4 - DISEÑO DE LOSA (PLATEA) Y VIGA DE FUNDACIONES

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Diseño de losas y viga de Fundación 
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Capítulo IV 
Diseño de Losa (Platea) y Viga de 
Fundación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 DISEÑO DE LOSA (Platea) Y VIGA DE FUNDACION. 
 
4.1 LOSA DE FUNDACION. 
 
Se usa para edificaciones en general para pequeñas y grandes cargas 
estructurales, para terrenos de baja cohesión como arenas donde no se justifican 
excavaciones debido al costo de la misma o en suelos donde es difícil predecir los 
hundimientos o levantamientos diferenciales que una zapata aislada es incapaz de 
soportar. Consiste en una losa maciza de concreto armado que une todas las 
columnas de la superestructura y permite repartir un esfuerzo parejo en toda la 
cimentación cuando se suponiendo un comportamiento como un elemento rígido, 
adsorbiendo los esfuerzos originados por flexión y corte. 
 
Estas fundaciones suelen diseñarse como elementos grandes en área que resiste 
las presiones generadas por el terreno y el cálculo estructural puede ser como una 
losa maciza o nervada armada en una dirección o en dos direcciones, se recomienda 
para cualquier tipo de estructuras, sean muy pesadas o muy livianas, existen varios 
tipos de losa de fundaciones que se usan actualmente entre ellas se incluyen las 
siguientes: 
 
a). - Placa plana figura 104. La losa es de espesor uniforme con doble capa de acero 
de refuerzo. 
b). - Placa plana con mayor espesor bajo la zona de columnas, ver figura 104. 
c). - Placa con vigas de refuerzo que unen las columnas en dos direcciones, ver 
figura 104. 
d). - Losa de fundación sobre pilotes, ver figura 104. Este sistema ayuda a reducir 
el asentamiento de una estructura construida sobre suelo de alta compresibilidad y 
cuando el nivel freático es alto, las losas se colocan a menudo sobre pilotes para 
controlar la flotabilidad. 
e). – Losa con muros de sótano como parte de la placa. Los muros actúan como 
rigidizadores de la losa. 
 
 
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4.1.1 CAPACIDAD DE CARGA EN LOSAS DE FUNDACION. 
 
La capacidad de carga ultima que se estudió en los capítulos anteriores trataba solo 
para zapatas bien sea cuadradas, rectangulares, circulares, corridas, pero para este 
caso existen algunas consideraciones que se deben tomar al respecto, a pesar de que 
se utilizan las mismas expresiones, y se utilizara la expresión general que se estudió 
con los factores de capacidad de carga, de forma, de profundidad y de inclinación de 
la carga que es la siguiente: 
 
𝑞𝑢 = 𝑐.𝑁𝑐𝐹𝑐𝑠𝐹𝑐𝑖𝐹𝑐𝑑 + 𝑞
∗𝑁𝑞𝐹𝑞𝑠𝐹𝑞𝑖𝐹𝑞𝑑 + 0,5. 𝛾. 𝐵. 𝑁𝛾𝐹𝛾𝑠𝐹𝛾𝑖𝐹𝛾𝑑 
 
El término B, para el caso de losa de fundación, será el ancho menor de la losa y la 
capacidad neta ultima de carga viene dada por la expresión siguiente: 
 
𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢) 
= 𝑞(𝑢) − 𝑞 
 
 Un factor de seguridad debe usarse para calcular la capacidad de carga neta 
admisible. Para losas sobre arcilla, el factor de seguridad no debe ser menor de 3, bajo 
carga muerta y carga viva máxima, sin embargo, en condiciones extremas el factor de 
seguridad debe ser por lo menos entre 1,75 y 2. Para losas sobre arenas debe usarse 
normalmente un factor de seguridad igual a 3. Bajo la mayoría de las condiciones de 
trabajo, el factor de seguridad contra falla por capacidad de carga en losas sobre arena 
es muy grande. 
Para arcillas saturadas con fricción cero (Φ=0) y condición de carga vertical 
solamente, la ecuación general de capacidad ultima de carga se transforma en la 
siguiente: 
 
𝑞𝑢 = 𝑐𝑢. 𝑁𝑐. 𝐹𝑐𝑠. 𝐹𝑐𝑑 + 𝑞 
 
Donde, 
 𝑐𝑢 = 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑑𝑟𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑁𝑐 = 5,14 ∶ 𝑁𝑞 = 1 𝑦 𝑁ᵧ = 0 
 
Expresando la ecuación con los factores de forma y profundidad quedara de la 
siguiente manera: 
 
𝑞𝑢 = 5,14. 𝑐𝑢(1 + 
0,195. 𝐵
𝐿
)(1 + 0,4.
𝐷𝑓
𝐿
) + 𝑞 
 
Luego se aplica a la capacidad ultima neta, nos queda de la siguiente manera: 
 
𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢) 
= 5,14. 𝑐𝑢(1 + 
0,195. 𝐵
𝐿
)(1 + 0,4.
𝐷𝑓
𝐿
) 
para el caso de losas de fundación sobre arcillas, y construidas superficialmente, o sea 
Df = 0, la ecuación se transforma en la siguiente: 
 
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𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢) 
= 5,14 𝑐𝑢(1 + 
0,195 𝐵
𝐿
) 
 
Si el F.S = 3, nos queda lo siguiente: 
 
𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
= 𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢)
𝐹.𝑆
= 1,713 𝑐𝑢(1 + 
0,195 𝐵
𝐿
) 
 
Para el caso de losa de fundación sobre arenas, cuando la c = 0 y la profundidad de 
desplante Df = 0, la ecuación se transforma en la siguiente: 
 
Que el primero (c = 0) y segundo (q = 0) término de la ecuación general son 0, y la 
ecuación se describe de la siguiente manera: 
 
 𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) = 0,5. 𝛾. B. 𝑁ᵧ. (1 − 
0,4.𝐵
𝐿
) 
 
Para cuando se conocen las pruebas de SPT, la capacidad de carga neta admisible 
de las losas de fundación construidas sobre depósitos de suelo granular, se plantea la 
ecuación siguiente: 
 
𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) (
𝑘𝑁
𝑚2
) = 11,98. 𝑁𝐶𝑂𝑅 . ( 
3,28. 𝐵 + 1
3,28. 𝐵
)
2
. 𝐹𝑑 . (
𝑆𝑒
25,4
) 
 
Donde: 
 
𝑁𝐶𝑂𝑅 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑛𝑒𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎. 
𝐵 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 (𝑚). 
𝐹𝑑 = 1 + 0,33. (
𝐷𝑓
𝐵
) ≤ 1,33 
𝑆𝑒 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑚𝑚. 
 
Cuando en ancho B es grande, la ecuación anterior es aproximada (suponiendo que 
3,28. B + 1 ≈ 3,28. B. 
 
𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) (
𝑘𝑁
𝑚2
) = 11,98. 𝑁𝐶𝑂𝑅 . [1 + 0,33. (
𝐷𝑓
𝐵
)] . (
𝑆𝑒
25,4
) 
 
 
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4.1.2 EJEMPLO DE CÁLCULO DE CAPACIDAD ÚLTIMA NETA ADMISIBLE EN 
LOSA DE FUNDACION. 
 
.- Determinar la capacidad última neta admisible de una losa de fundación que 
posee 10,00 m de ancho y una longitud de 15 m. en los casos siguientes: 
a) Cuando la losa fundación en condiciones extremas, se apoya sobre una arcilla 
saturada con cohesión no drenada de 0,95 kg/cm2, la fricción es (Φ=0) y la 
profundidad de desplante Df =0,45 m. 
 
b) Si la losa la apoyamos sobre un depósito de arena con un peso específico de 
1850 kg/m3, una fricción de 20 grados, una profundidad de desplante Df = 0, el 
número de golpes promedio corregido de la prueba SPT es de 17, con un 
asentamiento admisible de 1,6 cm. 
Parte (a). 
Se aplica la ecuación siguiente: 
 
𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢) 
= 5,14. 𝑐𝑢(1 + 
0,195. 𝐵
𝐿
)(1 + 0,4.
𝐷𝑓
𝐿
) 
 
𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢) 
= 5,14𝑥0,95 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 (1 + 
0,195𝑥 1000 𝑐𝑚
1500 𝑐𝑚
)(1 + 0,4.
45 𝑐𝑚
1500 𝑐𝑚
) = 
 
𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢) 
= 5,58 𝑘𝑔/𝑐𝑚2, por condición extrema adoptamos un F.S = 2 
 
La capacidad última neta admisible será: 
𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
= 𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢)
𝐹.𝑆
= 5,58
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
/2 
 
𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
= 2,80 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 
 
Parte (b). 
 
Si lo realizamos por las pruebas SPT. Se utiliza la siguiente ecuación: 
 
𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) (
𝑘𝑁
𝑚2
) = 11,98. 𝑁𝐶𝑂𝑅 . ( 
3,28. 𝐵 + 1
3,28. 𝐵
)
2
. 𝐹𝑑 . (
𝑆𝑒
25,4
) 
 
Donde: 
𝐹𝑑 = 1 + 0,33. (
𝐷𝑓
𝐵
) = 1 + 0,33𝑥 (
0
10 𝑚
) = 1,0 ≤ 1,33 𝑜𝑘 
 
 
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𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) (
𝑘𝑁
𝑚2
) = 11,98 𝑥 17 𝑥 ( 
3,28 𝑥10 𝑚 + 1
3,28𝑥 10 𝑚
)
2
𝑥 1,00 𝑥 (
16 𝑚𝑚
25,4
) 
 
𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) (
𝑘𝑁
𝑚2
) = 136,23 
𝑘𝑁
𝑚2
 Que equivale a 1,39 kg/cm2 
 
Usando un F.S = 3, por ser un depósito de arena. 
 
La capacidad ultima neta de carga: 
𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
= 𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢)
𝐹.𝑆
= 1,39
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
/3 
 
𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
= 0,46 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 
 
Si lo calculamos incluyendo la fricción de la arena calculada en laboratorio. 
 
𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) = 0,5. 𝛾. B. 𝑁ᵧ. (1 − 
0,4. 𝐵
𝐿
) 
 
Adoptamos el factor de capacidad de carga para Φ = 20 grados, 𝑁ᵧ = 3,64, para una 
falla general por corte. 
 
𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎)= 0,5 𝑥 1850
𝑘𝑔
𝑚3
𝑥 10 𝑚 𝑥 3,64 𝑥 (1 − 
0,4 𝑥 10 𝑚
15 𝑚
) 
 
𝑞𝑢(𝑛𝑒𝑡𝑎) = 2,47 
𝑘𝑔
𝑚2
 
𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
= 𝑞𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑢)
𝐹.𝑆
= 2,47
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
/3 
 
𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
= 0,82 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 
 
Para este caso se recomienda utilizar la capacidad de carga 𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑎) 
=
0,46 𝑘𝑔/𝑐𝑚2, por ser menor y por qué genera mayor área de contacto, si se mantiene 
constante la carga de la superestructura. 
 
 
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4.2 VIGA DE FUNDACION. 
 
