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Distribuciones continuas - Estadística General - Ejercicios resueltos

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Ejercicios resueltos 
Semana 12. Distribuciones continuas 
 
1. Suponga que la producción diaria de leche de cierto establo puede describir como una 
distribución normal con media de 450 litros y desviación estándar de 25 litros. 
a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día cualquiera la producción de leche sea de más 
de 500 litros? 
b) ¿Cuál es la probabilidad que en un día cualquiera la producción diaria difiera de la 
media en no más de 30 litros? 
c) Halle el intervalo centrado en la media que contengas el 90% de la producción de 
leche. 
 
Solución: 
 
a)  500 1 ( 2) 0.02275P x p z     
b)  30 ( 1.2 1.2) 0.76986P x p x       
c) ( ) 0.9i sp x x x   
450 450
0.9
25 25
450
1.645 408.875 491.125
25
i s
i
i s
x x
p z
x
x x
  
   
 

   
 
 
2. La cantidad de grasa de leche (en libras) producidas por cierta raza de vaca se 
distribuye normalmente con media de 40 lb y desviación estándar de 12 lb. 
a) ¿Qué porcentaje de vacas producen una cantidad de grasa de leche mayor de 54 lb? 
b) Se quiere clasificar a las vacas de cierto establo según la cantidad de grasa de leche 
producida, de la forma siguiente: si la producción es menor de 16 lb se clasificaran 
como “deficientes”, si es mayor de 64 lb se clasificaran como “óptimas”, de lo 
contrario se clasificaran como “normales” ¿Halle el porcentaje de vacas que 
corresponderían en cada categoría de clasificación? 
c) Si se selecciona al azar tres vacas, halle la probabilidad que dos de ellas sean 
clasificadas como óptimas. 
d) Si se selecciona al azar a cinco vacas. Cuántas de ellas se esperarían que sean 
clasificadas como normales. 
e) Si la cantidad de grasa de leche es menor 16 lb, se obtiene como ganancia $0.5 por 
litro vendido, si la producción es mayor de 64 lb se obtiene como ganancia $ 1.5 por 
litro vendido, de lo contrario se obtiene $1 por litro vendido. Halle la ganancia 
esperada por litro vendido. 
 
Solución: 
 
a)  2~ (40,12 ) 54 1 ( 1.67) 1 0.8783x N p x p z      
b) deficientes: 
 16 ( 2) 0.02275p x p z    
 
 normales: 
 16 64 ( 2 2) 0.9545p x p z      
 
 óptimas: 
 64 ( 2) 0.02275p x p z   
 
c) y: número de vacas clasificadas como óptimas de tres vacas seleccionadas 
~ (3,0.02275)y B
 
  3 222 (0.02275) (0.00151736)p y C  
a. y: número de vacas clasificadas como normales de un total de 5. 
E(y)=5(0.9545)= 4.7725 
b. ganancia p(ganancias) 
0.5 0.02275 
1 0.9545 
1.5 0.02275 
 E(ganancia)=0.5(0.02275)+1(0.9545)+1.5(0.02275)=1 dólar 
 
3. La municipalidad de cierto distrito ha estimado que el peso (en kilogramos) de papel 
que desecha una vivienda de la urbanización Horizonte diariamente, se distribuye 
normalmente con una media de 0.5 kg y una desviación estándar de 0.1 kg. 
 
a) Si se selecciona aleatoriamente a una vivienda de esta urbanización. ¿Cuál es la 
probabilidad que deseche en un día más de 0.7 kg de papel? 
b) Si se selecciona 3 viviendas al azar, ¿Cuál es la probabilidad que al menos una de 
ellas deseche en un día más de 0.7kg de papel? 
c) Si se selecciona 5 viviendas al azar, ¿Cuál es la probabilidad que al menos dos de 
ellas no deseche en un día más de 0.7kg de papel? 
d) ¿Qué cantidad de papel mínimo (en kg) desecha el 65% de las viviendas con 
mayores cantidades de papel desechado en un día? 
e) ¿Qué porcentaje de viviendas desechan diariamente entre 0.35kg y 0.65 kg de 
papel? 
 
