ) ( )
 
 
 
 ̅̅ ̅
 
 
 
Dónde, si este límite existe, debe ser único y en consecuencia independiente de la dirección con que 
nos acerquemos a z. Para cualquier camino formado por puntos del entorno de z debemos obtener 
el mismo valor del límite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En particular proponemos: 
 
a) Acercarnos a por un camino paralelo al eje , es decir por los puntos ( ) que se indica en 
la Figura 22. 
 
En este caso resulta: 
 ̅̅ ̅ 
 
 ̅̅ ̅
 
 
 
 
 
 
 
b) Acercarnos a z por un camino paralelo al eje y, es decir por los puntos ( ) resulta: 
 
z 
z + z 
z 
x 
y 
y 
 y +  y 
 
y 
 
x 
x x +  x 
Figura 21: z y z + z 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 33 
 ̅̅ ̅ 
 
 ̅̅ ̅
 
 
 
 
 
 
 
Entonces, como obtenemos dos valores distintos del límite, podemos concluir que no existe la 
derivada de ( ) ̅ . 
Este ejemplo ilustra la sospecha de que la existencia de la derivada de una función de variable 
compleja es un requerimiento riguroso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. La existencia de la derivada y su relación con la continuidad 
 
Dada ( ) ̅ , donde ( ) continua para todo ( ) y ( ) y 
continua para todo ( ), resulta continua para todo ( ), sin embargo, hemos comprobado 
que no es derivable en C. Significa entonces que la continuidad de una función compleja en un 
punto no implica en todos los casos la existencia de la derivada en él. 
 
En cambio, se puede demostrar que: Si existe la derivada de en z
0, 
entonces es continua en z
0
 
 
La continuidad de es condición necesaria para la existencia de la derivada y la existencia de la 
derivada es condición suficiente para la continuidad. 
 
Demostración: 
 
Existe la derivada de en z
0
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
Como 
 
 
[ ( ) ( )] 
 
[ ( ) ( )]( )
 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
z 
(x+x, y) 
(x, y + y) 
x 
y 
x 
y 
Figura 22: Camino horizontal y camino vertical para 
aproximarse a z 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 34 
Entonces 
 
 
 
[ ( ) ( )] 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 
Ejemplo 
 
Si ( ) 
( )
( )
, no está definida en z =  i  no es continua en z =  i  no es 
derivable en z =  i 
 
Pero ¿en qué región es derivable ? 
 
 
1.3. Fórmulas de derivación 
 
A partir de la definición de derivada y de las propiedades de los límites de las funciones de variable 
compleja, se puede demostrar que las reglas para la derivación de funciones que ya conocemos del 
cálculo diferencial para una variable real, son también válidas para derivar las funciones de variable 
compleja, siempre que las funciones sobre las que se apliquen dichas reglas sean derivables en z. 
 
De este modo, si las derivadas de las funciones de y existen en z, entonces 
 
La derivada de una suma de funciones complejas derivables en z es la suma de las derivadas de cada 
una de las funciones 
 
 ( ( ) ( ))
 
 ( ) ( ) 
 
La derivada de un producto de funciones derivables en z se obtiene como la derivada del primer 
factor por el segundo sin derivar más la derivada del segundo factor por el primero sin derivar 
 
 ( ( ) ( ))
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
La derivada de un cociente de funciones derivables en z , si la función en el denominador es distinta 
de cero en z se obtiene como el cociente la derivada de numerador por el denominador sin derivar 
menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, todo sobre la función en el 
denominador al cuadrado. 
 