Las fundaciones corridas que soportan una fila de columnas ver figura 105, se 
comportan generalmente como viga de fundación apoyadas sobre un medio elástico 
en este caso el medio es el suelo. El cálculo más completo de este tipo de bases 
alargadas sometidas a carga puntuales discretas resulta muy laborioso. Varias teoría 
se han desarrollado para estudiar el comportamiento del suelo, considerándolo un 
medio elástico semi – infinito, con cargas puntuales discretas, uniformemente 
espaciadas, y también se han realizados experimentos de campo ensayo de placa 
rígida para determinar el grado de deformación del suelo y correlacionarlo con la carga 
aplicada para así obtener el módulo de rigidez o módulo de balasto del terreno de 
fundación aplicando la hipótesis de Winkler, existen varios criterios para definir como 
trabaja la vigas apoyadas sobre el lecho elástico, uno es dependiendo de la separación 
entre columnas y comparando dicha longitud con una longitud ficticia o longitud 
elástica, que depende del módulo de balasto, del módulo de elasticidad el concreto, la 
inercia de la sección transversal y del ancho de la sección tomada para la 
determinación de la inercia, esta longitud elástica se calcula por la formula siguiente: 
 
𝐿𝑒 = √
4. 𝐸𝑐. 𝐼
𝑘. 𝑏
 
4
(𝑚) , 𝑘 = 
𝑞
∆
 =
𝑞
𝑦
 
 
Donde: 
Le = longitud elástica o ficticia. (m) 
Ec = módulo de elasticidad del concreto en (ton/m2). 
k = módulo de balasto del terreno sobre el cual se apoya la viga en (ton/m3) 
b = ancho en (m) de la sección tomada para la determinación del momento de 
inercia 
q = carga aplicada en (ton) 
∆ = y = deformación del terreno en (m). 
 
 
 
 
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Luego se debe verificar el criterio de diseño según el comité ACI 336 (1988), las 
losas o vigas apoyadas sobre el terreno se deben diseñar por método rígido 
convencional si S, la separación entre columnas es menor o igual a (1,75. Le), y si S 
es mayor (1,75. Le), se debe diseñar por el método flexible aproximado. 
 
 El método rígido convencional se debe cumplir lo siguiente: 
 
1.- la separación entre columnas no difieren en más 20%. 
2.- las cargas de las columnas adyacentes no deben diferir en más del 20%. 
3.- las reacciones del terreno debe ser uniformemente distribuida y de igual 
magnitud en toda la base de la fundación. 
 
El método flexible aproximado: se puede realizar normalmente de dos maneras. 
 
1.- método de vigas sobre fundación elástica. Que utiliza los módulos de balastos 
como resortes de rigidez variable cónsonos discretizados a lo largo de la viga. 
2.- método aproximados: se trabaja con el diagrama de presiones y se aproximan a 
formas trapezoidal bajo las columnas, para lograr definir las presiones ejercidas por el 
terreno y como la viga no es rígida, el asentamiento en cada columna seria distintos y 
las columnas más cargadas tendrán mayor asentamiento, en cada punto a lo largo de 
la viga el esfuerzo será el producto del asentamiento por el módulo de balasto, 
aproximando el diagrama de esfuerzo a un trapecio. 
Estos dos métodos también se utilizan para el análisis de losa de fundación cuando 
se definen las tiras o franjas en la losa. 
 
4.2.1 EL MODULO DE BALASTO Y SUS VALORES TIPICOS. 
 
La determinación de valor de (k) correspondiente a la hipótesis de Wilkler es 
fundamental en la teoría de las vigas sobre fundación elástica y por ello es importante 
comentar en detalle lo correspondiente a sus valores típicos. El valor de (k) se puede 
obtener experimentalmente en sitio cargando una placa de acero en sus medidas 
estándares y midiendo sus asentamientos. Estas planchas pueden ser cuadradas o 
circulares, sin embargo, lo más importante es que tienen que tener un espesor 
considerado para evitar la deformación de la misma con la aplicación de la carga y la 
reacción del suelo y desvirtúen el ensayo. Por razones prácticas del trabajo de campo 
la dimensión de la plancha está limitada a pequeñas dimensiones. De los resultados 
se desprende que la relación p = k. y, NO ES LINEAL, como se admite en la hipótesis 
de Wilkler. Para no complicar el problema y aprovecharse de la simplificación, varios 
organismos normativos han optado por definir convencionalmente en coeficiente (k) 
por medio de la curva resultante del ensayo de placa. 
 
 .- CRITERIO DEL ROAD RESEARCH LABORATORY: 
 
𝑘𝑂 = 
𝑃𝑂
0,13 𝑐𝑚
 
 
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 .- CRITERIO DE LA U.S. CORPS. OF ENGINEERS: 
 
𝑘𝑂 = 
0,70
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
𝑦𝑜
 
 
 
 
El valor de k0 corresponde al ensayo con una determinada plancha. Durante muchos 
años se sostuvo la idea errada de que el coeficiente (k) era un valor característico del 
tipo de suelo y solo dependía de este. Debido los trabajos de Karl Terzaghi, a partir de 
1930 es que se comenzó a prestarle atención al hecho de que este parámetro también 
depende del tamaño, de la forma y de la profundidad de la fundación, no es posible 
ensayar para cada caso particular de fundación y obtener un valor cercano al real del 
módulo; por ello es que se debe hacer una extrapolación de los resultados del ensayo 
estándar con pequeñas planchas, existen dos enfoques sobre la manera de extrapolar 
los módulos de balastos. 
 
4.2.2 CRITERIOS DE EXTRAPOLACION DE KARL TERZAGUI. (1955). 
 
El valor del módulo de balasto puede ser estimado en base a datos existentes o 
bien ejecutados directamente del ensayo de placa. Como se ha estudiado variaciones 
del valor de (k) por el orden del 100% apenas se traducen en variaciones del 20% 
sobre los resultados del problema. Este hecho favorece si se tiene en cuenta que no 
es posible precisar adecuadamente el valor de dicho modulo y por ello es justificado 
estimarlo de tablas. Como una base para estimar el valor del módulo correspondiente 
a vigas o losas sobre fundación elástica, Terzaghi selecciono el de placas cuadradas 
de 30cm por 30 cm. 
 
 a).- SUELOS ARENOSOS O LIGERAMENTE COHESIVOS. 
Módulo de balasto k30 en kg/cm3 para placas cuadradas de 30 cm x 30 cm o para 
vigas de 30 cm de ancho. 
 
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La densidad se puede determinar mediante el ensayo de penetración estándar, una 
vez que se selecciona el k30, debemos extrapolar convenientemente a fin de estimar 
el correspondiente a la fundación que se desea analizar, la experiencia ha demostrado 
que el valor de k para una viga de 30 cm de ancho apoyada sobre arena es bastante 
similar a de la placa de 30 cm, esto nos indica que no se necesita corregir respecto a 
la longitud de la viga, por otra parte, investigaciones han desarrolla una expresión para 
cualquier ancho de sección de la forma siguiente: 
 
.- módulo de balasto para vigas y losas de ancho B, en arenas. 
 
 𝑘 = 𝑘30 (
𝐵 + 30𝑐𝑚
2𝐵
)
2
 
 
Como se puede observar a medida que el ancho de la viga aumenta, el valor de k 
tiende a hacer aproximadamente 0,25 veces el de la placa cuadrada de 30 cm de 
ancho. Esta ecuación es validad siempre para fundaciones aisladas o continuas 
siempre que la presión del suelo sea inferior a la mitad del valor de la capacidad de 
carga ultima (qu) del sistema de fundación; esto no establece ninguna limitación ya que 
usualmente el factor de seguridad en los cálculos de capacidad de cargas es mayor 
que 2,00. 
 
 b).- SUELOS ARCILLOSOS. 
Módulos de balastos k30 en kg/cm3 para placa cuadrada de 30cm x 30 cm y para 
vigas largas de 30 cm de ancho.Para placas rectangulares de ancho 30 cm y longitud L, el valor del módulo de 
balasto extrapolado será: 
 
 
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𝑘 = 𝑘30 (
1 + 0,5 𝐵/𝐿
1,5
) 
 
Para arcillas altamente consolidada el valor de k30 se incrementa aproximadamente 
en forma simple proporción a la resistencia a la compresión no confinada ρult . Para 
arcillas normalmente consolidadas (ρult < 1 kg/cm2), los valores de k30 son tan 
pequeños que se pueden analizar la viga como infinitamente rígida. 
 
Para vigas largas la corrección por ancho B, determinada en base al concepto del 
bulbo de presiones y admitiendo para las arcillas características de deformación 
independiente de la profundidad, resulta. 
 
𝑘 = 𝑘30. 30 𝑐𝑚/𝐵 , esta ecuación se aplica para vigas largas de ancho B, apoyada 
sobre arcillas. 
 
En el caso de fundaciones rectangulares de ancho B y L = m.B, la corrección del 
módulo de balasto se calcula por la siguiente ecuación: 
 
𝑘 = 𝑘30 (
𝑚+0,5
1,5.𝑚
), para vigas de ancho B y longitud L = m.B, apoyada sobre arcillas. 
Para vigas muy largas de longitud infinita, o sea m, es muy grande 𝑘 = 0,67 . 𝑘30 
 
4.2.3 CRITERIOS DE EXTRAPOLACION DE ALEKSANDER VESIC (1963). 
 
Basándose en las ecuaciones rigurosas de M.A Biot (1937) al estudiar las vigas 
infinitas apoyadas sobre medio elástico CONTINUO en un seminfinito elástico e 
isótropo y en una adecuada comparación con la hipótesis simplificadora de Emil Wilkler 
(1867), Vesic obtuvo la siguiente ecuación 
 
𝑘 =
0.65
𝐵
√
𝐵4.𝐸𝑠 
𝐸𝑣.𝐼𝑣 
12
.
𝐸𝑠
(1−𝜇𝑠
2)
, 
 
Donde k es el módulo de balasto para vigas muy largas o infinitas. 
 
Como puede verse esta ecuación presenta dos características importantes, toma 
en cuenta la RIGIDEZ de la fundación y permite evaluar el valor de (k) con ensayos de 
laboratorio. Ya que el módulo de elasticidad Es y semi infinito el coeficiente de poisson 
se determinan mediante ensayo triaxial. En algunos casos se conoce el coeficiente de 
balasto kb para una placa cuadrada de ancho (b) (generalmente de 30 cm x 30 cm), 
para dichos casos VESIC obtuvo la siguiente ecuación: 
 
 𝑘 =
0.52
𝐵
√
(𝑘𝑏 .𝑏).𝐵 
4 
𝐸𝑣.𝐼𝑣 
12
. (𝑘𝑏 . 𝑏), 
 
 
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módulo de balasto para vigas infinitas en función del correspondiente a una placa 
de (bxb). 
 
En las fórmulas de Vesic, la notación es la siguiente: 
k = módulo de balasto para vigas muy largas o infinitas en kg/cm3 
B = ancho de la fundación en cm. 
Es = módulo de elasticidad del suelo en kg/cm2 
Ev = módulo de elasticidad del material de la viga en kg/cm2 
Para las vigas usuales de concreto se debe usar: 
 𝐸𝑣 = 15100.√𝑓𝑐´, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓𝑐
´ es la resistencia del concreto a los 28 dias. 
Iv = momento de inercia de la sección transversal de la viga en cm4 
s = coeficiente de poisson del suelo es adimensional. 
kb = módulo de balasto para la placa (bxb) en kg/cm3 
b = ancho de la placa al cual corresponde el kb en cm. 
 
