calculo-diferencial-e-integral-francisco-javier-pérez-gonzález-201

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Cálculo elemental de
r C1
0
senx
x
dx y de
P1
nD1
1
n2
578
Observa que el criterio particular de Dirichlet implica quelas serie de números com-
plejos de la forma
X
n>1
znbn dondefbng es una sucesión de números reales monótona y
convergente a0 y z es un número complejo de módulo1 y distinto de1, (z¤ 1; jzjD 1),
son convergentes. Naturalmente sijzj < 1 tales series convergen absolutamente. ©
vi) Es fácil comprobar que el término general de la serie no converge a cero y, por tanto,
la serie no es convergente. ©
Ejercicio resuelto 239 Sea�2R con j�j < 1 y # 2R. Calcula los límites:
1X
nD0
�n cos.n#/ y
1X
nD0
�n sen.n#/.
Sugerencia. LlamaA a la primera suma yB a la segunda. CalculaAC iB.
Solución.Observa que por serj�j < 1 las dos series son absolutamente convergentes.
Tenemos que:
AC iB D
1X
nD0
�n
�
cos.n#/C i sen.n#/
�
D
1X
nD0
�
� ei#
�n D 1
1 � � ei#
D
D 1 � � e
�i#
1C �2 � 2� cos# D
1 � � cos#
1C �2 � 2� cos# C i
� sen#
1C �2 � 2� cos# :
Deducimos que:
AD
1X
nD0
�n cos.n#/D 1� � cos#
1C �2 � 2� cos# ; BD
1X
nD0
�n sen.n#/D � sen#
1C �2 � 2� cos# :
9.7. Cálculo elemental de
r C1
0
senx
x
dx y de
P1
nD1
1
n2
Necesitaremos el siguiente resultado que es un caso muy particular del llamadolema de
Riemann – Lebesgue. Probaremos que sif es una función con derivada continua enŒa; b�
entonces se verifica que:
lKım
t!C1
bw
a
f .x/ sen.tx/dx D lKım
t!C1
bw
a
f .x/ cos.tx/dx D 0 (9.20)
En las hipótesis hechas, la prueba es inmediata porque bastaintegrar por partes:
bw
a
f .x/ sen.tx/dxDŒu.x/Df .x/; v 0.x/Dsen.tx/�D�1
t
f .x/ cos.tx/
ˇ̌
ˇ̌
xDb
xDa
C1
t
bw
a
f 0.x/ cos.tx/dx
Comojcos.u/j6 1 cualquiera seau2R se sigue que:
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
bw
a
f .x/ sen.tx/dx
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌6
1
t
�
jf .a/j C jf .b/j
�
C 1
t
bw
a
jf 0.x/jdx D K
t
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Cálculo elemental de
r C1
0
senx
x
dx y de
P1
nD1
1
n2
579
dondeKDjf .a/jC jf .b/jC
r b
a jf 0.x/jdx es una constante. De esta desigualdad se sigue que
lKım
t!C1
bw
a
f .x/ sen.tx/dx D 0. Análogamente se prueba que lKım
t!C1
bw
a
f .x/ cos.tx/dx D 0.
Haciendo ahora en la igualdad2 senx cosyDsen.xCy/�sen.y�x/ yD2kx se obtiene:
2 senx cos.2kx/D sen
�
.2k C 1/x
�
� sen
�
.2k � 1/x
�
:
Sumando estas igualdades desdek D 1 hastak D n resulta:
2 senx
nX
kD1
cos.2kx/D sen
�
.2nC 1/x
�
� senx
de donde, dividiendo por senx ¤ 0, se sigue que:
sen
�
.2nC 1/x
�
senx
D 2
nX
kD1
cos.2kx/C 1: (9.21)
Deducimos que:
�
2w
0
sen
�
.2nC 1/x
�
senx
dx D �
2
Como la funciónf W Œ0; �=2�! R dada porf .x/D 1
x
� 1
senx
parax ¤ 0 y f .0/D 0 tiene
derivada continua enŒ0; �=2�, podemos usar el resultado probado al principio para deducir que:
lKım
n!1
�
2w
0
�
1
x
� 1
senx
�
sen
�
.2nC 1/x
�
dx D 0:
Y, teniendo en cuenta la igualdad antes obtenida, concluimos que
lKım
n!1
�
2w
0
sen
�
.2nC 1/x
�
x
dx D �
2
:
Y, haciendo un sencillo cambio de variable obtenemos que:
�
2w
0
sen
�
.2nC 1/x
�
x
dx D Œ.2nC 1/x D u�D
.2nC1/�
2w
0
senu
u
du D �
2
:
Por otra parte la integral impropia
r C1
0
senx
x
dx es convergente como hemos visto en el ejerci-
cio resuelto193, es decir, existe el límite lKım
t!C1
tw
0
senx
x
dx . Por tanto, por la conocida carac-
terización de los límites funcionales, para toda sucesiónfang ! C1 se tiene que:
C1w
0
senx
x
dx D lKım
n!1
anw
0
senx
x
dx :
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Cálculo elemental de
r C1
0
senx
x
dx y de
P1
nD1
1
n2
580
Haciendoan D .2nC 1/�2 concluimos que:
C1w
0
senx
x
dx D lKım
n!1
.2nC1/�
2w
0
senu
u
du D �
2
:
Calcularemos ahora la suma de la serie
X
n>1
1
n2
. Sustituyamos en la igualdad9.21 x por
x=2 para obtener:
sen
�
.2nC 1/x
2
�
sen.x=2/
D 2
nX
kD1
cos.kx/C 1:
Multiplicando esta igualdad porx.x � 2�/ y teniendo en cuenta que:
�w
0
x.x � 2�/ cos.kx/dx D 2�
k2
como se comprueba fácilmente integrando por partes dos veces, obtenemos:
�w
0
x.x � 2�/
sen.x=2/
sen
�
.2nC 1/x
2
�
dx D 4�
nX
kD1
1
k2
C
�w
0
x.x � 2�/dx D 4�
nX
kD1
1
k2
� 2�
3
3
:
Como la funciónf W Œ0; ��! R dada porf .x/ D x.x�2�/sen.x=2/ parax ¤ 0, f .0/ D �4� tiene
derivada continua enŒ0; ��, podemos aplicar el resultado visto al principio de esta sección para
deducir que:
lKım
n!1
�w
0
x.x � 2�/
sen.x=2/
sen
�
.2nC 1/x
2
�
dx D 0:
Lo que, teniendo en cuenta la igualdad anterior, implica que:
1X
nD1
1
n2
D �
2
6
:
Universidad de Granada
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Series numéricas
	Cálculo elemental de _0+senxxdx y de _n=11n2