 ( ) 
 
 
(
 ( )
 ( )
) 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) 
 
 
Para las funciones compuestas, la regla de derivación es la siguiente: 
 
Si tiene derivada en z y tiene derivada en ( ), la función ( ( ( )) ( )( ) 
tiene derivada en z y es: 
 ( ) ( ( )) ( ) 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 35 
 
La regla de derivación de las funciones inversas establece que si tiene derivada en ( ) y 
 tiene función inversa de modo que ( ), entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
 
Dada ( ) 
 
 
 , las funciones en el numerador ( ) y la función en el denominador 
 ( ) 
 son derivables  z C pues se obtienen como la diferencia y la suma 
respectivamente de funciones derivables  z C. Entonces ( ) 
 es derivable 
por ser cociente de funciones derivables. La derivada es, si usamos la regla de derivación del 
cociente: 
 ( ) 
 
( ) 
 { } 
 
 
1.4. Ecuaciones de Cauchy - Riemann 
 
Dada ( ) ( ) ( ) derivable en z, calculamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El resultado de este límite es independiente de la dirección con que nos acercamos a z. 
 
 Si nos aproximamos a z a través de un camino paralelo al eje x, obtenemos: 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 
 
 [ ( ) ()] [ ( ) ( ] 
 
Dividimos por z y calculamos el límite del cociente, es decir ( ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ( ) ( )]
 
 
 
[ ( ) ( )]
 
 
 
Observamos que los límites del segundo miembro dan por resultado las derivadas parciales de las 
funciones y con respecto a la variable , es decir que: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 36 
 
 Si nos aproximamos a z a través de un camino paralelo al eje y, obtenemos: 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 
 
 [ ( ) ( )] [ ( ) ( ] 
 
Dividimos por y calculamos ( ) como el límite del cociente; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ( ) ( )]
 
 
 
[ ( ) ( )]
 
 
 
Vemos que los límites del segundo miembro dan por resultado las derivadas parciales de las 
funciones y con respecto a la variable . Reemplazando: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas dos funciones derivadas obtenidas deben ser iguales pues la derivada de es única. Igualando 
resultan las siguientes ecuaciones diferenciales, llamadas ecuaciones de CauchyRiemann: 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones de Cauchy-Riemann 
 
 
Como consecuencia de lo expuesto podemos enunciar el siguiente teorema: 
 
Si ( ) ( ) ( ) es derivable en z entonces las primeras derivadas parciales de y 
de deben existir en z y deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy - Riemann en ese punto. 
 
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condiciones necesarias para la existencia de 
 
. Si es derivable en z podemos calcular en término de las derivadas parciales de las 
funciones de dos variables reales componentes de , o sea: 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada de a partir de sus funciones reales componentes 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 37 
Es usual emplear la siguiente notación para las derivadas parciales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta esta notación,las ecuaciones de Cauchy- Riemann pueden escribirse 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
 
1. La función ( ) ( ) es derivable para todo , y ( ) . Deben 
entonces verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann para todo z. En efecto, si calculamos las 
derivadas parciales: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Obtenemos que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se verifican para todo complejo z. 
 
2. Como las ecuaciones de Cauchy-Riemann son necesarias para la existencia de la derivada en z, se 
utilizan para localizar los puntos donde no es derivable: 
Si para ( ) | | , calculamos las derivadas parciales de las partes real e imaginaria de , 
se obtiene: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Entonces (se verifica para el eje de ordenadas) 
 
 (se verifica para el eje de abscisas) 
 
Las ecuaciones se verifican simultáneamente sólo en z = (0, 0). 
 
Dado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann no se cumplen en C {(0, 0)} podemos establecer que 
 no es derivable en C − {(0, 0 )} . Sin embargo, no podemos concluir nada respecto a la 
derivabilidad de en (0, 0). 
 
 
Las condiciones de Cauchy- Riemann, extremadamente importantes, han surgido de considerar dos 
de las infinitas maneras como z puede tender a cero. Es natural, por tanto, esperar que se 
requieran otras severas condiciones para asegurar que, a lo largo de esos otros caminos, 
 
 
 tenderá 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 38 
también a 
 
 
. No obstante, no es así y se puede demostrar sin gran dificultad que, si y 
junto con sus primeras derivadas parciales son continuas en un entorno de z, las 
ecuaciones de Cauchy-Riemann son no sólo necesarias sino también suficientes para la existencia de 
la derivada de f en z. 
 