4.2.4 TABLAS Y VALORES TIPICOS DE MODULOS DE BALASTOS, MODULOS 
DE ELASTICIDAD, COEFICIENTE DE POISSON DE SUELOS. 
A continuación, se presentan algunas tablas de interés para aplicarlos en los casos 
de no tener los parámetros mecánicos. 
 
 
 
 
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Si no se dispone de resultados precisos sobre ensayos del suelo, pueden tomarse 
para (k) como aproximación los valores de la tabla 22 siguiente: (según Beton – 
Kalender 1962). 
 
 
 
Si se conoce la rigidez del terreno se puede utilizar la expresión de “Rausch” en el 
libro Maschinen Fundamente, 1959. Que es la siguiente: 
 
 
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𝑘 = 
𝐸𝑠
𝑓. √𝐴 
 (
𝑡𝑜𝑛
𝑚3
) 
 
Donde: 
k = módulo de balasto del terreno sobre el cual se apoya la viga en (ton/m3) 
A = área o superficie de la fundación (m2) 
K = coeficiente de balasto 
Es = rigidez o módulo edometrico del terreno (ton/m2) 
f = coeficiente adimensional, que depende de la superficie de la fundación, para 
vigas largas se puede tomar un valor de f = 0,4. 
 
4.2.5 ANALISIS DE LAS VIGAS SOBRE FUNDACION ELASTICA. 
 
Consideramos una viga de eje recto y de sección constante apoyada sobre un 
medio elástico donde se considere la hipótesis simplificadora de Emil Winkler, o sea 
que p = k.y, donde p= reacción del terreno, k= módulo de reacción del suelo o módulo 
de balasto, y = asentamiento producido por la carga aplicada. 
Al deformarse la viga por efecto de las cargas aplicadas se genera una respuesta 
del terreno en sentido opuesto a la deformación. Esta reacción estará distribuida sobre 
la parte inferior de contacto de la viga y vale (p = k . y), en general las cargas externas 
q(x) vienen en forma lineal, por ello es conveniente expresar también la reacción del 
terreno en termino de carga lineal, como esta expresión r(x) = k.B.y(x). 
 
 
 
 
Adicionalmente a la reacción vertical del suelo se generan fricciones entre la viga y 
este, las cuales no se toman en cuenta por que no influyen apreciablemente en el 
problema e introducen complicaciones innecesarias. 
Considerando un elemento Δx = dx en su geometría original y suponiendo que es 
válida la teoría de las deformaciones pequeñas. Este elemento estará sometido a una 
carga externa q(x) y a una reacción del suelo r(x) = k.B.y(x). A los efectos de establecer 
un equilibrio supones cargas y solicitaciones positivas. 
 
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La ecuación diferencial de flexión se conoce como: 
 
𝑑2𝑀
𝑑𝑥
= 𝑞 
 
En nuestro caso adicionalmente a la carga externa (q) también se tiene la reacción 
del suelo r(x) = k.B.y, y por lo que resulta evidente: 
 
 
Aplicamos la sumatoria de fuerza verticales se tiene lo siguiente: 
 
𝑉 − (𝑉 + 𝑑𝑉) − 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥). 𝑑𝑥 = 0 
 
Resolviendo nos queda: 
 
−
𝑑𝑉
𝑑𝑥
− 𝑞(𝑥) + 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) =, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) − 𝑞(𝑥), 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 
𝑑2𝑀
𝑑𝑥2
= 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) − 𝑞(𝑥) 
 
Si utilizamos la ecuación diferencial de flexión de resistencia de materiales: 
 
𝐸𝐼 (
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
) = −𝑀, 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒. . 𝐸𝐼 (
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
) = −(
𝑑2𝑀
𝑑𝑥2
) 
 
Sustituyendo en la ecuación anterior: 
 
𝐸𝐼 (
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
) = − 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) + 𝑞(𝑥), 
 
Esta es la ecuación diferencial de una viga sobre lecho elástico. Cuando no actúa la 
carga distribuida y solo es carga puntual, queda la siguiente ecuación: 
 
𝐸𝐼 (
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
) + 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) = 0 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
462 
 
 
 
 
Cuando la viga está en posición deformada, se admiten como válidas las siguientes 
hipótesis: 
 
.- se debe cumplir las deformaciones pequeñas. 
.- solo se consideran las deformaciones por flexión. 
.- se deben conservar las caras planas de la sección después de la deformación. 
.- el comportamiento debe ser linealmente elástico. 
.- simplificación de la expresión teórica de la curvatura, si se suponen muy pequeñas 
las deformaciones, o sea que se debe simplificar la siguiente ecuación: 
 
 
(
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
)
[1+(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
]
2/3 ≅
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 
 
Entonces a ecuación diferencial de vigas sobre fundación elástica quedaría de la 
siguiente manera: 
 
𝐸𝐼 (
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
) + 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) = −𝑞(𝑥) 
 
.- En lo siguiente se demostrará la solución de la ecuación diferencial planteada de 
la siguiente manera: 
 
𝐸𝐼 (
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
) + 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) = 0 
 
Eligiendo una solución del tipo: 
 
 𝑦 = 𝑒𝛽𝑥, 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛: 𝑦´ = 𝛽. 𝑒𝛽𝑥; 𝑦´´ = 𝛽2. 𝑒𝛽𝑥; 𝑦´´´ = 𝛽3. 𝑒𝛽𝑥 ; 𝑦𝑖𝑣 = 𝛽4. 𝑒𝛽𝑥 
 
Sustituyendo en la ecuación diferencial: 
 
𝐸𝐼(𝛽4. 𝑒𝛽𝑥) + 𝑘. 𝐵. 𝑒𝛽𝑥 = 0, 𝑒𝛽𝑥 (𝐸. 𝐼. 𝛽4 + 𝑘. 𝐵) = 0 
 
Descartando la solución trivial. 𝑒𝛽𝑥 = 0, resulta que debemos resolver lo siguiente: 
(𝐸. 𝐼. 𝛽4 + 𝑘. 𝐵) = 0, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝛽, 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎,𝛽 = √
−𝑘. 𝐵
𝐸. 𝐼
4
 
Multiplicando y dividiendo por 4. Nos queda la siguiente ecuación: 
 
𝛽 = √
𝑘.𝐵
𝐸.𝐼
4
. √−4
4
, 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟𝑎 𝛽 = √
𝑘.𝐵
𝐸.𝐼
4
, 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
1
𝐿
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝑐𝑚,𝑚) , 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
463 
 
 
 
 
Lo que nos queda es la ecuación conocida como el factor beta de la longitud 
característica de las vigas sobre fundación elástica. Dicha longitud es de primordial 
importancia porque relaciona las propiedades del suelo y de la viga. 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠 4 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 √−4
4
 𝑠𝑜𝑛: 
 
(1 + 𝑖), (1 − 𝑖), (−1 − 𝑖), (−1 + 𝑖) , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖 = (𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠) 
 
La solución general de la ecuación diferencia homogénea para el cálculo del valor 
de (y), quedaría expresada de la forma siguiente: 
 
𝑦 = 𝐴1𝑒
𝛽(1+𝑖)𝑥+ 𝐴2𝑒
𝛽(−1+𝑖)𝑥+ 𝐴3𝑒
𝛽(−1−𝑖)𝑥+ 𝐴4𝑒
𝛽(1−𝑖)𝑥 
 
Operando la ecuación anterior tenemos lo siguiente: 
 
𝑦 = 𝑒𝛽𝑥(𝐴1𝑒
𝑖𝛽𝑥+ 𝐴4𝑒
−𝑖𝛽𝑥) + 𝑒−𝛽𝑥(𝐴2𝑒
𝑖𝛽𝑥+ 𝐴3𝑒
−𝑖𝛽𝑥) 
 
Utilizando las ecuaciones de Euler: 
 
𝑒𝑖𝛽𝑥 = cos(𝛽𝑥) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) 
𝑒𝑖𝛽𝑥 = cos(𝛽𝑥) − 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) 
 
Sustituyendo y resolviendo la ecuación de (y), tenemos lo siguiente: 
 
𝑦 = 𝑒𝛽𝑥[(𝐴1+ 𝐴4) cos(𝛽𝑥) + ( 𝐴1 − 𝐴4). 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] + 𝑒
−𝛽𝑥[(𝐴2+ 𝐴3) cos(𝛽𝑥) + ( 𝐴2 − 𝐴3). 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] 
 
Si se agrupan las constantes: 
 
(𝐴1+ 𝐴4) = 𝐶1 , (𝐴1− 𝐴4). 𝑖 = 𝐶2 
(𝐴2+ 𝐴3) = 𝐶3; (𝐴2− 𝐴3). 𝑖 = 𝐶4 
𝑦 = 𝑒𝛽𝑥[𝐶1 . cos(𝛽𝑥) + 𝐶2. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] + 𝑒−𝛽𝑥[𝐶3 . cos(𝛽𝑥) + 𝐶4 . 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] 
 
Esta es la solución general de homogénea, de la ecuación diferencial, se tiene que 
tomar en cuenta que (𝛽𝑥) , es un numero adimensional que se interpreta como 
radianes. 
 
.- Solución Particular de la Ecuación Diferencial Completa: 
 
𝐸𝐼 (
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
) + 𝑘. 𝐵. 𝑦(𝑥) = −𝑞(𝑥) 
 
Definida analíticamente la carga distribuida q(x), mediante métodos aproximados, 
es posible intentar buscar una solución cerrada para esta ecuación diferencial. Solo en 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
464 
 
 
 
casos muy particulares pueden obtenerse soluciones; obviamente el caso más sencillo 
e inmediato resulta cuando q(x) es constante. Y nos dará la ecuación siguiente: 
 
𝑦 =
𝑞0
𝑘. 𝐵
 
 
Esta solución tiene satisface automáticamente la ecuación diferencial completa de 
las vigas sobre lecho elástico, puesto que siendo y = constante, la derivada cuarta yiv 
= 0. Si agregamos esta solución particular a la solución homogénea obtenida 
anteriormente dispondremos de la solución de la ecuación general completa. Aun en 
este caso sencilla las determinaciones de las constantes de integración se dificultan, 
y solo se considera en la teoría el caso de cuando q = 0, y cuando exista q, se obtendrá 
por una de estas alternativas. 
 
.- Sustituir q por unas cargas P concentradas equivalentes. 
.- Resolver con cargas concentradas elementales qdx y posteriormente integrar. 
.- Métodos numéricos. 
 
