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Área de una superficie de revolución 485
437.
La región plana limitada por el segmento de pa-
rábolayD 4�x2, donde1 6 x 6 2, y las rectas
xD0 eyD3, gira alrededor del ejeOY engen-
drando un sólido en forma de flan (un tronco de
paraboloide de revolución). Calcula su volumen
y el volumen de la porción obtenida al cortarlo
verticalmente desde un punto del borde supe-
rior.
X
21
Y
Z
bb
x2 C z2 D 4
438. Calcular el volumen del sólido� engendrado al girar la región limitada por las parábolas
y D x2, x D y2 alrededor del ejeOY .
439. Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro 0 y radio 3 alrededor
de la rectax D 6.
440. Calcular el volumen del sólido� engendrado al girar la región limitada por las parábolas
y D x2, x D y2 alrededor la rectax D 4.
8.7.11. Área de una superficie de revolución
Una superficie de revolución se obtiene girando una curva dada alrededor de una recta.
Sea f W Œa; b�! R una función con derivada primera continua. Girando la gráfica de dicha
función alrededor del ejeOX obtenemos una superficie de revolución,�. Fíjate en la siguiente
representación gráfica.
a bx xCh
y D f .x/
L.x/
L.x C h/
b bb b
Figura 8.24. Superficie de revolución
SeaS.x/ el área de la parte de la superficie comprendida entre los planosX D a, y X Dx.
Representemos porL.x/ la longitud de la gráfica def entrea y x. Recuerda que
L.x/D
xw
a
q
1C f 0.t/2 dt :
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Ejercicios propuestos 486
Seah > 0. Teniendo en cuenta que el área lateral de un cilindro circular recto es igual a la
longitud de la base por la altura, se deduce que:
2� mKınff .t/ W t 2 Œx;x C h�g.L.x C h/ �L.x//6 S.x C h/ � S.x/6
6 2� mKaxff .t/ W t 2 Œx;x C h�g .L.x C h/ �L.x//:
Por tanto:
2� mKınff .t/ W t 2 Œx;x C h�gL.x C h/ �L.x/
h
6
S.x C h/ � S.x/
h
6
6 2� mKaxff .t/ W Wt 2 Œx;x C h�g L.x C h/ �L.x/
h
:
Y tomando límite parah! 0 se sigue que:
S 0.x/D 2�f .x/L 0.x/D 2�f .x/
q
1C f 0.x/2:
Luego el área de la superficie� viene dada por:
�.�/D 2�
bw
a
f .x/
q
1C f 0.x/2 dx (8.45)
8.7.12. Ejercicios propuestos
441. Calcula el área de una superficie esférica de radioR.
442. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curvayDx3, 06x 61,
alrededor del ejeOX .
443. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curvax
2
3Cy 23Da 23 ,
a > 0, alrededor del ejeOX .
444. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada algirar la elipse
x2
a2
C y
2
b2
D 1
alrededor del ejeOY .
445. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada algirar la catenariayDcoshx,
0 6 x 6 1, alrededor del ejeOX .
446. Al girar alrededor del ejeOX el segmento de parábolay Dpx, 0 6 x 6 a, engendra un
tronco de paraboloide de revolución cuya superficie tiene área igual a la de una esfera de
radio
p
13=12. Se pide calcular el valor dea.
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Ejercicios resueltos 487
447.
Se perfora, siguiendo un diámetro, una esfera
de radior con un agujero cilíndrico (ver figura)
de modo que el anillo esférico resultante tiene
alturah (la altura del cilindro). Calcula el volu-
men del anillo y el área de la superficie total del
anillo.
448. Comprueba que el área de la superficie de revolución (llamadahorno de Gabriel) engen-
drada al girar la curvay D 1=x, 1 6 x 6 C∞, alrededor del ejeOX es infinita (por
tanto sería necesaria una cantidad infinita de pintura si quisiéramos pintarla) pero el vo-
lumen del sólido de revolución engendrado es finito(por tanto podemos llenarlo con una
cantidad finita de pintura). Comenta a tu gusto esta aparenteparadoja.
449. Calcula el área de un espejo parabólico de 3 metros de diámetro y 1 metro de fondo.
450. Calcula el volumen de una esfera de radio3 en la que, siguiendo un diámetro, se ha
perforado un agujero cilíndrico de radior < 3. Calcula el área de la superficie total
del solido obtenido. Calcula los valores der para los que dicha área alcanza sus valores
extremos.
8.7.13. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 209 Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación car-
tesianax3 C y3 � 3axy D 0, a > 0.
Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.
Solución.Sustituyendox D � cos# , y D � sen# en la ecuación dada, después de sim-
plificar por�2, se obtiene:
�.cos3# C sen3#/� 3a cos# sen# D 0:
Observamos que esta ecuación implica que en los puntos de dicha curva debe verificarse
que cos3# C sen3# ¤ 0. Pues si fuera cos3# C sen3# D 0, la ecuación anterior implica
que también cos# sen# D 0, de donde se sigue fácilmente que cos# D sen# D 0, lo
que es imposible. En consecuencia, la ecuación polar de la curva puede escribirse en la
forma:
�D �.#/D 3a cos# sen#
cos3# C sen3# :
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