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Propiedades asociativas y conmutativas 527
los términos de una serie convergente podemos obtener otra serie con suma distinta. Las cosas
van mejor en lo que se refiere a la asociatividad. Precisemos estas ideas.
Seafa1 C a2 C � � � C ang la serie definida por la sucesiónfang. Dada una aplicación estric-
tamente creciente� WN ! N, definamos una sucesiónfbng por:
b1 D a1 C a2 C � � � C a�.1/; bnC1 D a�.n/C1 C � � � C a�.nC1/ .n2N/ (9.6)
En estas condiciones se dice que la serie
P
bn se ha obtenidoasociando términosen la serieP
an. PoniendoAn D a1 C a2 C � � � C an, y BnDb1Cb2C� � �Cbn, se tiene queBnDA�.n/,
es decir la sucesiónfBng es una sucesión parcial defAng. Deducimos el siguiente resultado.
9.11 Proposición.Toda serie obtenida asociando términos en una serie convergente también
es convergente y ambas series tienen la misma suma.
Es importante advertir que asociando términos en una serie no convergente puede obtenerse
una serie convergente. Por ejemplo, la serie definida por la sucesiónfang D f.�1/nC1g no es
convergente, y la serie que se obtiene de ella asociando términos dos a dos, es decir, la serie
definida por la sucesiónbnD a2n�1C a2nD 0, es evidentemente convergente. A este respecto
tiene interés el siguiente resultado que establece una condición suficiente para que de la con-
vergencia de una serie obtenida asociando términos en otra pueda deducirse la convergencia de
esta última.
9.12 Proposición.Sea� WN ! N una aplicación estrictamente creciente,fang una sucesión
y fbng la sucesión definida como en(9.6). Supongamos que la serie
P
bn es convergente y que
la sucesión
˛n D ja�.n/C1j C ja�.n/C2j C � � � C ja�.nC1/j
converge a cero. Entonces la serie
P
an es convergente y tiene la misma suma que la serieP
bn.
Demostración. Para cadan2N, n > �.1/, definamos:
�.n/DmKaxfk2N W �.k/6 ng:
Evidentemente,�.n/ 6 �.n C 1/. Además�.�.n// 6 n < �.�.n/ C 1/, y para todop 2 N
�.�.p//D p. PongamosAn D a1 C a2 C � � � C an, Bn D b1 C b2 C � � � C bn. Se comprueba
fácilmente, usando que� es creciente y no mayorada, que lKım
˚
B�.n/
	
D lKımfBng (observa que˚
B�.n/
	
es “parecida” a una sucesión parcial defBng). Paran > �.1/ tenemos:
An D.a1 C � � � C a�.1//C � � � C .a�.�.n�1//C1 C � � � C a�.�.n///C a�.�.n//C1 C � � � C an
DB�.n/ C a�.�.n//C1 C � � � C an:
Por tanto
ˇ̌
An � B�.n/
ˇ̌
6 ja�.�.n//C1j C � � � C janj6 ja�.�.n//C1j C � � � C ja�.�.n/C1/j D ˛�.n/ ! 0:
De donde se sigue que lKımfAng D lKım
˚
B�.n/
	