Entonces nos limitaremos al estudio de la solución general homogénea para q = 0, 
partiendo de la ecuación de deflexión y(x). se obtienen la rotación (θ), el momento 
flector (M) y la fuerza cortante (V), en las expresiones siguientes: 
 
Para la deflexión: 
 
𝑦 = 𝑒𝛽𝑥[𝐶1 . cos(𝛽𝑥) + 𝐶2. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] + 𝑒−𝛽𝑥[𝐶3 . cos(𝛽𝑥) + 𝐶4 . 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] 
 
 Para la Rotación: 
 
θ = 𝛽. 𝑒𝛽𝑥[𝐶1 . (cos(𝛽𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)) + 𝐶2 . (cos(𝛽𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥))]
− 𝑒𝛽𝑥[𝐶3 . (cos(𝛽𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)) + 𝐶4 . (cos(𝛽𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] 
 
Para el Momento Flector: 
 
𝑀 = −2. 𝛽2. 𝐸𝐼. [𝑒𝛽𝑥(−𝐶1 . sen(𝛽𝑥) + 𝐶2. 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥)) + 𝑒−𝛽𝑥(𝐶3 . sen(𝛽𝑥) − 𝐶4 . 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥))] 
 
Para la Fuerza Cortante: 
 
𝑉 = −2. 𝛽3. 𝐸𝐼. [𝑒𝛽𝑥(−𝐶1 (cos(𝛽𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)) + 𝐶2 (cos(𝛽𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥))]
+ 𝑒−𝛽𝑥[𝐶3. (cos(𝛽𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥))+𝐶4 . (cos(𝛽𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥))]. 
 
Los estudios sobre las vigas de fundación sobre lecho elástico, siempre se habla de 
vigas infinitas las que se ha estudiado hasta ahora, vigas semi - infinitas y vigas finitas. 
Esto depende básicamente de la longitud característica (β.L) y de la forma como se 
encuentran apoyadas las vigas en la superficie del terreno. 
 
Según el libro de vigas sobre fundación elástica de Hetenyi. 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
465 
 
 
 
 
.- para vigas CORTAS: β.L < π/4 (0,7854), se puede diseñar por método rígido. 
.- para vigas de LONGITUD MEDIA. π/4 (0,7854) < β.L< π (3,1416). Se puede 
considerar como FLEXIBLE. (SEMI-INFINITA Y FINITA). 
.- Para vigas de LONGITUD LARGA O INFINITA: β.L > π(3,1416), se tiene que 
considerar FLEXIBLE. 
 
A continuación, se realizará un procedimiento para calcular las vigas finitas sobre 
lecho elástico, el mismo se explicará con un ejemplo realizado con el programa Excel, 
que es una hoja de cálculo que desarrolla todas las fórmulas y se aplican en todos los 
puntos de interés sobre las vigas, ya que de forma manual requieren mucha 
complejidad. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
466 
 
 
 
4.2.6 EJEMPLO Y PROCEDIMEINTO DE CÁLCULO DE UNA VIGA SOBRE 
LECHO ELASTICO. 
 
Ejemplo y procedimiento de cálculo de una viga sobre fundación elástica con cargas 
puntuales provenientes de una fila de columnas que solo trasmiten cargas puntuales 
de la superestructura. De acuerdo con el esquema siguiente. 
 
 
Datos: 
b= 80 cm, ancho de viga. 
h = 45 cm, altura de viga. 
K1 = 3,60 Kg/m3, módulo de reacción del suelo. 
qadm = 1,80 kg/cm2, capacidad admisible del terreno. 
f´c = 210 kg/cm2, calidad del concreto. Peso normal. 
fy = 4200 kg/cm2, Resistencia del acero (barras, cabillas, etc.) 
 
1.- Cálculo de las propiedades mecánicas iniciales: 
 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎: 𝐼 = 𝑏 𝑥
ℎ3
12
= 80 𝑐𝑚𝑥 (
45 𝑐𝑚)3
12
= 607.500 𝑐𝑚4 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜: 𝐸𝑐 = 15.100𝑥√𝑓𝑐
´ = 15.100𝑥√210 = 218.820 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 
 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝛽 = √
𝑏. 𝐾
4. 𝐼𝑣. 𝐸𝑐
4
 
 
 𝛽 = √
80 𝑐𝑚 𝑥 3,60 𝑘𝑔/𝑐𝑚3
4𝑥607.500𝑐𝑚4 𝑥 218.820 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 
4
= 0,004824 𝑚−1, entonces 𝛽𝑥𝐿, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐿 = 600 𝑐𝑚. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
467 
 
 
 
𝛽𝑥 𝐿 = 0,004824 𝑥 600 = 2,89 
 
β y L esta entre π/4(0,75) y π(3,14), se puede calcular como viga flexible finita. 
 
2.- Esquemas de las zonas de estudios particulares de la viga: ver figura siguiente 
con los nodos de estudio desde el 1 a 11. 
 
 
 Aquí se pueden observar una propuesta de cómo se puede realizar un arreglo para 
comenzar el análisis de las vigas, se pudiera discretizar más, pero como el cálculo 
riguroso manualmente y repetitivo usaremos la hoja de cálculo de Excel. 
.- se comienza con aplicar las fórmulas para una viga de longitud infinita, cuando la 
carga puntual se aplica en la columna (A) y luego se realizara la corrección para los 
bordes, aplicando la misma carga en el borde de la viga como las fórmulas para una 
viga finita, tomando como datos de entrada los valores que arroga en los bordes las 
fórmulas como viga infinita que serían Mo y Vo, luego se aplica la superposición de 
efectos y se obtiene los valores finales para el caso cuando la carga esta aplicada en 
A. Y se establecerán las siguientes formulas: 
 
Para el Momento Flector iniciales para vigas infinitas: 
 
𝑀𝑖 = (
𝑃
4𝛽
) 𝑒−𝛽𝑥(𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) − sen(𝛽𝑥)) 
 
Para el Fuerzas cortantes iniciales para vigas infinitas: 
 
𝑉𝑖 = (
𝑃
2
) 𝑒−𝛽𝑥𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) 
 
Para los asentamientos diferenciales iniciales para vigas infinitas: 
 
𝑦𝑖 = 𝑃.
𝑒𝛽𝑥
8𝐸𝐼𝛽3
(𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + cos(𝛽𝑥)) 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
468 
 
 
 
Para las presiones que se producen en el suelo: 
 
𝑞𝑖 = 𝑦𝑖 . 𝐾1 
 
Para la corrección en los bordes de la viga por momentos flectores, se debe aplicar 
la misma carga que se produce en lacolumna, pero los efectos se calculan con las 
fórmulas de vigas finitas en medio elástico, tomando como datos los momentos 
iniciales que se producen en los bordes como viga infinita. 
Para el Momento Flector inicial es para vigas finitas: con la carga aplicada en el 
borde izquierdo y luego en el borde derecho, para luego sumar los tres efectos. 
 
𝑀𝑖𝑓𝑖𝑛𝑖 = (
1
𝛽
) (𝑉𝑜 𝑒−𝛽𝑥 sen(𝛽𝑥) − 𝑀𝑜. 𝛽. 𝑒−𝛽𝑥 (𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) − cos(𝛽𝑥)), donde Mo y Vo, son los 
momentos y cortes iniciales. 
 
Luego se repite el mismo procedimiento para la carga aplicada en la columna B, C, 
D y E. después de se suman todos los efectos que producen cada carga en cada 
columna. Ver las figuras siguientes. 
 
 
 
 
 
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469 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura siguiente, se presenta el total de información para el caso en que la 
carga P= 15.000,00 kg en la columna (A). 
 
 
 
 
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470 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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474 
 
 
 
 
 
 
Luego de realizado todo el procedimiento de cálculo, se realizan los diagramas de 
corte y momento, se revisa la altura de la viga con el momento mayor de todos los 
momentos últimos, para después calcular la sección de la viga por flexión que sería el 
área de acero longitudinal y por corte para los estribos. Ver figuras siguientes: 
 
 
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475 
 
 
 
 
 
Detallado de la viga se presenta en la figura siguiente: 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
476 
 
 
 
Para revisar el diseño, se probó con el programa SAP2000v20, que es un programa 
que realiza el cálculo por elementos finitos (FEM) por medio de resortes colocados a 
cada metro, a través de los módulos de balastos, los resultados arrojados por el 
programa se expresan en las figuras siguientes: 
 
 
Aquí se puede ver que el momento máximo es de 19.039,07 kg-m, y el calculado 
por las fórmulas es de 20.057,70 kg-m, lo que indica que están muy próximos. 
 
 
 
 
Aquí se muestra el asentamiento calculado por el programa SAP2000 de 0,37 cm, 
y el calculado por las fórmulas es de 0,36 cm, muy cerca o casi iguales. 
 
 
 
Aquí se muestran las reacciones de los resortes calculados por el programa 
SAP2000, donde se muestra la máxima de 10.666,67 kg, y el calculado por las 
fórmulas es de 10.480 kg. Lo que indica que los resultados están bien. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
477 
 
 
 
 
4.3 LOSA DE FUNDACION POR CRITERIO RIGIDO CONVENCIONAL. 
 
El diseño estructural de las losas de fundación se efectúa normalmente por dos 
métodos convencionales: el método rígido convencional y el método flexible 
aproximado. Los métodos de diferencias finitas y de elementos finitos también se usan, 
pero en este texto solo cubriremos los conceptos básicos de los dos primeros métodos 
de diseños y trataremos en los posible de realizar los cálculos manualmente o uso de 
tablas de autores estudiosos en el tema. 
 
Pasos para realizar el cálculo de una losa de fundación por el método Rígido 
Convencional: 
 
De acuerdo con la figura siguiente se pueden expresar: 
 
1.- Determinar la sumatorias de cargas permanentes y las variables o vivas, en cada 
columna y predimensionar el espesor de la losa por punzonado. 
 
𝑃𝑡 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3…… . 𝑃𝑛. 
 
En el caso de la figura será hasta la columna 16, se suman tanto las cargas muertas 
como las cargas vivas de servicio. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
478 
 
 
 
 
 
Calcular la altura útil de la sección de la losa de fundación por Punzonado según la 
norma ACI318-2019, se tiene que revisar para las columnas más desfavorable bien 
sea de esquina, de borde o internas, sin tomar en cuenta la presión del suelo. 
Se puede aplicar conservadoramente la expresión siguiente: 
 
𝑃𝑢 = 𝑏𝑜 𝑥 𝑑 [[1,10. 𝜙 . 𝜆. 𝜆𝑠. √𝑓𝑐´ ]] , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒. 𝜙 = 0,75 𝑦 𝜆. 𝜆𝑠 = 1,00 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜. 
 
Donde: 
 
 𝑃𝑢 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜. 
𝑏𝑜 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜. 
𝑑 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙. 
 𝑓𝑐
´ = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑜𝑠 28 𝑑𝑖𝑎𝑠. 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
479 
 
 
 
 
La expresión para (bo) en términos de (d), que depende de la posición de la columna 
en la planta de losa de fundación. Ver figura 110. 
 
 
 
2.- Verificación del método de análisis. 
Se debe verificar si la losa fundación se puede diseñar por el criterio rígido 
convencional, utilizando la expresión siguiente: 
 
Criterio del ACI. 
 
Se aplica el método rígido convencional. 
 