Este resultado se enuncia en el siguiente Teorema que se presenta sin demostración: 
 
Teorema 
Si la función ( ) ( ) ( ) está definida para un entorno de ( ) son 
continuas en ( ), existen y son continuas en ( ) las derivadas parciales y esas derivadas parciales 
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z, entonces existe la 
derivada de en z. 
 
 
Ejemplo 
 
Para ( ) | | , las derivadas parciales existen y son continuas zC. 
f es continua en z = (0,0) donde además se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, entonces 
es derivable en (0,0). Calculemos su derivada 
 
 ( ) 
 
 
 
2.- FUNCIONES ANALÍTICAS 
 
2.1. Definición 
 
Decimos que una función es analítica en z si su derivada existe en z y en todo complejo de 
algún entorno de z. 
 
Así para que una función sea analítica en z, no sólo debe tener derivada en dicho punto, sino en 
todos los puntos del interior de un círculo de radio distinto de cero centrado en z. El complejo z 
donde es analítica es un punto regular de . 
 
Se dice que es analítica en una región R si es analítica en todo punto de R; es decir que para 
todo z de R, es derivable en z y en todo complejo de una vecindad de z. Si es derivable en 
una región R tal que R es un dominio (conjunto abierto y conexo) podemos rodear a todo complejo 
z de este dominio por un círculo de modo que la función resulta derivable en z y en todos los puntos 
del interior del círculo. En consecuencia podemos asegurar que si es derivable en un dominio es 
analítica en ese dominio. 
 
Una función de variable compleja es analítica en una región que no es un dominio si es derivable en 
un dominio que contiene a esa región. 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 39 
Una función analítica en una región R se dice también holomorfa o regular en R. Los términos 
analítica, regular y holomorfo se emplean como sinónimos. 
 
Si no es analítica en z pero, en cambio, toda vecindad de contiene puntos donde es 
analítica, se dice que z es un punto singular o singularidad de . 
 
Una función entera es una función analítica z /z  C 
 
El concepto de analiticidad de en z supone la derivabilidad de la función en un entorno de z. A 
partir de esta existencia local de la derivada de en z se pueden inferir importantes propiedades 
para mientras que el hecho de que una función de variable compleja sea derivable en un puntoo 
en una curva no tiene consecuencias dignas de mención. 
 
El teorema que establece las condiciones suficientes para la analiticidad de en z se enuncia a 
continuación. 
 
Sea la función ( ) ( ) ( ) definida en E(z) si las derivadas parciales 
 existen y son continuas en E(z) y si esas derivadas parciales satisfacen las 
ecuaciones de Cauchy-Riemann en E(z), entonces es analítica en z. 
 
Ejemplos 
 
1. Dada ( ) 
 
 
, es derivable en el dominio D = C− {− i, i } en consecuencia es 
analítica en D pues para todo z en D existe un entorno con centro en z donde es 
derivable. 
 
2. Dada ( ) | | es derivable en (0,0), sin embargo no es analítica en (0,0) pues no existe un 
entorno de (0,0) donde sea derivable. 
 
 
 
3. TRANSFORMACIÓN CONFORME 
 
3.1. Representación paramétrica de una curva 
 
Dada una curva  en el plano complejo C, los puntos de la curva pueden representarse mediante 
la ecuación vectorial paramétrica: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
donde ( ) e ( ) son funciones continuas del parámetro o variable real t/ a  t  b (Figura 
23). Esta ecuación corresponde a una función compleja de la variable real t y define una aplicación 
continua del intervalo real [a, b] en el plano z, donde los puntos se ordenan para valores crecientes 
de t 
 
Si obtenemos ( ) [ ( ) ( )] que es el extremo inicial de  
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 40 
Si obtenemos ( ) [ ( ) ( )] que es el extremo final de  
 
Ejemplo 
 
Sea , una circunferencia en C, con centro en ( ) y radio r. 
 