D lKımfBng. 2
Estudiaremos seguidamente las series convergentes para las que se verifica la propiedad
conmutativa. Precisaremos estos conceptos. Seafa1 C a2 C � � � C ang la serie definida por la
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sucesiónfang. Dada una biyección� WN ! N, definamos una sucesiónfbng por bn D a�.n/.
En estas condiciones se dice que la seriefb1 C b2 C � � � C bng se ha obtenidoreordenando
términosen la seriefa1 C a2 C � � � C ang.
9.13 Definición. Se dice que una seriefa1 C a2 C � � � C ang esconmutativamente conver-
gente si paratoda biyección� W N ! N, se verifica que la serie definida por la sucesión
fa�.n/g, es decir la seriefa�.1/ C a�.2/ C � � � C a�.n/g, es convergente.
Observa que, tomando como biyección deN sobreN la identidad, si la serie
P
an es con-
mutativamente convergente entonceses convergente. En otras palabras, una serie es conmuta-
tivamente convergente, cuando es convergente y también sonconvergentes todas las series que
se obtienen de ella por reordenación de sus términos (en cuyocaso se verifica que todas ellas
tienen la misma suma). La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergente que no
es conmutativamente convergente.
El siguiente teorema da una sencilla caracterización de lasseries conmutativamente conver-
gentes. Debes entender lo que afirma el teorema pero no es preciso que leas su demostración. Si
acaso, puede ser interesante que leas el comienzo de la demostración de la implicaciónb/÷a/
porque es muy parecida a la demostración del teorema8.33. Esto no es casual: hay bastantes
analogías entre la convergencia de integrales impropias y de series.
9.14 Teorema.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) La seriefa1 C a2 C � � � C ang es conmutativamente convergente.
b) La seriefja1j C ja2j C � � � C janjg es convergente.
Además, en caso de que se verifiquen a) y b), se tiene que:
1X
nD1
an D
1X
nD1
a�.n/
cualquiera sea la biyección� WN ! N.
Demostración. b/÷a/ PongamosAn D a1 C a2 C � � � C an, BnD ja1j C ja2j C � � � C janj.
Supongamos quefja1j C ja2j C � � � C janjg es convergente. Probaremos en primer lugar que la
seriefa1 C a2 C � � � C ang también es convergente. Dado" > 0, la condición de Cauchy para
fBng nos dice que existen02N tal que
ˇ̌
Bq � Bp
ˇ̌
D
qX
kDpC1
jak j <
"
2
; para todosp; q2N tales que q > p>n0: (9.7)
Deducimos que para todosp; q2N tales queq > p>n0 se verifica que
ˇ̌
Aq �Ap
ˇ̌
D
ˇ̌
apC1 C apC2 C � � � C aqj6
qX
kDpC1
jak j <
"
2
< ":
Lo que prueba que la seriefAng cumple la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente.
PongamosAD lKımfAng, y sea� WN ! N una biyección. Dado" > 0, sean02N tal que
se verifica (9.7) y además
ˇ̌
An0 �A
ˇ̌
< "=2. Definamos
m0 DmKaxfj 2N W �.j /6 n0g; Fm D f�.k/ W 1 6 k 6 mg:
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Param>m0, se verifica queFm ¥ f1; 2; : : : ;n0g. Por tanto, el conjuntoHDFmnf1; 2; : : : ;n0g
no es vacío. SeapDmKın.H /, qDmKax.H /. Tenemos entonces queq>p>n0C 1, y por tanto:
ˇ̌
ˇ̌
mX
jD1
a�.j/ �A
ˇ̌
ˇ̌ D
ˇ̌
ˇ̌ X
k 2Fm
ak �A
ˇ̌
ˇ̌D
ˇ̌
ˇ̌
n0X
kD1
ak C
X
k 2H
ak �A
ˇ̌
ˇ̌6
6
ˇ̌
ˇ̌
n0X
kD1
ak �A
ˇ̌
ˇ̌C
X
k 2H
jak j <
"
2
C
qX
kDp
jak j <
"
2
C "
2
D ":
Hemos probado así que
1X
nD1
a�.n/ DA y por tanto queb/ implica a/.
a/÷b/ Probaremos que si la seriefBng no es convergente entonces la seriefAng no
es conmutativamente convergente. Supondremos, pues, en loque sigue quefBng no es con-
vergente. Tenemos para la seriefAng dos posibilidades: o bien converge o bien no converge.
Evidentemente, sifAng no converge entonces, con mayor razón, no es conmutativamente con-
vergente. Consideraremos, por tanto, el caso en quefAng es convergente. Para nuestro pro-
pósito es suficiente probar que, en tal caso, hay una biyección � W N ! N tal que la serie
fa�.1/C a�.2/C � � � C a�.n/g es positivamente divergente. Veamos cómo puede justificarse la
existencia de dicha biyección.
De las hipótesis hechas se deduce que los conjuntosU D fn 2N W an > 0g, y V D N n
U son infinitos. Sean� y 
 biyecciones crecientes deN sobre U y V , respectivamente.
Evidentemente, para todon2N, se verifica que:
fk2N W �.k/6 ng [ fk2N W 
 .k/6 ng D fk2N W 1 6 k 6 ng
por lo que, poniendo
Pn D
X
�.k/6n
a�.k/; Qn D
X

.k/6n
a
.k/
tenemos queAn D Pn C Qn y Bn D Pn � Qn, de donde se sigue queningunade las su-
cesionesfPng y fQng es convergente y, como son monótonas, deducimos quefPng diverge
positivamente yfQng diverge negativamente.
Lo que sigue es fácil de entender: vamos a ir formando grupos de términos positivos con-
secutivos de la sucesiónfang y, entre cada dos de tales grupos, vamos a ir poniendo consecu-
tivamente los términos negativos de dicha sucesión. El criterio para ir formando los grupos de
términos positivos es que la suma de cada grupo con el términonegativo que le sigue sea mayor
que1. Formalmente sería como sigue. Definimos� WN ! N por:
�.1/DmKınfq2N W P�.q/ C a
.1/ > 1g
�.k C 1/DmKınfq2N W P�.q/ � P�.k/C a
.kC1/ > 1g para todok2N:
Pongamos, por comodidad de notación�.0/D0. Nótese que el grupok-ésimo de términos po-
sitivos está formado pora�.�.k�1/C1/; a�.�.k�1/C1/C1; : : : ; a�.�.k//, y dicho grupo va seguido
por el término negativoa
.k/. Pues bien, la biyección� WN ! N , dada por:
�.j /D �.j � k/ para �.k/C k C 1 6 j 6 �.k C 1/C k; k D 0; 1; 2; : : :
�.�.k/C k/D a
.k/; k D 1; 2; : : :
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