𝑠𝑖 
1,75
𝛽
 > 𝐿𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿𝑐 = 𝑙𝑢𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎, 𝛽 = √
𝐵.𝐾
4. 𝐼𝐹 . 𝐸𝐹
4
 
 
Se aplica el método flexible aproximado, 
 
𝑠𝑖 
1,75
𝛽
< 𝐿𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿𝑐 = 𝑙𝑢𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎, 𝛽 = √
𝐵.𝐾
4. 𝐼𝐹 . 𝐸𝐹
4
 
 
Donde. 
B = ancho de la losa de fundación. 
K = módulo de balasto. 
IF = momento de inercia de la sección de estudio de losa de fundación. 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
480 
 
 
 
EF = módulo de elasticidad del material de la losa de fundación. 
 
3.- determinar la presión (q) sobre el suelo en todos los puntos de las columnas (P1, 
P2, P3……P16) y los puntos de interés que para la figura se denotan los siguientes (1, 
2, 3, 5, 6, 7….65), de acuerdo con la ecuación general de la resistencia de materiales. 
 
𝑞𝑖 = 
𝑃𝑡
𝐵1. 𝐿1 
 ± 
𝑀𝑦 . 𝑋
𝐼𝑦
± 
𝑀𝑥 . 𝑌
𝐼𝑥
 
 
Donde: 
𝑖 = 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑠𝑜𝑠, 𝐴1, 𝐴2… .1, 2, 3 …. 
𝑃𝑡 = 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜. 
𝐵1 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛. 
𝐵 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠. 
𝐿1 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛. 
𝐿 = 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠. 
𝑃𝑡 = 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜. 
𝑀𝑦 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 = 𝑃𝑡. 𝑒𝑥 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 = 𝑃𝑡. 𝑒𝑦 
𝐼𝑥 =
𝐵1. 𝐿13
12
= 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
𝐼𝑦 =
𝐿1. 𝐵13
12
= 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦. 
Las excentricidades de las cargas, ex y ey, en las direcciones X y Y, se determinan 
usando las coordenadas (x´, y´), con la ecuación siguiente: 
 
𝑋´ =
𝑃1 . 𝑋1
´ + 𝑃2 . 𝑋2
´ + 𝑃3 . 𝑋3
´ +. . .
𝑃𝑡
 
𝑒𝑥 = 𝑋´ − 𝐵/2 
 
Similarmente: 
 
𝑌´ =
𝑃1 . 𝑌1
´ + 𝑃2 . 𝑌2
´ + 𝑃3 . 𝑌3
´+. . .
𝑃𝑡
 
𝑒𝑦 = 𝑌´ − 𝐿/2 
 
Aquí se tiene que aclarar que B/2 y L/2, es el centro de gravedad de la planta de la 
losa de fundación (ver figura 4.1. se debe tratar de que las excentricidades en X y en 
Y estén dentro del núcleo central de la losa de fundación B/6 y L/6), en este caso por 
ser una figura rectangular se plantea así, pero de ser otro tipo de figura, bien sea 
sección Te, L, u otras se tiene que determinar el centro de gravedad para restárselo o 
sumárselo al centro de cargas y de esta manera obtener la excentricidad. 
Luego con todos estos parámetros se plantea una ecuación en función de X y Y, 
que son las coordenadas medidas desde el centro de gravedad de la losa de 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
481 
 
 
 
fundación, estas coordenadas se tienen que aplicar a las columnas y a los puntos de 
interés sobre la losa de fundación. 
 
4.- Se compararán los valoresde las presiones obtenidas por la ecuación anterior 
con la presión admisible del suelo se debe cumplir qi ≤ qadm(neta) 
 
5.- Se divide la losa en franjas en la dirección X y en la dirección Y, dichas franjas 
se dividen por los anchos tributarios de los ejes estructurales. 
 
6.- Dibujar los diagramas de fuerzas cortantes (V) y momentos flectores (M), para 
cada franja individual (en las direcciones X y Y). por ejemplo, la presión promedio del 
suelo en la franja del eje (1) en la dirección X ver la figura 4.1. esta es igual a la 
sumatoria de todos los puntos que se generaron por la ecuación general de los 
esfuerzos en este caso son 27 puntos. 
 
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚1 =
∑ 𝑞𝑖
27
1
27
 
 
La reacción total del terreno será =𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚1 . 𝐿𝑡1 . 𝐵1. Pero la carga total de las 
columnas de esa franja es igual a (𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4), esta suma casi siempre no es 
igual a la reacción del terreno, porque las fuerzas cortantes entre las franjas 
adyacentes no se han tomado en cuenta. Por esta razón, la reacción del suelo y las 
cargas de las columnas deben ser ajustadas, de la forma siguiente: 
 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚1 . 𝐿𝑡1 . 𝐵1 + (𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4)
2
 
 
Ahora, la reacción del suelo promedio modificada es: 
 
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚1(𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓) = 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚1(
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚1 . 𝐿𝑡1 . 𝐵1
) 
 
Y el factor por modificación de la carga de la columna es: 
 
 𝐹 = 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
(𝑃1+𝑃2+𝑃3+𝑃4)
 
 
Ahora las cargas modificadas de las columnas serán 𝐹. 𝑃1, 𝐹. 𝑃2, 𝐹. 𝑃3, 𝐹. 𝑃4, estas 
cargas modificadas sobre la franja se muestran en la figura 111. Luego se dibujan los 
diagramas de fuerza cortante y momento flector para esta franja esto debe realizarse 
para todas las franjas tanto en el eje X, como en el eje Y. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
482 
 
 
 
 
 
7.- Chequeo del espesor de la losa por Flexión. 
Para el predimensionado por flexión, utilizaremos las fórmulas para el 
dimensionamiento de vigas, tomando como base los momentos máximos positivos o 
negativos el máximo de todos ellos, calculados en el punto 5. 
 
Por las fórmulas de concreto armado para una cuantía 0,18 (valor conservador con 
condiciones de ductilidad), y para una resistencia del concreto a los 28 días de fc´ 
kg/cm2, se tiene la siguiente expresión: 
 
𝑑 = √
𝑀𝑢
𝜙 𝑥 𝑅𝑢 𝑥 𝐵
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜙 = 0,90 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝐵 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎. 
 
Donde: 
𝑅𝑢 = 0,1609 𝑥 𝑓𝑐
´ 
𝑀𝑢 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 5. 
 
Es de notar cuando los espesores por punzonado son muy grandes, se puede 
colocar dicho espesor en una zona de influencia de la columna, y el resto con el 
espesor promedio de las demás columnas. 
 
 8.- Cálculo de las áreas de aceros: 
 
De los diagramas de momentos de todas las franjas en las direcciones X y Y, 
selecciona los momentos máximos positivos y negativos por ancho unitario (es decir 
que el momento se divide por el ancho tributario de franja). 
 
Determinar las áreas de acero por ancho unitario para refuerzo negativo y para 
refuerzo positivo en la dirección X y Y, para luego realizar el detallado de dicha losa 
de fundación, que normalmente se trabaja con doble armado de barras en ambas 
direcciones tanto inferior como superior. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
483 
 
 
 
4.3.1 EJEMPLO DE DISEÑO DE LOSA DE FUNDACION POR CRITERIO RIGIDO 
CONVENCIONAL. 
 
Se desea diseñar una losa de fundación para un edificio comercial según las cargas 
y materiales siguientes: las columnas son todas de 30 x 30 cm. 
 
𝑓𝑐
´ = 250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
, 𝑓𝑦 = 4200
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
, 𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑜) = 18
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
, 𝐹𝑀 = 1,55 𝐾 = 900 𝑡𝑜𝑛/𝑚3 
 
 
 
1.- Predimensionado del espesor de la losa de fundación por punzonado. 
 Columna crítica interna B2, B3, C2…P = 70 ton: con la ecuación de equilibrio 
de fuerza sin tomar en cuenta la presión del suelo. 
 
𝑃𝑢 = 𝑏𝑜 𝑥 𝑑 [[1,10. 𝜙 . 𝜆. 𝜆𝑠. √𝑓𝑐´ ]] , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒. 𝜙 = 0,75 𝑦 𝜆. 𝜆𝑠 = 1,00 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜. 
 
𝑃𝑢 = 1,55 𝑥 70.000 𝑘𝑔 = 108.500,00 𝑘𝑔. 
 
Según figura 4.2. La ecuación de (bo), es la siguiente: 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
484 
 
 
 
 
𝑏𝑜 = 2. (𝑎1 + 𝑑) + 2. (𝑏1 + 𝑑) = 2𝑥(30𝑐𝑚 + 𝑑) + 2𝑥(30𝑐𝑚 + 𝑑) = 120 + 4. 𝑑 
108.500 𝑘𝑔 = (120 + 4. 𝑑)𝑥 𝑑 [[1,10.0,75 .1. √250 ]] = 13,04𝑥(120 + 4𝑑). 𝑑 
 
Esto nos da la siguiente ecuación: 
 
𝑑2 + 30. 𝑑 − 2.080,14 = 0, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑 = 33,01 𝑐𝑚. 
 
Columna crítica de borde B1, C1, B4…P = 43 ton: con la ecuación de equilibrio de 
fuerza sin tomar en cuenta la presión del suelo. 
 
𝑃𝑢 = 𝑏𝑜 𝑥 𝑑 [[1,10. 𝜙 . 𝜆. 𝜆𝑠. √𝑓𝑐
´ ]] , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒. 𝜙 = 0,75 𝑦 𝜆. 𝜆𝑠 = 1,00 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜. 
𝑃𝑢 = 1,55 𝑥 43.000 𝑘𝑔 = 66.650,00 𝑘𝑔. 
 
Según figura 4.2. La ecuación de bo, es la siguiente: 
 
𝑏𝑜 = 2. (𝑐1 + 𝑎1 + 𝑑) + (𝑏1 + 𝑑) = 2𝑥(85𝑐𝑚 + 30𝑐𝑚 + 𝑑) + (30𝑐𝑚 + 𝑑) = 
𝑏𝑜 = 260 + 2. 𝑑 
 
66.650,00 𝑘𝑔 = (260 + 2. 𝑑)𝑥 𝑑 [[1,10𝑥0,75𝑥1𝑥√250 ]] = 13,04𝑥(260 + 2. 𝑑)𝑥𝑑 
 
Esto nos da la siguiente ecuación: 
 
𝑑2 + 130. 𝑑 − 2.555,60 = 0, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑 = 17,34 𝑐𝑚. 
 
Columna crítica de esquina D1…P = 23 ton: con la ecuación de equilibrio de fuerza 
sin tomar en cuenta la presión del suelo. 
 
𝑃𝑢 = 𝑏𝑜 𝑥 𝑑 [[1,10. 𝜙 . 𝜆. 𝜆𝑠. √𝑓𝑐´ ]] , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒. 𝜙 = 0,75 𝑦 𝜆. 𝜆𝑠 = 1,00 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜. 
 
𝑃𝑢 = 1,55 𝑥 23.000 𝑘𝑔 = 35.650,00 𝑘𝑔. 
 
Según figura 4.2. la ecuación de bo, es la siguiente: 
 
𝑏𝑜 = 2. (𝑐1 + 𝑎1 + 𝑑/2) = 2𝑥(85𝑐𝑚 + 30𝑐𝑚 + 𝑑/2) = 230 + 𝑑 
𝑏𝑜 = 230 + 𝑑 
 
35.650,00 𝑘𝑔 = (230 + 𝑑)𝑥 𝑑 [[1,10.0,75 .1. √250 ]] = 13,04𝑥(230 + 𝑑). 𝑑 
 
Esto nos da la siguiente ecuación: 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
485 
 
 
 
 
𝑑2 + 230. 𝑑 − 2.733,89 = 0, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑 = 11.33 𝑐𝑚. 
 
