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Volúmenes de sólidos 482
b
a bx
y D f .x/
�.x/
Figura 8.22. Método de los discos
.x; 0; 0/ y radio jf .x/j. Por tanto el área de�.x/ es�.�.x//D �f .x/2; en consecuencia el
volumen de� es igual a
Vol.�/D �
bw
a
f .x/2 dx
El volumen del sólido de revolución,�, obtenido girando alrededor del ejeOX una región de
tipo I definida por dos funciones continuasf;g W Œa; b�! R tales que0 6 f .x/ 6 g.x/ para
todox 2 Œa; b�, se obtiene integrando las áreas de las coronas circulares oarandelas,�.x/, de
radio interiorf .x/ y radio exteriorg.x/, obtenidas al cortar� por un plano perpendicular al
ejeOX en el punto.x; 0; 0/.
Vol.�/D �
bw
a
.g.x/2 � f .x/2/dx
Consideremos ahora un sólido de revolución obtenido girando alrededor del ejeOY una región
R de tipo II, definida por dos funciones continuas'; W Œc;d �! R tales que06'.y/6 .y/
para todoy 2 Œc;d �, es decir,R es la regiónR D f.x;y/ W y2 Œc;d �; '.y/ 6 x 6 .y/g. El
volumen del sólido de revolución resultante,�, viene dado por:
Vol.�/D �
dw
c
. .y/2 � '.y/2/dy
Este procedimiento se conoce comométodo de los discos o de las arandelas. Dicho método
puede aplicarse con facilidad para calcular el volumen de cuerpos de revolución obtenidos
girando regiones de tipo I alrededor de rectas horizontales, o regiones de tipo II alrededor de
rectas verticales.
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 483
8.7.9. Ejercicios propuestos
427. Calcula el volumen de la esfera obtenida girando la circunferenciax2 C y2 D R2 alre-
dedor del ejeOX .
428. Calcula el volumen del cono circular recto de alturah y radio de la baseR obtenido
girando la rectay DRx=h entrex D 0 y x D h.
429. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededordel ejeOX la parte de la
curvay D sen2x comprendida entre0 y � .
430. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededordel ejeOX la gráfica de la
función f W Œ0;C∞Œ! R dada porf .x/D 18x
x2 C 9 .
431. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del ejeOX la
región del plano comprendida bajo la curva
y D 2p
x .x2 � 2x C 2/ .1 6 x < C1/
432. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola
y2 D 4x y la rectax D 4 alrededor de dicha recta.
433. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas
y2 D x,x2D y alrededor del ejeOX .
434. Calcula el volumen del elipsoide
x2
a2
C y
2
b2
C z
2
c2
D 1.
435. Calcula el volumen limitado por el paraboloide
x2
9
C y
2
16
D z y el planoz D 7.
Método de las láminas o de los tubos
Consideremos una función positivaf W Œa; b�! R y la regiónG.f; a; b/ limitada por la
gráfica de dicha función y las rectas verticalesxDa, xDb. Observa queG.f; a; b/ es una región
de tipo I pero, en general, no es una región de tipo II. Girandodicha región alrededor del eje
OY obtenemos un sólido de revolución,�, cuyo volumen podemos aproximar considerando
pequeños rectángulos verticales inscritos en la gráfica def y girándolos alrededor del ejeOY
(ver figura8.23).
Cada uno de esos rectángulos engendra, al girarlo, un tubo cilíndrico de paredes delgadas.
La suma de los volúmenes de dichos tubos es una aproximación del volumen de�. Natural-
mente, la aproximación va mejorando a medida que hacemos quelos tubos tengan paredes cada
vez más delgadas.
Consideremos una particiónfaD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg de Œa; b�. Al girar alrede-
dor del ejeOY un rectángulo vertical cuya base es el intervaloŒxk�1;xk � y altura f .xk/,
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Ejercicios propuestos 484
X
Y
Z
yDf .x/
xa b
Figura 8.23. Método de las láminas o tubos
obtenemos una lámina de un cilindro circular recto, esto es,un tubo cuya base tiene área
�.x2
k
� x2
k�1/ y alturaf .xk/, cuyo volumen es, por tanto, igual a:
�.x2k � x
2
k�1/f .xk/D �.xk � xk�1/.xk C xk�1/f .xk/D
D xkf .xk/.xk � xk�1/C xk�1f .xk/.xk � xk�1/:
La suma de todos ellos es igual a:
nX
kD1
�xkf .xk/.xk � xk�1/C
nX
kD1
�xk�1f .xk/.xk � xk�1/:
Pero estas dos sumas son sumas de Riemann de la funciónx 7! �xf .x/. Deducimos que el
volumen de� viene dado por:
Vol.�/D 2�
bw
a
xf .x/dx :
Esto es lo que se conoce comométodo de las láminas o de las capas o de los tubos. Puedes
adaptar fácilmente esta expresión para el caso de que el eje de giro sea la recta verticalx D c.
En general, si notamos porR.x/ el “radio de giro” de la lámina, entonces:
Vol.�/D 2�
bw
a
R.x/f .x/dx
8.7.10. Ejercicios propuestos
436. Calcula el volumen del toro engendrado al girar el círculo decentro.a; 0/ y radioR < a
alrededor del ejeOY .
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