Solución: 
 
a)  2
0.7 0.5
~ (0.5,0.1 ) 0.7 1 1 0.9772 0.0228
0.1
x N p x p z
 
       
 
 
b) y: número de viviendas que desechan más de 0.7kg de papel de tres viviendas 
seleccionadas ~ (3,0.0228)y B 
 
3( 1) 1 ( 0) (0.9772) 0.06685p y p y      
c) y: número de viviendas que no desechan más de 0.7kg de papel de tres viviendas 
seleccionadas ~ (3,0.9772)y B 
 
1
5 5
0
( 2) 1 ( 1) 1 (0.9772) (0.0228) 1x xx
x
p y p y C 

       
d)   0.350.35
0.5
0.35 0.35
0.1
P
p x P p z
 
    
 
 
 0.35 0.35
0.5
0.39 0.461
0.1
P
P

   
e)  0.35 0.45 ( 1.5 1.5) 0.8664p x p z       
 
4. Las notas del examen final del grupo F se distribuyen normalmente con media 11 
puntos y variancia 4 puntos2. Se elige un alumno al azar: 
a) ¿Cuál es la probabilidad que el alumno elegido tenga más de 10.5? 
x: Notas de un examen final ~ (11, 4)x N 
 
10.5 11
10.5 1 1 0.4013 0.5987
2
p x p z
 
       
 
 
 
b) El 87.9% de los alumnos fueron considerados en la categoría A por haber obtenido 
las notas más altas. ¿Cuál es la nota mínima que se consideró para que un 
estudiante se encuentre considerado en la categoría A? 
 
11
0.879
2
x a
p x a p


  
    
 
 
13.34a  
 
c) Si se eligen 3 estudiantes al azar cual es la probabilidad que 2 de ellos hayan 
obtenido más de 10.5. 
y: Número de estudiantes con más de 10.5  3,0.5987y B 
     
23
2 0.5987 0.4013 0.4315
2
p y
 
   
 
 
 
5. Después de una serie de experimentos se estima que el número medio de días que 
sobrevive cierta especie de pez en aguas contaminadas es 167 días, con una desviación 
típica de 3 días. Si la distribución de los días sobrevividos es normal. 
a) ¿Cuál es el porcentaje de peces que sobreviven menos de 170 días, pero más de 
160 días?. 
 
x: Tiempo de supervivencia (en días) )9,167(~ Nx 
   33.21)
3
167170
3
167160
()170160( 



 zpzpzpxp 
8315.00098.08413.0  
 
b) Si se selecciona 4 peces al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos sobrevivan 
más de 167 días? 
 
y: Número de peces que sobreviven más de 167 días 
 
0625.0)5.0(05.0
4
4
)4(
5.0)167()5.0,4(~
04 







yp
xpBy 
 
 
c) Si se seleccionan al azar 49 peces, ¿cuál es la probabilidad que el tiempo medio de 
supervivencia sea superior a los 167.5 días? 
x : Tiempo medio de supervivencia (en días) 
9
~ (167, ) ~ (167, 0.184)
49
x N x N 
 
167.5 167
( 169) 1 ( ) 1 1.166 1 0.8782 0.1218
0.184
p x p z p z

          
 
 
6. La cantidad neta de arroz, en kg, que envasa la máquina marca Alfa es una variable 
aleatoria distribuida normalmente con una media de 50 kg y una desviación estándar de 
0.5 kg. 
a) Encuentre la cantidad mínima y máxima de peso que debe tener una bolsa para 
estar comprendido en el 90% central de la distribución de las cantidades envasadas 
en esta máquina. 
 
x: Cantidad de arroz envasada (en kg.) )5.0,50(~ 2Nx 
9.0)( 21  xxxp intervalo centrado 
8225.501775.49:,645.1
5.0
50
645.1
5.0
50
21
21 



xxluego
xx
 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad que una bolsa seleccionada al azar tenga un peso mayor de 
51 kg.? 
0228.09772.01)2()
5.0
5051
()51( 

 zpzpxp 
 
c) Si se inspecciona 4 bolsas encuentre la probabilidad de que al menos tres de ellas 
tengan un peso mayor de 51 kg. 
 
y: Número de bolsas cuyo peso es mayor a 51 gr 
 


 






4
3
4 0000465987.00000002702.0000046328.0)9772.0()0228.0(
4
)3(
y
yy
y
yp 
 
d) Si se seleccionan al azar 36 bolsas, ¿cuál es la probabilidad que la cantidad media de 
arroz envasada se encuentre entre 49.92 y 50.08 kg? 
 
