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Ejercicios propuestos 479
faD t0; t1; t2; : : : ; tn�1; tn D bg induce una poligonal cuyos vértices son los puntos
 .tk/ D
.x.tk/;y.tk //, .0 6 k 6 n/.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b

 .tk/

 .tk�1/
Figura 8.20. Aproximación por poligonales
La longitud de dicha poligonal viene dada por la suma:
nX
kD1
q
.x.tk/ � x.tk�1//2 C .y.tk/ � y.tk�1//2 Ð
nX
kD1
q
x 0.sk/2 C y 0.sk/2 .tk � tk�1/
Donde hemos usado el teorema del valor medio y la continuidadde las derivadas. Pero esta su-
ma es una suma de Riemann de la funciónt 7!
p
x 0.t/2 C y 0.t/2. Deducimos que la longitud
de la curva
 viene dada por
`.
 /D
bw
a
q
x 0.t/2 C y 0.t/2 dt (8.43)
Para el caso particular de que la curva sea la gráfica de una función y D f .x/, esto es
 .x/D
.x; f .x//, entonces su longitud viene dada por
`.
 /D
bw
a
q
1C f 0.x/2 dx
Para el caso particular de que la curva venga dada por una parametrización polar de la forma
(8.41), su longitud viene dada por
`.
 /D
w̌
˛
q
f .#/2 C f 0.#/2 d#
Si interpretamos que la curva
 .t/ D .x.t/;y.t// es la función de trayectoriaseguida por
un móvil, entonces lavelocidadde dicho móvil en cada instantet viene dada por el vector
derivada
 0.t/ D .x 0.t/;y 0.t//, y la rapidezes la norma euclídea de dicho vector, es decirp
x 0.t/2 C y 0.t/2. La igualdad (8.43) tiene ahora una interpretación clara: la distancia recorri-
da por un móvil se obtiene integrando la rapidez. Volveremossobre esto más adelante.
8.7.7. Ejercicios propuestos
420. Calcula la longitud del arco de catenariay D coshx entrex D 0 y x D 1.
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421. Calcula la longitud de un arco de la cicloidex.t/Dt�sent , y.t/D1�cost , .06t 62�/.
422. Calcular la longitud del arco de curvay D x2 C 4, entrex D 0 y x D 3.
423. Calcula la longitud de la astroide
�x
a
�2=3
C
�y
a
�2=3
D 1, a > 0.
Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y tener en cuenta la si-
metría.
424. Calcula la longitud de la cardioide�D 3.1C cos#/, .0 6 # 6 2�/.
425. Calcula la longitud de la curvay D x
4 C 48
24x
donde2 6 x 6 4.
426. Calcula la longitud de la curvay D log.1� x2/, donde1=3 6 x 6 2=3.
8.7.8. Volúmenes de sólidos
Al igual que podemos calcular áreas de regiones planas integrando las longitudes de sus
secciones por rectas paralelas a una dada, podemos también calcular volúmenes de regiones en
R3 integrando las áreas de sus secciones por planos paralelos auno dado. Este resultado es un
caso particular del teorema de Fubini que veremos al estudiar integrales múltiples.
8.69 Teorema(Cálculo de volúmenes por secciones planas). El volumen de una región en
R3 es igual a la integral del área de sus secciones por planos paralelos a uno dado.
Para justificar esta afirmación, sea� una región enR3 como la de la figura8.21.
�.x/
�
xa b
O
X
Z
Y
Figura 8.21. Cálculo del volumen por secciones
Representemos por�.x/ la sección de� por el plano perpendicular al ejeOX en el punto
.x; 0; 0/. SeaV .x/ el volumen de la parte de� que queda a la izquierda de dicho plano y
sea�.�.x// el área de la sección�.x/. Observa que la situación es totalmente análoga a
la considerada en el Teorema Fundamental del Cálculo: allí teníamos la función área cuya
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derivada era la longitud de la sección. No debe sorprendertepor ello que ahora resulte que
la derivada de la función volumen,V .x/, sea el área de la sección. En efecto, seah > 0.
Suponiendo, naturalmente, que la funciónx 7! �.�.x// es continua, tenemos que:
mKınf�.�.t// W x 6 t 6 x C hg h 6 V .x C h/ � V .x/6 mKaxf�.�.t// W x 6 t 6 x C hg h
de donde se deduce que
lKım
h!0
V .x C h/ � V .x/
h
D �.�.x//:
Hemos obtenido así queV 0.x/D �.�.x//. Deducimos que el volumen de�, que esV .b/ �
V .a/, viene dado por la integral:
Vol.�/D
bw
a
�.�.x//dx (8.44)
El razonamiento anterior se ha hecho para secciones por planos verticales al ejeOX , es decir
planos paralelos al planoYZ; pero el resultado obtenido también es válido para secciones por
planos paralelos a un plano dado.
Podemos llegar también a este resultado considerando sumasde Riemann. Para ello apro-
ximamos la región� por cilindros de la siguiente forma. Consideremos una partición
faD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg
deŒa; b�. La parte de� comprendida entre los planos perpendiculares al ejeOX por los puntos
.xk�1; 0; 0/ y .xk ; 0; 0/ puede aproximarse por un cilindro de alturaxk � xk�1 y base�.xk/
cuyo volumen es igual�.�.xk//.xk � xk�1/. La suma de los volúmenes de todos estos cilin-
dros,
nX
kD1
�.�.xk//.xk � xk�1/, es por tanto una aproximación del volumen de�. Pero dicha
suma es una suma de Riemann de la funciónx 7! �.�.x//, por lo que el volumen de� viene
dado por
bw
a
�.�.x//dx .
Vamos a estudiar algunos casos en los que es fácil calcular elárea de las secciones de�.
8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución
Los cuerpos de revolución o sólidos de revolución son regiones deR3 que se obtienen
girando una región plana alrededor de una recta llamada eje de giro.
Método de los discos
Es fácil calcular el volumen de un cuerpo de revolución obtenido girando una región de
tipo I alrededor del ejeOX , o una región de tipo II alrededor del ejeOY .
Seaf W Œa; b�! R una función continua. Girando la región del plano comprendida entre
la curvayDf .x/, el eje de abscisas y las rectasxDa y xDb, alrededor del ejeOX obtenemos
un sólido de revolución� (ver figura8.22). Es evidente que la sección,�.x/, de� por el plano
perpendicular al ejeOX en el punto.x; 0; 0/, es un disco contenido en dicho plano de centro
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