En este caso, para t [0,2): 
 ( ) 
 ( ) 
 
La representación vectorial paramétrica para t  [0, 2) es: 
 ( ) ( ) ( )ó ( ) 
 
 
 
Estas representaciones no son únicas, por ejemplo, también podemos representar a  
 ( ) 
 ( ) ( ) para [ ] 
 
 
3.2. Arco Suave – Contorno 
 
Dada ( ) ( ) ( ) ( ), si existen ( ) e ( ) continuas en [a, b], ( ) 
resulta: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
[
 ( ) ( ) ( ) ( )
 
] 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
Se observa que existe ( ) y es continua en [a, b] por ser continuas ( ) e ( ) en [a, b] 
 
La pendiente de la recta tangente a la curva  es 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 [ ] ( ) ( ) ( ) 
 
En particular la pendiente de la tangente a la curva  en (Figura 23) será: 
 
(
 
 
)
 
 
 ( )
 ( )
 [
 ( )
 ( )
] [ ( )] 
 
Se observa que el ángulo de inclinación de la tangente a  en el punto coincide con el 
argumento de la derivada de la ecuación vectorial paramétrica en ese punto siempre que 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 41 
 ( ) ( ) , es decir ( ) 
 
Podemos concluir: 
Dada ( ), función compleja de variable real definida en [a, b], si existe z´ y ( ) en 
[a, b], significa la existencia de la tangente a la curva  en [a, b], para  la gráfica de la función 
z y se puede establecer que el ángulo que forma la tangente a la curva con el eje real en cada punto 
de la curva coincide con el argumento de la derivada de z en ese punto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23: Representación vectorial paramétrica de una curva 
Recta tangente a la curva en un punto 
 
Sin pretensiones de rigor, un arco suave es una curva cuya tangente está definida en todo punto y 
cambia de dirección en forma continua a lo largo de la curva. 
 
 Se dice que la curva : ( ), t  [a, b] es un arco suave sii: 
i. ( ) es continua en [a, b] 
ii. ( ) es continua en [a, b] 
iii. ( ) en (a, b) 
iv. ( ) ( ) ( ) 
 
La condición iv. establece que la curva no posee puntos múltiples, salvo en los extremos si la curva 
es cerrada. El significado de las tres primeras condiciones ya fue analizado. 
 
En la Figura 24 C
1
 es un arco suave mientras que C
2
 y C
3
 no lo son pues C
2
 presenta un punto 
múltiple en z
1
 y un punto donde la derivada no es continua (punto anguloso) y C
3
 presenta un 
punto anguloso. 
 
 La curva : ( ), t  [a, b] es un contorno o arco suave a trozos, o curva lisa a 
tramos, o arco seccionalmente liso sii: 
i. ( ) es continua en [a, b] 
ii. ( ) es continua a trozos en [a, b] 
y 
z(t)
) 1 
a b t0 
 x(a) x(b) x 
0 
z0 = z(t0) 
z (a) 
z (b) 
y(b) 
y(a) 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 42 
iii. ( ) en (a, b) 
iv. ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un contorno o curva suave a trozos es la curva o trayectoria formada por un número finito de arcos 
suaves unidos por sus extremos. 
 
La Figura 25 muestra tres arcos suaves unidos para formar un contorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. Angulo de rotación 
 
Si ( ) y ( ) ( ) ( ) [ ] entonces resulta: 
 
 [ ( )] ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 
 
que corresponde a la representación vectorial paramétrica de la imagen de la curva  definida por 
z (t) bajo la transformación ( ). Llamemos * a esta curva (Figura 26). 
 