:x : Cantidad media de arroz envasada (en kg.) 
20.5
~ (50, ) ~ (50, 0.0069)
36
x N x N 
   
49.92 50 50.08 50
(49.92 50.08) ( ) 0.964 0.964
0.0069 0.0069
p x p z p z p z
 
          
0.8325 0.1675 0.8315 0.665    
 
7. Una fábrica se dedica al envasado de una determinada bebida. El proceso de embase 
puede ser controlado de tal forma la cantidad de líquido contenido en la botella se 
distribuya normalmente con media 2 litros y desviación estándar de 0.2 litros. Se 
consideran mal envasadas aquellas botellas que presenten un contenido inferior a los 
1.9 litros o superior a los 2.1 litros. 
a) Si se elige una botella al azar ¿cuál es la probabilidad que la botella no sea 
considerada mal envasada?x: Cantidad de líquido contenido en la botella ~ (2, 0.04)x N 
   
1.9 2 2.1 2
(1.9 2.1) 0.5 0.5 0.6915 0.3085 0.383
0.2 0.2
p x p z p z p z
  
             
 
 
b) De un lote de 1000 botellas se eligen sin reemplazo 20 botellas. ¿Cuál es la 
probabilidad que 5 de las botellas seleccionadas no se encuentren mal envasadas? 
 
y: Número de botellas mal envasadas 
 ~ 1000,20,383y H 1000N  , 20n  , 383A 
 
 
1000 383 383
20 5 5
5 0.092
1000
20
p y
  
  
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios resueltos 
Semana 13. Distribuciones muestrales 
 
1. Una empaquetadora de arroz produce un 12% de empaquetados defectuosos. Para 
mantener bajo control este proceso, se revisa provisionalmente una muestra de bolsas 
de 1kg de arroz empaquetadas por esta máquina, si el porcentaje de defectuosos es 
por lo menos del 17%, la producción se detiene. Al revisar una muestra de 350 bolsas 
de 1kg de arroz empaquetadas, halle la probabilidad de que la máquina se detenga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Una industria alimenticia comercializa harina en paquetes con inscripción: “peso neto 
500 gr”. El proceso automático de llenado de los paquetes puede regularse de modo 
que la cantidad de harina por paquete se distribuye normalmente con una desviación 
estándar de 0.2 onzas. (1 onza = 28.7 gr.) 
a. ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que sólo el 0.001 de los 
paquetes tengan un peso neto inferior a 12 onzas? 
 
x: Cantidad de harina en paquetes (en kg.) )74.5,(~ 2Nx 
1 onza=28.7 gr. 
12 onzas= 344.4 gr. 
137.362:,09.3
74.5
4.344
001.0)
74.5
4.344
(
001.0)4.344(









luego
zp
xp
 
 
b. ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que sólo el 0.05 de los 
paquetes tengan un peso superior a 12.4 onzas? 
 
4377.346:,645.1
74.5
88.355
05.0)88.355(





luego
xp
 
 
3. Una cadena de Supemercados tiene una base en datos pasado, donde el 35% de las 
compras realizadas con tarjeta de crédito en una tienda muy conocida y céntrica son 
por cantidades superiores a 100 dólares. Si se seleccionan muestras aleatorias de 100 
compras realizadas con tarjeta de crédito: 
 
a) ¿Qué proporción de las muestra es posible que tengan entre 20% y 40% compras 
mayores que 100 dólares? 
 
8523.00008.08531.0)14.3()05.1(
)05.114.3()
002275.0
35.04.0
002275.0
35.02.0
()4.02.0(
)002275.0,35.0()
100
)65.0(35.0
,35.0()
)1(
,(~








zpzp
zpzppp
NN
n
Np


 
 
b) Dentro de qué límites centrados en el porcentaje de la población caerá el 95% de los 
porcentajes de la muestra seleccionada? 
 
002.0998.01)88.2(1)
0003.0
12.017.0
(1)17.0(
)
350
88.0*12.0
,12.0()
)1(
,(~
35012.0






zpzppp
N
n
Np
n



1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
( ) 0.95
0.35 0.35
( ) 0.95
0.002275 0.002275
0.35 0.35
1.96 1.96
0.002275 0.002275
0.35 0.35
0.025 0.975
0.002275 0.002275
: 0.3512 0.3965
p P p P
P P
p z
P P
P P
luego P P
  
 
  
 
  
 
 
 
 
 
 
4. De un colegio de Lima se conoce que de 560 estudiantes, 320 son mujeres. Si se toma 
una muestra aleatoria de 100 estudiantes, halle la probabilidad que la proporción 
muestral de estudiantes varones sea superior a 0.5 
 