En resumen: 
 
𝑑1 = 33,01 𝑐𝑚, 𝑑2 = 17,34 𝑐𝑚, 𝑑3 = 11,33 𝑐𝑚, 
 
se adopta d = 33,01cm. 
 
Donde h = d + rec. = 33,01 cm +7,50 = 40,55 cm, se adopta h = 50 cm. 
Para realizar el chequeo como losa de fundación Rígida. 
 
2.- Verificación del método de análisis. 
Se debe verificar si la losa fundación se puede diseñar por el criterio rígido 
convencional, utilizando la expresión siguiente: 
 
Criterio del ACI. 
Se aplica el método rígido convencional. 
𝑠𝑖 
1,75
𝛽
 > 𝐿𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿𝑐 = 𝑙𝑢𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎, 𝛽 = √
𝐵.𝐾
4. 𝐼𝐹 . 𝐸𝐹
4
 
Lcx = 4,00 m. 
Lcy = 5,50 m. 
Bx = 14,00 m. 
By = 18,50 m. 
EF = 2.387.520 ton/m2 
 
La ecuación de , 𝛽 = √
𝐵.𝐾
4.𝐼𝐹.𝐸𝐹
4
, 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 , 𝛽 = √
3.𝐾
ℎ3.𝐸𝐹
4
 
 
 𝛽 = √
3𝑥900 𝑡𝑜𝑛/𝑚3
(0,50)3𝑥 2.387.520 𝑡𝑜𝑛/𝑚2
4
= 0,3084 𝑚−1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
1,75
0,3084
= 5,67 𝑚, 
 
Como 5,67 m es mayor que 5,50 m y que 4,00 m, se puede aplicar el METODO 
RIGIDO CONVENCIONAL. 
 
3.- determinar la presión (q) sobre el suelo en todos los puntos de las columnas (P1, 
P2, P3……P16) y los puntos de interés que para la figura se denotan los siguientes (1, 
2, 3, 5, 6,7…….65), de acuerdo con la ecuación general de la resistencia de materiales. 
Ver figura siguiente: 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
486 
 
 
 
 
 
 
𝑞𝑖 = 
𝑃𝑡
𝐵1. 𝐿1 
 ± 
𝑀𝑦 . 𝑋
𝐼𝑦
± 
𝑀𝑥 . 𝑌
𝐼𝑥
 
 
𝐼𝑥 =
14,00 𝑚. (18,50 𝑚)3
12
= 7.386,90 𝑚4 
 
𝐼𝑦 =
18,50 𝑚. (14,00 𝑚)3
12
= 4.230,33 𝑚4 
 
Cálculo de las excentricidades: 
 
Las excentricidades de las cargas, ex y ey, en las direcciones X y Y, se determinan 
usando las coordenadas (x´, y´), con la ecuación y la tabla siguiente: 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
487 
 
 
 
𝑋´ =
𝑃1 .𝑋1
´ +𝑃2 .𝑋2
´ + 𝑃3 .𝑋3
´ +...
𝑃𝑡
 
𝑒𝑥 = 𝑋´ − 𝐵/2 
 
𝑃𝑡 . 𝑋´ = 4. (36 + 70 + 70 + 36) + 8. (36 + 70 + 59 + 25)
+ 12. (22 + +43 + 30 + 8,50) = 
 
𝑋´ =
3.610,00 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚
636,50 𝑡𝑜𝑛
= 5,67 𝑚𝑒𝑥 = 5,67 𝑚 − 6,00 𝑚 = −0,33 
 
Similarmente: 
 
𝑌´ =
𝑃1 . 𝑌1
´ + 𝑃2 . 𝑌2
´ + 𝑃3 . 𝑌3
´+. . .
𝑃𝑡
 
 
𝑃𝑡. 𝑌´ = 5,50. (43 + 70 + 70 + 43) + 11. (43 + 70 + 59 + 30)
+ 16,50. (23 + 43 + 30 + 8,50) = 
 
𝑌´ = 
4.991,25 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚
636,50 𝑡𝑜𝑛
= 7,84 𝑚 
 
𝑒𝑦 = 7,84 𝑚 − 8,25 𝑚 = −0,41 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ver que las excentricidades están dentro del núcleo central de la losa. B/6 
= 2,33 m y L/6 = 3,08m. 
 
Cálculo de los momentos flectores en cada dirección: 
 
𝑀𝑦 = 636,50 𝑡𝑜𝑛 𝑥 (−0,33𝑚) = −210,045 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 
𝑀𝑥 = 636,50 𝑡𝑜𝑛 𝑥 (−0,41𝑚) = −260,965 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚 
 
Sustituyendo los valores en la ecuación general: 
 
𝑞𝑖 = 
636,50 𝑡𝑜𝑛
14 𝑚 𝑥 18,50 𝑚 
 ± 
(−210,045) . 𝑋
4.230,33
± 
(−260,965) . 𝑌
7.386,90
 
 
Nos queda la siguiente ecuación: 
 
𝑞𝑖 = 2,46
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
 − 0,04965 . 𝑋 − 0,03533. 𝑌 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
488 
 
 
 
 
Luego se plotean gráficamente las coordenadas (X,Y) de los puntos de las columnas 
y los puntos de interés y se obtienen las siguientes tablas: 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
489 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
490 
 
 
 
4.- comparación de los valores de esfuerzos obtenidos con la capacidad admisible 
neta del suelo: 
Aquí nos podemos dar cuenta que ningún valor de qi es mayor que qadm(neto) = 18 
ton/m2, lo que nos dice que por capacidad de carga la losa funciona bien. 
 
5.- Se divide la losa en franjas en la dirección X y en la dirección Y, dichas franjas 
se dividen por los anchos tributarios de los ejes estructurales, y se adopta para este 
ejemplo la más desfavorable en el eje X y la más desfavorable en el eje Y, que serán 
la franja del eje (2) en X y la franja del eje (B), ver figura siguiente: 
 
 
 
 
6.- Dibujar los diagramas de fuerzas cortantes (Vu) y momentos flectores (Mu) 
En la tabla de los esfuerzos se obtiene los promedios de cada franja. 
Para la franja (2), obtenemos lo siguiente: 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
491 
 
 
 
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎2 =
69,05
27
= 2,56
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
 
 
𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎2 = 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑗𝑎2 𝑥5,50𝑚 𝑥14,00𝑚 = 2,56 𝑥 5,50 𝑥 14,00 = 197,12 𝑡𝑜𝑛 
 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎2 . 𝐿𝑡2 . 𝐵1 + (𝑃5 + 𝑃6 + 𝑃7 + 𝑃8)
2
= 
 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 
197,12 𝑡𝑜𝑛 + (36 + 70 + 70 + 36) 𝑡𝑜𝑛
2
= 204,56 𝑡𝑜𝑛 
 
 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 204,56 𝑡𝑜𝑛 
 
Ahora, la reacción del suelo promedio modificada es: 
 
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎2(𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓) = 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎2 (
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚2 . 𝐿𝑡2 . 𝐵1
) = 2,56𝑥 (
204,56
197,12
) = 2,66
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
 
 
Y el factor por modificación de la carga de la columna es: 
 
 𝐹 = 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
(𝑃5+𝑃6+𝑃7+𝑃8)
=
204,56 𝑡𝑜𝑛
197,12 𝑡𝑜𝑛
= 1,04 
 
Se dibujan los diagramas de cortes y momentos últimos de la franja (2): 
 
 
 
 
Diagrama de Momentos flectores. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
492 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Cortes: 
 
 
Para la franja (B), obtenemos lo siguiente: 
 
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝐵 =
69,11
27
= 2,56
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
 
 
𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝐵 = 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑗𝑎𝐵 𝑥4,00𝑚 𝑥18,50𝑚 = 2,56 𝑥4,00 𝑥 18,50 = 189,44 𝑡𝑜𝑛 
 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
189,44 𝑡𝑜𝑛 + (𝑃2 + 𝑃6 + 𝑃10 + 𝑃14)
2
= 
 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 
197,12 𝑡𝑜𝑛 + (43 + 70 + 70 + 43) 𝑡𝑜𝑛
2
= 211,56 𝑡𝑜𝑛 
 
 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 211,56 𝑡𝑜𝑛 
 
Ahora, la reacción del suelo promedio modificada es: 
 
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝐵(𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓) = 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑚𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝐵 (
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
189,44 𝑡𝑜𝑛
) = 2,56𝑥 (
211,56
189,44
) = 2,86
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
 
 
Y el factor por modificación de la carga de la columna es: 
 
 𝐹 = 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
(𝑃2+𝑃6+𝑃10+𝑃14)
=
211,56 𝑡𝑜𝑛
189,44 𝑡𝑜𝑛
= 1,11 
 
Se dibujan los diagramas de cortes y momentos últimos de la franja (B): 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
493 
 
 
 
 
 
Diagrama de cortes en (ton). 
 
Diagrama de momentos flectores (ton-m). 
 
 
 
7.- Chequeo del espesor de la losa por Flexión. 
 
Para el predimensionado por flexión, utilizaremos las fórmulas para el 
dimensionamiento de vigas, tomando como base los momentos máximos positivos o 
negativos el máximo de todos ellos, calculados en el punto 6. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
494 
 
 
 
Por las fórmulas de concreto armado para una cuantía 0,18 (valor conservador con 
condiciones de ductilidad), y para una resistencia del concreto a los 28 días de fc´ = 
250 kg/cm2, se tiene la siguiente expresión: 
 
Para la franja (2): 
 
 𝑑 = √
𝑀𝑢
𝜙 𝑥 𝑅𝑢 𝑥 𝐵
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜙 = 0,90 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝐵 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎. 
 
Donde: 
 𝑅𝑢 = 0,1609 𝑥 𝑓𝑐 
´ = 0,1609 𝑥 250 = 40,225 𝑘𝑔/𝑐𝑚 
𝑀𝑢 = 33,82 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚,𝐵 = 550 𝑚. Ancho de franja. 
 
𝑑 = √
33,82 𝑥 1000 𝑥 100 𝑘𝑔−𝑚
0,90 𝑥 40,225 𝑥 550𝑚
= 13,03 𝑐𝑚, esto nos dice que el espesor d = 50 cm, está bien. 
 
Para la franja (B): 
 
 𝑑 = √
𝑀𝑢
𝜙 𝑥 𝑅𝑢 𝑥 𝐵
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜙 = 0,90 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝐵 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎. 
 
Donde: 
 𝑅𝑢 = 0,1609 𝑥 𝑓𝑐 
´ = 0,1609 𝑥 250 = 40,225 𝑘𝑔/𝑐𝑚 
𝑀𝑢 = 51,61 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚,𝐵 = 400 𝑚. Ancho de franja. 
 
𝑑 = √
51,61 𝑥 1000 𝑥 100 𝑘𝑔−𝑚
0,90 𝑥 40,225 𝑥 400𝑚
= 18,88 𝑐𝑚, esto nos dice que el espesor d = 50 cm, está bien. 
 
