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Ejercicios resueltos 497
Solución.
Observa que para que para que las dos igual-
dadesy2 D x, x2 D y tengan sentido debe ser
x > 0 e y > 0. Por tanto, la igualdad,y2 D x
equivale, por sery > 0, ayDpx. Es inmedia-
to que los puntos de corte de las parábolas son
.0; 0/ y .1; 1/. Podemos emplear el método de
los discos y también el de las láminas o tubos.
xDpyxDy2
4
Por el método de los discos (arandelas en este caso) debemos integrar las áreas de sec-
ciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como variable de inte-
gración la variabley y que en la región indicada, tenemos quey 2 Œ0; 1�. La sección por
una recta horizontal de ordenaday es una corona circular o arandela cuyo radio interior
es la distancia del eje de giro a la parábolaxDpy, dicha distancias esr1.y/D 4�
p
y
y cuyo radio exterior es la distancia del eje de giro a la parábola x D y2, dicha distancia
esr2.y/D 4� y2. Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:
�
1w
0
.r2.y/
2 � r1.y/2/dy D �
1w
0
�
.4 � y2/2 � .4 �py/2
�
dy D 71�
30
:
Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar como
variablex. Hay que tener en cuenta que cada segmento vertical que gira de abscisa
x 2 Œ0; 1� tiene de longitudpx �x2 y el radio de giro es4� x. Por tanto el volumen es:
2�
1w
0
.4 � x/.
p
x � x2/dx D 71�
30
:
©
Ejercicio resuelto 220 Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro
.0; 0/ y radio3 alrededor de la rectax D 6.
Solución.
Aplicaremos el método de las láminas
o de los tubos. Para ello debemos con-
siderar los segmentos paralelos al eje
de giro; en nuestro caso serán los seg-
mentos verticales comprendidos en el
círculo de centro.0; 0/ y radio 3. La
longitud del segmento vertical de abs-
cisax 2 Œ�3; 3� es igual a2
p
9 � x2
y su radio de giro es6�x. El volumen
del toro engendrado es:
p
9�x2
�
p
9�x2
63Ox
b
b
b b b bb
2�
1w
�1
.6 � x/2
p
9� x2 dx D 108�2:
También se puede calcular el volumen por el método de las arandelas. Ya debes saber
hacerlo, te lo dejo para que lo hagas tú. ©
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 498
Ejercicio resuelto 221 Calcula el área de una superficie esférica de radioR.
Solución.Una superficie esférica de radioR se obtiene girando la gráfica de la función
f .x/D
p
R2 � x2 alrededor del ejeOX . El área viene dada por:
2�
Rw
�R
f .x/
q
1C f 0.x/2 dx D 2�
Rw
�R
R dx D 4�R2:
©
Ejercicio resuelto 222 Calcular el área de la superficie de revolución engendrada algirar la
elipse
x2
a2
C y
2
b2
D 1 alrededor del ejeOY .
Solución. Expresandox como función dey, tenemos quex D a
b
p
b2 � y2, donde
solamente consideramos la mitad de la elipse que está en el semiplano de la derecha
x > 0. Queremos calcular el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva
h.y/D a
b
p
b2 � y2 alrededor del ejeOY . Dicha área viene dada por la integral:
I D 2�
bw
�b
h.y/
q
1C h 0.y/2 dy D 2� a
b2
bw
�b
q
b4 C .a2 � b2/y2 dy :
Para calcularla debemos considerar dos posibilidades según quea > b o queb > a
(el casoaD b es trivial y se vuelve a obtener el mismo resultado del ejercicio anterior).
PongamoscD
p
ja2 � b2j. Entonces, sia > b esc2Da2�b2, y sib > a esc2Db2�a2.
Por lo que:
ID2� a
b2
bw
�b
q
b4 ˙ c2y2 dy D2� ac
b2
bw
�b
s�
b2
c
�2
˙ y2 dy D2� a
˛
bw
�b
q
˛2 ˙ y2 dy :
Donde hemos puestǫ D b2
c
. Podemos evaluar directamente estas integrales porque
tienen primitivas inmediatas que deberías saber de memoria(repasa la tabla de primitivas
inmediatas). Pero también podemos calcularlas muy fácilmente.
bw
�b
q
˛2 C y2 dy D
�
y D ˛ senht
ˇ D argsenhb
˛
�
D ˛2
w̌
�ˇ
cosh2t dt D ˛2
w̌
�ˇ
�
et Ce�t
2
�2
dt D
D˛
2
2
w̌
�ˇ
 
e2t Ce�2t
2
C 1
!
dt D˛2ˇC˛
2
2
w̌
�ˇ
cosh.2t/dt D ˛2ˇ C ˛
2
4
senh.2t/
ˇ̌ˇ
�ˇD
D ˛2ˇ C ˛
2
2
senh.2ˇ/D ˛2ˇ C ˛2 senh.ˇ/ cosh.ˇ/D ˛2ˇ C ˛b
s
1C b
2
˛2
D
D ˛2 argsenhb
˛
C ˛b
s
1C b
2
˛2
:
Simplificando, obtenemos que para el caso en quea > b, el área pedida es igual a:
2�a
 
b2p
a2 � b2
argsenh
 p
a2 � b2
b
!
C a
!
:
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Evolución de la idea de integral 499
Es un buen ejercicio de cálculo que compruebes estos resultados paso a paso. Te garan-
tizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para el
caso en queb > a. Lo dejo para que lo hagas tú. ©
8.8. Evolución de la idea de integral
8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
5 Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos queconsisten en lo siguiente:
dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de lafigura dada. Esta construcción
debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unasnormas precisas. Según lo esta-
blecido en losElementosde Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un número
finito de pasos, cada uno de ellos consistente en:
� Trazar una recta que una dos puntos.
� Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios.
� Intersecar dos de las figuras anteriores.
Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la dupli-
cación del cubo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia. En la antigua
Grecia se sabía cuadrar cualquier polígono.
A
D C
BO
F G
E H
Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo
Para cuadrar el rectánguloABCD de la figura8.26se procede de la forma siguiente:
1) Se prolonga el ladoAB y se determina sobre él un puntoE tal queBE DBC .
5Para escribir estas notas históricas he seguido de cerca lostrabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],
González Urbaneja [7] y H. J. M. Bos [2].
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Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Evolución de la idea de integral
	Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas