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Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 503
8.8.1.2. El Métodode Arquímedes
En su tratadoEl Método, que se creía perdido y fue descubierto en 1906, Arquímedes
obtiene la cuadratura de la parabola por medios mecánicos usando el principio de la palanca.
Aunque el propio Arquímedesreconoce que esa forma de proceder no es una demostración,
merece la pena decir algo sobre ella.
Z
K
M
N
E
B
Q
O
A CD
G
T
V
H
Figura 8.28. ElMétodode Arquímedes
La rectaCZ es la tangente a la parábola enC , B es el vértice del segmento parabólico. El
segmentoAZ es perpendicular a la cuerdaAC , C T es la recta que pasa por el puntoC y el
vérticeB de forma queK es el punto medio del segmentoC T . Se consideraC T como un
brazo de palanca con fulcro enK.
Por serABC una parábola, se sabe que la subtangenteED en un puntoC es igual al doble
de la abscisaBD (conviene imaginarse la parábola girada 90 grados), es decir, EDD 2BD, de
donde,EB DBD. Deducimos, por la semejanza de triángulos en la figura, queMN DNQ y
ZK=KA.
Arquímedes demuestra enSobre la Cuadratura de la Parábolaque
CA
AQ
D MQ
QO
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Y, como también es
CA
AQ
D CK
KN
, y por construcción esTK D CK, obtenemos que
TK
KN
D MQ
QO
” TK:QO DKN:MQ
Si ahora trasladamos al puntoT un segmento de longitud igual aQO y lo ponemos como en la
figura el segmentoVH de modo que su centro de gravedad sea el puntoT , la igualdad anterior
nos dice que el segmentoVH DQO queda equilibrado por el segmentoMQ, pues el producto
de dichos segmentos por la longitud correspondiente del brazo de palanca con fulcro enK es
la misma. Obsérvese queN es el centro de gravedad del segmentoMQ. Deducimos queK es
el centro de gravedad de los segmentosVH y MQ.
Análogamente puede razonarse con cualquier paralela al ejede la parábolaED, todas ellas
estarán en equilibrio con los segmentos determinados sobreellas por el segmento parabólico
trasladados al puntoT , de manera que el centro de gravedad de cada par de segmentos será el
puntoK.
Ahora bien, los segmentos paralelos aDE “componen” el triángulo4AZC y los corres-
pondientes segmentos dentro del segmento parabólico“componen” dicho segmento parabóli-
co. Por tanto el triánguloAZC “permaneciendo en su lugar”, estará en equilibrio respecto
del puntoK con el segmento parabólico trasladado hasta tener su centrode gravedad enT , de
manera que el centro de gravedad del conjunto de ambos será elpuntoK.
Dividimos ahoraCK por el puntoG de forma queCK sea el triple deKG, el puntoG será
el centro de gravedad del triánguloAZC ,y puesto que el triánguloAZC , “permaneciendo en
su lugar” está en equilibrio, respecto del puntoK, con el segmento parabólicoABC , trasladado
con centro de gravedad enT , y queG es el centro de gravedad del triánguloAZC , se verifica,
por consiguiente, que la razón del triánguloAZC al segmento parabólicoABC colocado
alrededor del centroT es igual a la razón deTK aKG. Ahora bien, siendoTK triple deKG,
el triánguloAZC será triple del segmento parabólicoABC . Además, el triánguloAZC es
cuádruple del triángulo inscritoABC , ya queZK es igual queKA y KA es doble deBD al
serAD igual queDC . Concluimos que el segmento parabólicoABC equivale a cuatro tercios
del triángulo inscritoABC . 2
8.8.1.3. Área de una espiral
El siguiente ejemplo de cuadratura sigue un procedimiento que, traducido a las notaciones
actuales, es prácticamente el mismo de la integral de Riemann.
La espiral de Arquímedes es la curva que describe un punto material que se mueve con
velocidad uniforme a lo largo de una semirrecta que gira con velocidad angular uniforme alre-
dedor de su extremo. Es un ejemplo de las llamadascurvas mecánicas. La ecuación polar de
una espiral de Arquímedes es de la forma�D a# , dondea > 0 es una constante.
8.71 Teorema.El área del primer ciclo de una espiral es igual a una tercera parte del área
del círculo circunscrito.
Demostración.Consideremos una espiral de Arquímedes de ecuación polar� D a# y calcu-
lemos el área cuando el ángulo polar varía desde0 a 2� , es decir, de la primera vuelta de la
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espiral. El radio del círculo circunscrito es2�a. Para ello dividimos este círculo en sectores de
amplitud# D 2�=n, desde# D 2�k=n a# D 2�.k C 1/=n parak D 0; 1; : : : ;n� 1. En cada
sector examinamos el arco de espiral que queda dentro del mismo y acotamos el área corres-
pondiente a dicho arco de espiral entre las áreas de dos sectores circulares. Teniendo en cuenta
que el área de un sector circular de radior y amplitud' radianes es1
2
r2', resulta que el área de
sector circular más grande inscrito en cada arco de espiral es 1
2
.a2�k=n/2.2�=n/, y el área de
sector circular más pequeño circunscrito a cada arco de espiral es1
2
.a2�.k C 1/=n/2.2�=n/.
Deducimos que el área,S , de la espiral verifica que:
n�1X
kD0
1
2
�
a2�k
n
�2
2�
n
D 4�
3a2
n3
n�1X
kD0
k2 < S <
nX
kD1
1
2
�
a2�k
n
�2
2�
n
D 4�
3a2
n3
nX
kD1
k2
Figura 8.29. Cuadratura de una espiral
Arquímedes conocía que
nX
kD1
k2 D 1
6
n.n C 1/.2n C 1/. Usando este resultado podemos
escribir la desigualdad anterior en la forma:
4�3a2
1
6
�
1 � 1
n
��
2 � 1
n
�
< S < 4�3a2
1
6
�
1C 1
n
��
2C 1
n
�
PongamosK D 1
3
�.2�a/2 que es una tercera parte del área del círculo circunscrito. Restando
K en la desigualdad anterior y haciendo operaciones sencillas, obtenemos que:
K
�
� 3
2n
C 1
2n2
�
< S �K < K
�
3
2n
C 1
2n2
�
I
y como1=n2 6 1=n, obtenemos que�2K=n < S �K < 2K=n. Usando ahora el axioma de
Arquímedes se concluye queS DK. 2
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	Evolución de la idea de integral
	Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
	El Método de Arquímedes
	Área de una espiral