8.- Cálculo de las Áreas de Aceros con los momentos positivos y negativos: 
De los diagramas de momentos de todas las franjas en las direcciones X y Y, 
selecciona los momentos máximos positivos y negativos por ancho unitario (es decir 
que el momento se divide por el ancho tributario de franja). 
 
Determinar las áreas de acero por ancho unitario para refuerzo negativo y para 
refuerzo positivo en las direcciones X y Y, para luego realizar el detallado de dicha losa 
de fundación, que normalmente se trabaja con doble armado de barras en ambas 
direcciones tanto inferior como superior. 
 
Para la franja (2) 
 
Aplicando las ecuaciones de concreto armado: para un ancho de 1,00 m, el 
momentos Mu(-) = 33,82/5,50 = 6,15 ton-m. 
 
𝑅 = 
𝑀𝑢/𝛷
𝑓𝑐´ 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 𝑑2
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛷 = 0,90 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛. 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
495 
 
 
 
Tomando como ancho b = 100 cm. 
 
𝑅 = 
615.000 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚/0,90
250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 (50𝑐𝑚 − 7,50 𝑐𝑚)2
 = 0,01513 
 
𝑞 = 0,85 − √0,7225 − 1,7. 𝑅 , 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛. 
 
𝑞 = 0,85 − √0,7225 − 1,7𝑥 0,01513 = 0,01527 
 
El área de acero para el ancho de 100 cm se obtiene de la forma siguiente: 
 
𝐴𝑠 = 𝑞 . 𝑏. 𝑓𝑐
´.
𝑑
𝑓𝑦
 = 0,01527 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 250 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑥 
42,5 𝑐𝑚
4200
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
= 3,86 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠 = 3,86 𝑐𝑚2 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 100 𝑐𝑚. 
 
Se compara con el acero mínimo como losa por retracción y temperatura. 
 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0018𝑥100𝑥50 = 9,000 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 9,00 𝑐𝑚2 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 
𝐴𝑠 < 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 , 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 9,00 𝑐𝑚
2, 
 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 1/2" @ 14 𝑐𝑚 𝑜 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 5/8" @ 22 𝑐𝑚 
 
Como este caso es para el mayor valor de momento positivo y negativo, nos dará 
siempre inferior al acero mínimo, por lo que se colocará el acero mínimo también en la 
parte inferior como en la superior (1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 1/2" @ 14 𝑐𝑚. 𝑜 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 5/8" @ 22 𝑐𝑚) 
 
Para la franja (B) 
Aplicando las ecuaciones de concreto armado: para un ancho de 1,00 m, el 
momentos Mu(-) = 51,61/4,00 = 12,90 ton-m. 
 
𝑅 = 
𝑀𝑢/𝛷
𝑓𝑐´ 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 𝑑2
 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛷 = 0,90 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛. 
 
Tomando como ancho b = 100 cm. 
 
𝑅 = 
1.290.000 𝑘𝑔 − 𝑐𝑚/0,90
250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 (50𝑐𝑚 − 7,50 𝑐𝑚)2
 = 0,03174 
 
𝑞 = 0,85 − √0,7225 − 1,7. 𝑅, 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛. 
 
𝑞 = 0,85 − √0,7225 − 1,7𝑥 0,03174 = 0,03235 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
496 
 
 
 
El área de acero para el ancho de 100 cm se obtiene de la forma siguiente: 
 
𝐴𝑠 = 𝑞 . 𝑏. 𝑓𝑐
´.
𝑑
𝑓𝑦
 = 0,03235 𝑥 100 𝑐𝑚 𝑥 250 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑥 
42,5 𝑐𝑚
4200
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
= 8,18 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠 = 8,18 𝑐𝑚2 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 100 𝑐𝑚. 
 
Se compara con el acero mínimo como losa por retracción y temperatura. 
 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0018𝑥100𝑥50 = 9,000 𝑐𝑚2 
 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 9,00 𝑐𝑚2 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 
 
𝐴𝑠 < 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 , 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
= 9,00 𝑐𝑚2, 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 1/2" @ 14 𝑐𝑚. 𝑜 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 5/8" @ 22 𝑐𝑚 
 
Como este caso es para el mayor valor de momento positivo y negativo, nos dará 
siempre inferior al acero mínimo, por lo que se colocará el acero mínimo también en la 
parte inferior como en la superior: 
(1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 1/2" @ 14 𝑐𝑚. 𝑜 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 5/8" @ 22 𝑐𝑚) 
 
A continuación, el detallado de la losa de fundación: 
 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
497 
 
 
 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
498 
 
 
 
4.4 LOSA DE FUNDACION POR CRITERIO FLEXIBLE APROXIMADO. 
 
En este punto se trata sobre el cálculo de losa de fundación por el método flexible 
aproximado que está reflejado en documento ACI Committee 436 (1966). El cual está 
basado en el método de losas circulares planteadas en el libro de Vigas sobre 
fundación Elástica de Hetenyi (1946), este consiste en calcular los momentos radiales 
y tangenciales por una serie de fórmulas muy complejas, que a su vez reflejan una 
graficas donde se puede cometer errores al momento de usarlas, en el libro de Braja 
Das existe una metodología que será explicada más adelante, también realizaremos 
un ejemplo donde reflejaremos este método y luego lo comparamos con un método de 
regresión de una tesis de grado de Japón (Moon, Kyoungtae, Park, Sangyeol. Design 
of Mat Foundation by Simplified Flexible Method Using Regression Analysis), Donde 
se resume de la siguiente manera: 
 
También usaremos el programa ETABSV2016, basado en elementos finitos, para 
comparar los resultados de dicho ejemplo. 
 
4.4.1 METODOLOGIA PARA EL DISEÑO DE LOSA DE FUNDACION POR 
CRITERIO FLEXIBLE. 
 
1. Se debe determinar el espesor aproximado por punzonado, de acuerdo a como 
se realizó en el criterio rígido, pero sin incluir la presión del terreno. 
 
2. Se debe verificar que la losa de fundación se puede diseñar por criterio flexible: 
Dónde: L>1,75/β, donde L = la longitud entre columnas, y beta se calcula por 
la siguiente expresión: 
 
𝛽 = √
𝐵. 𝐾
4. 𝐼𝐹 . 𝐸𝐹
4
 
 
Donde. 
B = ancho de la losa de fundación. 
K = módulo de balasto. 
IF = momento de inercia de la sección de estudio de losa de fundación. 
EF = módulo de elasticidad del material de la losa de fundación. 
 
3. Se calcula la rigidez a flexión (D) de la losa fundación, por la siguiente formula: 
 
Donde: 
E = módulo de elasticidad del concreto. 
μ = módulo de poisson del concreto. 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
499 
 
 
 
t = espesor de la losa de fundación. 
 
4. Se determina el radio de rigidez efectiva, por la expresión siguiente: 
 
 
Donde: 
L = radio de rigidez efectiva, para los cálculos de la zona de influencia de una 
carga de columna se estimará según ACI, de 3 a 4 veces este valor. 
 
5. Determinar los momentos radiales, momentos tangenciales, cortantes y 
asentamientos diferenciales, para esto se discretiza el área de la losa en forma 
tal de poder aplicar la mejor forma las expresiones siguientes: 
 
Momentos Radiales: 
 
 
 
 
Momentos Tangenciales: 
 
 
 
 
 
 
 
Fuerzas Cortantes: Q = V, 
 
 
 
 
Asentamientos diferenciales: y = w, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
500 
 
 
 
Donde: 
P = Carga puntual total de servicio que viene de la columna. 
r= distancia radial desde de la aplicación de la carga al punto de estudio. 
 
 Los valores de Z y sus derivadas Z´, se dan en el grafico siguiente del libro de Hetenyi 
(1946). Donde X = (r/L), ver grafica siguiente, que son funciones matemáticas de 
Bessel y Neumann 
 
 
Fig 112. graficas de los valores de las funciones Z y Z´. 
 
Estas graficas fueron desarrolladas con la siguiente formulación: 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
501 
 
 
 
 
Con estas expresiones es que se construyen los gráficos de Hetenyi. Luego de 
calculados los momentos en coordenadas polares se transforman a coordenadas 
cartesianas con las siguientes formulas: 
 
 
 
Figura 113. sistema de coordenadas para la transformación de los momentos. 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
502 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.- para obtener los momentos finales sobre la losa de fundación se debe aplicar la 
corrección en los bordes para el caso de cargas puntuales, para losas finitas, al igual 
como se realizó en las vigas sobre lecho elástico, pero en este caso solo se corrigen 
los nodos de los bordes, para eso se divide la losa en franjas particulares y se aplican 
las siguientes expresiones para elementos en espacio finito: 
 
Para Momentos corregidos: 
 
𝑀𝑖 = (
1
𝛽
) (𝑉1 𝑒−𝛽𝑥 sen(𝛽𝑥) − 𝑀1. 𝛽. 𝑒−𝛽𝑥 (𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) − cos(𝛽𝑥)) 
 
Para Fuerzas Cortantes: 
 
𝑉𝑖 = −2𝑀1 ∗ 𝛽 ∗ 𝑒−𝛽𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) − 𝑃1 ∗ 𝑒−𝛽𝑥 ∗ (𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) − sin(𝛽𝑥)) 
 
Para asentamientos diferenciales: 
 
𝑦𝑖 = −2𝑀1/𝑘𝑠 ∗ 𝛽2 ∗ 𝑒−𝛽𝑥 ∗ (𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) − sin(𝛽𝑥)) + 2𝑃1/𝑘𝑠 ∗ 𝛽 ∗ 𝑒−𝛽𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) 
 
Donde: 
 
P1 y M1, son los cortes y los momentos que se calculan por las fórmulas del libro 
de Hetenyi para losas circulares de longitud infinita. 
 
 La longitud característica: 
𝛽 = √
𝑏.𝐾
4.𝐼𝑣.𝐸𝑐
4
 , 
 
x = es la distancia desde el punto de aplicación de la carga al punto de estudio. 
 
En lo que respecta a las ecuaciones de regresión que se pueden aplicar para hacer 
más simple el método de Hetenyi, se plantea siguiendo el mismo criterio de las 
ecuaciones de momentos, cortes y deformaciones quedarían resueltas por las 
siguientes ecuaciones: 
 
𝑀𝑟 = −
𝑄
4
∗ 𝑃1 , 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙. 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
503 
 
 
 
 
𝑀𝑡 = −
𝑄
4
∗ 𝑃2 , 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙. 
 