N = 560 mujeres = 320, hombres = 240 
n = 100 429.0
560
240
 
 
(1 )
~ ( , ) (0.429, 0.0017)
1
0.5 0.429
( 0.5) ( ) 1 1.73 1 0.958 0.042
0.0017
N n
p N N
n N
p p p z p z
 

  
  

        
 
 
5. Por estudios se ha podido determinar que el tiempo de germinación de cierta semilla 
tiene una distribución de probabilidad con media de 3.5 días y desviación estándar de 
1.5 días. 
a) Si se selecciona al azar una muestra aleatoria de 40 semillas, ¿cuál es la probabilidad 
que el tiempo medio de germinación de la muestra supere los 4 días? 
b) Si se selecciona al azar una muestra aleatoria de 40 semillas, ¿cuál es la probabilidad 
que el tiempo total de germinación de la muestra supere los 145 días pero sea 
menor de 155 días? 
c) ¿Cuántas semillas se debe seleccionar de tal manera que el 95% de las medias 
muestrales centrales sea menor de 1 día? 
d) Bajo el supuesto que el tiempo de germinación de la semilla estudiada se distribuye 
normalmente, ¿cuál es la probabilidad que la varianza muestral del tiempo de 
germinación de 30 semillas, seleccionadas al azar, sea menor de 1.3739 días2? 
e) También se ha observado que el 5% de las semillas sembradas no germinan. De una 
muestra de 140 semillas seleccionadas al azar ¿cuál es la probabilidad que 
proporción muestral de semillas que germinan en la muestra sea mayor del 0.98? 
 
Solución: 
 
x: tiempo de germinación de dicha semilla. 
2~ (3.5,1.5 )x N 
a) n=40,  
 4 3.5 40
4 ( 2.11) 0.2514
1.5
p x p z p z
 
      
 
 
 
b)    
40
1
145 155 (145 155) 3.63 3.875i
i
p x p x p x

         
 0.53 1.58 0.241p z   
c)  4 0.95P x    
 
2
1 1
0.9
1.5 1.5
1 1.96(1.5)
1.96 8.64 9
1.5 1
n n
p z
n
n
 
    
 
  
     
 
 
d)  
2
2 2
292 2
( 1) 1.3739(29)
( 1.3739) 17.708
1.5
n s
p s p p 

 
     
 
 
  2291 17.708 1 0.05 0.95p       
e) 0.95  proporción de semillas que si germinan 
  
0.98 0.95
0.98 ( 2.535) 1 0.9944 0.056
0.98(0.02)
140
prob p p z p p
 
 
        
 
 
 
 
 
6. Una cevicheria compra diariamente 30 kilogramos de pescado fresco. Si la demanda 
diaria de pescado en cualquiera de sus variedades esta normalmente distribuido con 
media 24 kilogramos y desviación estándar de 5 kilogramos. 
a) Determine la probabilidad de que la cevicheria agote el pescado comprado en un día 
cualquiera seleccionado al azar. 
b) Si se selecciona 25 días al azar. Determine la probabilidad de que el promedio 
muestral supere a su media en menos de 0.83 kilogramos. 
c) La demanda diaria de mariscos está normalmente distribuida con media 25 
kilogramos y desviación estándar de 5 kilogramos. Si se selecciona la información de 
la demanda diaria de pescado y de mariscos en 50 días). Calcule la probabilidad que 
la demanda media muestral de pescado fresco supere a la de mariscos en por lo 
menos 0.5 kilogramos. 
 
Solución: 
 
a) 
)25,24(~ NX
 X: demanda diaria de pescado en ceviche (kg) 
 
30 24
( 30)
5
p x P X
 
   
 
1157.0)2.1(  ZP
 
b) 
)1,24(~25 NXn 
 
 
 (0 0.83) (0 0.83)p X P Z      29673.0)0()83.0(  ZPZP 
 
c) A = pescado B = mariscos 
 )25,25(~ NX A )25,24(~ NX B 50 BA nn )1,1(~ NXX BA  
 
69146.0)5.0(
1
15.0





 
 ZPXXP BA
 
 
1. Una máquina automática para la venta de jugo de naranja se regula de modo que la 
cantidad de jugo de naranja por vaso tendrá una distribución normal con desviación 
estándar de 20 ml. 
a. ¿A que nivel () debe ajustarse la maquina para observar que el 97.5% de los vasos 
de jugo de naranja contengan menos de 330 mililitros? 
 
 
 
 
 
 
( 330) 0.975
330
0.975
20
330
( ) 0.975 1.96 290.8
20
o
p x
x
p
p z z
 



 
  
  
 

   

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