Sea ( ) analítica [ ] ( ) 
Para en *, la imagen del punto de , la pendiente de la recta tangente a * en , 
resulta 
 
 
 
 ( )
 ( )
 ( ) ( ) ( ( ) ) 
 
 ( )
 ( )
 [ ( )] ( ) ( ) ( ) 
Figura 25: Contorno 
La dirección de la tangente de una curva 
suave a trozos o contorno puede cambiar 
en forma discontinua en los puntos de 
unión de los arcos suaves. 
 
C2 
z1 
z1 
 C1 
Figura 24: Arco Suave, punto múltiple y punto anguloso 
 C3 
z2 
z1 z3 
z1 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26: La Transformada de Γ si ( ) 
Dado que ( ) [ ( )], obtenemos ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 
 
y además [ ( )] [ [ ( )] [ ( )] 
 
Si [ ( )] [ [ ( )]] [ ( )] 
 
 [ ( )] hacemos [ [ ( )]] [ ( )][ ( )] 
 
O sea que , el argumento de la derivada de f en representa el ángulo de rotación de la 
tangente a la curva  en . 
 
Es decir que la tangente a la curva * , la imagen de  bajo ( ) en el punto ( ) se 
obtiene rotando el ángulo a la tangente a la curva en . Esto puede asegurarse si f es derivable 
en y ( ) . 
 
En particular si ( ) y es un número real; las tangentes a  en y a * en ( ) 
son las paralelas, tienen la misma dirección. En este caso pues ( ( )) 
 
Si ( ) y es un número imaginario puro, entonces las tangentes a  en y a * en 
 ( ) son perpendiculares. En este caso pues ( ( )) . 
3.4. Conservación de ángulos 
 
Sean ahora 
1
 y 
2 
dos arcos suaves que pasan por z
0 
y sean 
1 
y 
2
 los ángulos de 
inclinación de sus respectivas rectas tangentes dirigidas en z
0
. Si 
1 
 y 
2
 son los ángulos de 
inclinación de las rectas tangentes a las curvas imagen *
1
 y *
2 
respectivamente en w
0
 = f (z
0
), 
se obtienen sumando a 
1
 y 
2
 el ángulo de rotación de la tangente en z
0 
 bajo la transformación 
 ( ). 
 
Si [ ( )], se obtiene y 
 
 * 
u 
v 
w0 
0 
w=f(z) 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 44 
Como 
 ( ) ( ) 
 
El ángulo 
2
 − 
1
 desde la tangente a *
1
 hasta la tangente a *
2
 es el mismo en magnitud y 
sentido que el ángulo 
2
 − 
1
 desde 
1
 a 
2
 , es decir que podemos decir que se conservan los 
ángulos. Esta situación se visualiza en la Figura 27. 
 
Una transformación ( ) es conforme en z
0
 si tiene la propiedad de conservar la magnitud y el 
sentido del ángulo entre dos curvas que se intersectan en z
0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27: Conservación del ángulo entre las tangentes 
 
3.5. Módulo de la derivada 
 
Sea ( ), derivable en z
0
, calculemos el módulo de ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
Si empleamos la propiedad de los límites que dice: 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
| ( )| | | 
resulta: 
 
| ( )| 
 
|
 ( ) ( )
 
| 
 
| ( ) ( )|
| |
 
 
Observamos que los números z−z
0 
 y f(z) - f(z
0
)  expresan, respectivamente, las distancias entre 
los puntos z y z
0
 del plano z y entre sus imágenes f(z) y f (z
0
) del plano w. 
 
De este modo la razón: 
| ( ) ( )|
| |
 ( ) 
 
1 2 
2 
1 
 
 
2 
1 
*2 
*1 
x u 
y v 
w = f ( z ) 
z0 
 w0 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 45 
se puede considerar como el coeficiente que establece la dilatación del vector obtenida al 
hacer la transformación mediante la función pues | ( ) ( )| | |. 
Así, el módulo de la derivada se interpreta como la dilatación en z
0
 mediante la transformación . 
Al valor f (z
0
)  se lo llama factor de escala. 
 