𝑆 = 𝑉 = −
𝑄
4𝐿´
∗ 𝑃3 , 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 
 
𝑧 = 𝑦(𝑥) = −
𝑄 𝐿´2
4𝐷
∗ 𝑃4 , 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠. 
 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
504 
 
 
 
4.4.2 EJEMPLO DE LOSA DE FUNDACION POR METODO FLEXIBLE. 
 
En este punto se realizará un ejemplo de una losa de fundación para 9 columnas 
según la figura siguiente, en este ejemplo se aplicará toda la metodología antes 
expuesta sobre ACI336 basada en Hetenyi y también por el método de regresión para 
luego realizar una comparación con un programa como el ETABS, basado en 
elementos finitos. Debido a la complejidad de la aplicación del cálculo manual y 
repetitivo de las ecuaciones de losa infinitas y semi infinita se utilizó una hoja de cálculo 
de Excel para obtener las tablas. 
Se desea diseñar una losa de fundación para un edificio de oficinas según las 
cargas en la figura y materiales siguientes: las columnas son todas de 40 x 40 cm. 
𝑓𝑐
´ = 250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
, 𝑓𝑦 = 4200
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
, 𝑞𝑎𝑑𝑚(𝑛𝑒𝑡𝑜) = 18
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
, 𝐹𝑀 = 1,55 𝐾 = 1.8 𝑘𝑔/𝑐𝑚3 
 
 
 
Aquí se muestra la losa con sus cargas de servicio puntuales totales que vienen 
desde superestructura, con distancia iguales a 5,80 m en sentido (x), y 6,50 m en 
sentido (y), con volado en ambos sentido igual a 0,70 m, como vemos la losa es 
simétrica en ambas direcciones, en este caso solo analizaremos la franja central de 
ancho tributario igual 162.50 cm, ya que se dividió la losa en 8 partes para aplicar el 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
505 
 
 
 
método de las franja al igual que ejemplo anterior y solo analizaremosla franja 
mencionada hasta calcular solo los momentos, cortes y asentamientos, ya que mantra 
los paso para realizar el cálculo del refuerzo se hace igual que el ejemplo anterior de 
losa de fundación por criterio rígido. 
 
1.- Predimensionado del espesor de la losa de fundación por punzonado. 
Columna crítica interna B2…P = 60 ton: con la ecuación de equilibrio de fuerza sin 
tomar en cuenta la presión del suelo. 
 
𝑃𝑢 = 𝑏𝑜 𝑥 𝑑 [[1,10. 𝜙 . 𝜆. 𝜆𝑠. √𝑓𝑐´ ]] , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒. 𝜙 = 0,75 𝑦 𝜆. 𝜆𝑠 = 1,00 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜. 
 
𝑃𝑢 = 1,55 𝑥 60.000 𝑘𝑔 = 93.000,00 𝑘𝑔. 
 
La ecuación de (bo), es la siguiente: a1 = b1 = 40 cm, ancho de mantra columnas. 
 
𝑏𝑜 = 2. (𝑎1 + 𝑑) + 2. (𝑏1 + 𝑑) = 2𝑥(40𝑐𝑚 + 𝑑) + 2𝑥(40𝑐𝑚 + 𝑑) = 160 + 4. 𝑑 
93.000,00 𝑘𝑔 = (160 + 4. 𝑑)𝑥 𝑑 [[1,10𝑥0,75𝑥1𝑥√250 ]] = 13,04𝑥(160 + 4𝑑). 𝑑 
 
Esto nos da la siguiente ecuación: 
 
𝑑2 + 40. 𝑑 − 1782,87 = 0, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑 = 26,72 𝑐𝑚. 
 
Adoptamos un espesor total h = 45 cm y un valor de d = 37,50 cm, solo realizaremos 
el cálculo del espesor para la columna central ya que es el más desfavorable. 
 
2.- Se debe verificar que la losa de fundación se puede diseñar por criterio flexible: 
Dónde: L>1,75/β, donde L = 580 cm, la longitud entre columnas, y beta se calcula 
por la siguiente expresión: 
 
𝛽 = √
𝐵.𝐾
4. 𝐼𝐹 . 𝐸𝐹
4
 
 
Donde. 
B = ancho de la losa de fundación. Tomamos el ancho At = 162,50 cm 
K = módulo de balasto = 1,8 kg/cm3 
IF = momento de inercia de la franja de estudio= 1.233.984,37 cm4 
EF = módulo de elasticidad del material de la losa de fundación. = 238.752,00 kg/cm2 
 
𝛽 = √
162,50 𝑐𝑚 𝑥 1,80
𝑘𝑔
𝑐𝑚3
 
4𝑥 1.233.984,37 𝑐𝑚4 𝑥 238.752,00
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
4
= 0,00397 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
506 
 
 
 
 
Se debe cumplir que: 
 
𝐿 = 580 >
1,75
𝛽
= 
1,75
0,00397
= 252 𝑐𝑚 … 𝑜𝑘 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑙𝑒. 
 
3.- Se calcula la rigidez a flexión (D) de la losa fundación, por la siguiente formula: 
 
 
Donde: 
E = módulo de elasticidad del concreto = 238.752,00 kg/cm2 
μ = módulo de poisson del concreto = 0,18 valor asumido. 
t = espesor de la losa de fundación = 45 cm, valor calculado por punzonado. 
 
𝐷 =
238.752,00
𝑘𝑔
𝑐𝑚2 
𝑥 (45𝑐𝑚)3
12 𝑥 (1 − (0,18)2)
= 1.873.731.914,00 
𝑘𝑔
𝑐𝑚
 
 
4.- Se determina el radio de rigidez efectiva, por la expresión siguiente: 
 
𝐿 = √
1.873.731.914,00 
𝑘𝑔
𝑐𝑚
162,50 𝑐𝑚 𝑥 1,80
𝑘𝑔
𝑐𝑚3
 
4
= 67,50 𝑐𝑚 
 
Donde: 
L = radio de rigidez efectiva, para los cálculos de la zona de influencia de una carga 
de columna se estimará según ACI, de 3 a 4 veces este valor, entonces se propone el 
valor de radio de rigidez efectiva como 4 x 67,50 cm = 270 cm. 
 
5.- Determinar los momentos radiales, momentos tangenciales, cortantes y 
asentamientos diferenciales, para esto se discretiza el área de la losa en forma tal de 
poder aplicar la mejor forma las expresiones siguientes: 
 
Para determinar los momentos para la franja de estudio, se realizó con el programa 
Excel con hoja de cálculo, se tomaron todos los datos de una tesis de grado de la 
UCAB, sobre el tema y luego con funciones de interpolación en Excel se estimaron las 
funciones (Z) necesarias, para luego construir las tablas con los datos anteriormente 
calculados, de acuerdo con los puntos marcados en planta de la losa de fundación 
sobre la franja de estudio ver figura siguiente: 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
507 
 
 
 
 
 
En la tabla siguiente se muestran los resultados para el caso1 cuando la carga de 
40 ton está ubicada en la columna A2, también hay que mencionar que en dichas 
tablas están las correcciones de los bordes: 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
508 
 
 
 
 
 
En la tabla siguiente se muestra los resultados para el caso2, cuando la carga de 
60 ton esta aplicada en la columna B2: 
 
 
 
Es de notar que el caso3, es un caso simétrico y es igual al caso1, pero los valores 
se repiten en sentido contrario, en la tabla siguiente se muestra un resumen con la 
aplicación de superposición de efectos para los valores de momentos, cortes y 
deformaciones: 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
509 
 
 
 
 
 
Luego lo mismo se realizó por el método de las regresiones y se obtuvieron las 
siguientes tablas y valores: 
 
 
 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
510 
 
 
 
 
 
La siguiente tabla es el resumen aplicando el método de superposición de efectos 
para los casos, con las ecuaciones de regresión aproximada antes mencionadas: 
 
 
 
Luego se realizó el mismo ejemplo con el programa ETABSv16, con el módulo de 
diseño de losas por el método de los módulos de balastos, basado en elementos 
finitos, se realizó la discretización igual que la planteada en los métodos anteriores, 
para tratar de comparar algunos resultados, el modelo se realizó con resortes 
individuales en cada nodo discretizado e influenciado por su área tributaria en cada 
nodo, se tomó el 100% a compresión solamente en el eje Z y el 50% para las 
direcciones X e Y. 
En las imágenes sucesivas veremos algunos resultados obtenidos: 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
511 
 
 
 
En la siguiente figura se muestra la planta de la losa de fundación discretizada con 
las franjas de estudio: 
 
 
 
En la siguiente figura se muestran una imagen en 3D de los resortes colocados y 
orientados en los nodos de estudio, también se muestran las cargas actuantes: 
 
 
 
En la figura siguiente se muestran las presiones ejercidas por las cargas actuantes 
sobre el terreno de fundación representado en este caso por los resortes discretizados 
en la planta de la losa de fundación, donde se puede observar un valor de 0,157 
kg/cm2, en el centro de la losa este valor es inferior al asumido de 0,18 kg/cm2 como 
el esfuerzo admisible neto del suelo: 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
512 
 
 
 
 
 
En la figura siguiente se muestras las deformaciones producto de las cargas en 
cada columna actuando al mismo instante, los resultados en cada punto esta reflejados 
en las tablas siguientes: 
 
 
 
 
En la siguiente figura se muestra el diagrama de momentos de la franja de estudio, 
donde se muestra el momento máximo negativo y el momento máximo positivo. 
 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
513 
 
 
 
 
 
En la tabla siguiente se muestran los resultados más resaltantes arrojados por el 
programa ETABSv18, en la tabla se presentan los momentos, las deflexiones, las 
presiones sobre el suelo y las constantes de resortes en cada punto de estudio. 
 
 
 
Luego de estos resultados se puede continuar, solo hay que definir uno de los 
métodos el más idóneo para culminar el ejemplo, ya que faltaría realizar el cálculo del 
acero de refuerzo y se puede realizar de la misma manera como se realizó en la losa 
de fundación con criterio rígido, por eso obviamos este paso. 
Ahora vamos a revisar los resultados de los (03) estudios realizados a la losa de 
fundación, para este caso analizaremos los resultados de momento y deflexiones, ya 
que los cortes no son tan significativos ya que el espesor de dicha losa fue 
predimensionado por punzonado, y las presiones del terreno solo se revisan si 
sobrepasan las estimadas inicialmente y en este caso se observa que los valores están 
por debajo de 1,8 kg/cm2 (18 ton/m2) que es dato del ejemplo. 
.- Para el caso del método ACI336 (Hetenyi), el momento máximo en el nodo A2, 
resulta de 26.898,12 kg-m y si lo llevamos al ancho de franja nos da 16.552,69 kg-m, 
si lo revisamos por el mismo método pero con las funciones de regresión se obtiene 
un momento de 14.650,56 kg-m es como un 11,5% menos, podemos decir que dichos 
valores están un poco disparejos y podemos adoptar el primer valor como 
 
Diseño de losas y viga de Fundación 
514 
 
 
 
representativo y si lo comparamos con el valor del momento en el mismo nodo pero 
con los resultadodel programa ETABSv18 que está realizado por elementos finitos, 
dicho valor es de 17.787,52 kg-m, el cual el valor anterior representativo nos da un 7 
% de diferencia, lo que nos da un mejor nivel de confianza al utilizar el método 
aproximado del ACI336(Hetenyi), aunque el método de regresión también se pudiera 
usar ya que los valores no están muy lejanos. 
.- Con respecto a las deflexiones, para el caso del método ACI336(Hetenyi), en el 
nodo B2 nos da un valor extrapolado al ancho de franja es de 0,042cm y el valor del 
programa EBTASv18 es de 0,0874 cm lo que nos da una diferencia de más del 50% y 
si lo comparamos con los valores admisibles para esta separación entre columnas y el 
tipo de edificación nos da un valor permisible L/500, donde L = 580 cm, esto nos da 
1,16 cm, valor que es mayor que los dos anteriores.