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Curvas en el plano 476
Figura 8.16. Una curva de Lissajoux
8.7.4.1. Área encerrada por una curva
Sea� la región rodeada por una curva cerrada simple
 .t/ D .x.t/;y.t//, a 6 t 6 b, y
supongamos que las funcionesx.t/;y.t/ tienen primera derivada continua. Se supone también
que si, a medida que el parámetrot avanza desdea hastab, andamos sobre la curva siguiendo
al punto
 .t/D .x.t/;y.t// entonces la región� queda a nuestra izquierda (ver figura8.17).
En estas condiciones se verifica que el área de� viene dada por:
�.�/D
bw
a
x.t/y 0.t/dt D�
bw
a
y 0.t/x.t/dt D 1
2
bw
a
�
x.t/y 0.t/ � y 0.t/x.t/
�
dt (8.40)
�
Figura 8.17. Una curva cerrada
8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares
Un tipo particular de ecuaciones paramétricas son las de la forma:
(
x.#/D f .#/ cos#
y.#/D f .#/ sen#
.˛ 6 # 6 ˇ/ (8.41)
dondef W Œ˛; ˇ�! R es una función continua. Dichas ecuaciones se representan simbólica-
mente en la forma� D f .#/. La curva definida por estas ecuaciones se dice que está dada en
forma polar y que�D f .#/ es la ecuación polar de la curva. La razón de esta terminología se
explica seguidamente.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Curvas en el plano 477
Dado un punto.x;y/ ¤ .0; 0/, hay un único par de números.�; #/, tales que� > 0 y
�� < # 6 � , que verifican las igualdadesxD� cos# , yD� sen# . Dichos números se llaman
coordenadas polaresdel punto.x;y/. Si consideras el número complejox C iy, entonces�
es su módulo y# es su argumento principal.
Por tanto, dada una curva por una ecuación polar�D f .#/, el punto del plano que corres-
ponde a cada valor del ángulo polar# es:
�
f .#/.cos#; sen#/; si f .#/> 0: Coordenadas polares.f .#/; #/
jf .#/j
�
cos.# C �/; sen.# C �/
�
; si f .#/ < 0: Coordenadas polares.jf .#/j; # C �/
Debes tener claro que esta forma de representar una curva no es más que un tipo particular de
representación paramétrica.
Consideremos una curva dada por la ecuación polar� D f .#/ donde f W Œ˛; ˇ�! R .
Queremos calcular el área de la región del plano (ver figura8.18):
�D f.� cos#; � cos#/ W 0 < � 6 f .#/; ˛ 6 # 6 ˇg :
O
ˇ ˛
#k�1
#k
�
�D f .#/
Figura 8.18. Aproximación por sectores circulares
Para ello lo que hacemos es aproximar� por medio de sectores circulares. Recuerda que
el área de un sector circular de radio� y amplitud' (medida en radianes) es igual a
1
2
�2'.
Consideramos para ello una particiónf˛ D #0; #1; #2; : : : ; #n�1; #n D ˇg de Œ˛; ˇ� y forma-
mos la suma
nX
kD1
1
2
f .#k/
2.#k � #k�1/. Como el número
1
2
f .#k/
2.#k � #k�1/ es el área del
sector circular, representado en amarillo en la figura8.18, de radiof .#k/ y amplitud igual a
#k � #k�1, es claro que la suma anterior representa una aproximación del área de�. Como
nX
kD1
1
2
f .#k/
2.#k � #k�1/ es una suma de Riemann de la función# 7!
1
2
f .#/2, se sigue que
el área de� viene dada por la integral:
�.�/D 1
2
w̌
˛
f .#/2 d# (8.42)
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Ejercicios propuestos 478
Con frecuencia, las ecuaciones en coordena-
das polares se usan para representar distintos ti-
pos de curvas simétricas llamadas “rosas”. Por
ejemplo, en la figura8.19 se ha representado
una rosa de 8 hojas o lazos, cuya ecuación en
coordenadas polares es�Dcos.4#/, 06#62� .
Figura 8.19. Rosa de 8 pétalos
8.7.5. Ejercicios propuestos
413. Calcula el área encerrada por la elipsex.t/ D a C r cost , y.t/ D b C R sent donde
0 6 t 6 2� .
413. Calcula el área encerrada por la cardioidex.t/D cost.1C cost/, y.t/D sent.1C cost/
para0 6 t 6 2� .
414.
Calcula el área de la región del plano rodeada
por un lazo de la lemniscata de ecuación polar
�2 D cos.2#/, .��=4 6 # 6 �=4/.
415. Calcula el área limitada por el arco de la espiral de Arquímedes� D a# , a > 0, com-
prendido entre# D 0 y # D � .
416. Calcula el área encerrada por el lazo interior de la curva�D 1
2
C cos# .
417. Hallar el área encerrada por una de las hojas de la rosa�D 2 cos.2#/.
418. Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación x3 C y3 � 3axy D 0,
a > 0. Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.
419. Calcula el área de la región común a las dos elipses
x2
a2
C y
2
b2
D 1; x
2
b2
C y
2
a2
D 1:
Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificar
los cálculos y pasar a coordenadas polares.
8.7.6. Longitud de un arco de curva
Se trata de calcular la longitud de la curva plana
 dada por las ecuaciones paramétri-
cas
 .t/ D .x.t/;y.t//, a 6 t 6 b, donde suponemos quex.t/, y.t/ tienen derivada prime-
ra continua. Para ello aproximamos la curva por poligonalesinscritas en ella. Cada partición
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