3.6. Transformación conforme 
 
Decimos que la transformación ( ) es conforme en z, si tiene la propiedad de conservar la 
magnitud y el sentido del ángulo entre dos curvas que se intersectan en z. 
 
Si ( ) el ángulo de rotación de las pendientes de las rectas tangentes a las curvas en el punto 
z cuando se las mapea con ( ) es igual al ( ( )) Podemos asegurar que si ( ) 
en un entorno de z; esto es, f analítica en z y ( ) , el mapeo producido por ( ) es 
conforme. 
 
Si f es una función analítica en la región R entonces en, la transformación definida por ( ) es 
conforme en el entorno de todo punto de R en que f (z) 0. 
 
Sea una función no constante y es analítica en z
0
; entonces z
0
 se llama punto crítico de la 
transformación ( ) si ( ) 
 
Ejemplo 
 
Dada ( ) , f es derivable en C y ( ) 
 
Como f (z) = 0 si z=0  z=0 es un punto crítico. 
 
Si ( ) ( ) 
 
Sea Arg z= = , una semirrecta que parte de z= 0. Entonces: 
 
 ( ) 
 
y obtenemos en el plano w una semirrecta que arranca de w=1 con un ángulo de inclinación 2 
Análogamente, para la semirrecta Arg z = =  que parte de z=0, obtenemos en el plano w una 
semirrecta que arranca de w=1 con un ángulo de inclinación 2. Esto se observa en la Figura 28. 
 
Se observa que para (−) el ángulo entre los dos rayos en el plano z; el ángulo entre las 
semirrectas imágenes es 2 −2 = 2 ( − ). En este caso resulta que para dos curvas que pasan por 
el punto crítico el ángulo entre sus imágenes no se conserva sino que se duplica. 
 
Puede demostrarse que si es un punto crítico de la transformación ( ) , existe un entero 
positivo m (m  2), tal que el ángulo entre cualquier par de arcos que pasen por queda 
multiplicado por m bajo la transformación. El entero m resulta el menor entero positivo tal que 
 ( ) . 
 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: La Derivada Compleja 
 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER(PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA ( PROFESOR ADJUNTO) 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28: El mapeo de las semirrectas ( ) 
 
 
El porqué del término conforme 
 
Aunque el ángulo de rotación [ ( )] y el factor de escala | ( )| varían, en general, 
punto a punto, para analítica en podemos decir que en puntos z próximos a z
0
, los ángulos 
de rotación y el factor de escala resultan aproximadamente iguales a los de z
0
, 
 
 [ ( )] [ ( )] | ( )| | ( )| ( ) 
 
Luego, la imagen en una pequeña región en un entorno de z
0
 es conforme con la región original, en 
el sentido de que tiene aproximadamente la misma forma. Sin embargo, una región grande puede 
transformarse en una región que no guarde parecido con la original. 
 
Este resultado da lugar al siguiente teorema de la transformación uno a uno (o biunívoca) 
 
Sea ( ) una función analítica en z y tal que ( ) . Entonces ( ) es una transformación 
uno a uno en una vecindad de z. 
 
Este teorema debe emplearse con cierta precaución ya que sólo se refiere a las propiedades locales 
de una transformación ( ). Esto es; si consideramos un círculo suficientemente pequeño 
centrado en z , el teorema puede garantizar que la transformación en el interior del círculo será uno a 
uno mientras que si el círculo es demasiado grande la transformación puede no ser uno a uno 
aunque ( ) en todo punto del círculo. 
 
Un corolario del teorema anterior afirma que si ( ) , se puede despejar z de la expresión 
 ( ) para obtener una transformación inversa ( ) que es univaluada en una vecindad de 
 ( ) 
 
 
y 
 
 
 -  
x 
u 
v 
2 
2 
2 - 2  
1