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Convergencia puntual 584
10.2.1. Convergencia puntual
10.3 Definición.Dadox2I se dice que la sucesión de funcionesffng converge puntualmente
enx, si la sucesión de números realesffn.x/g es convergente.
El conjuntoC de todos los puntosx2I en los que la sucesión de funcionesffng converge
puntualmente, se llamacampo de convergencia puntual. Simbólicamente:
C D fx2I W ffn.x/g convergeg:
Supuesto queC ¤Ø, la funciónf W C ! R definida para todox2C por:
f .x/D lKım
n!1
ffn.x/g
se llamafunción límite puntual de la sucesiónffng.
10.4 Observación.Para entender la definición de convergencia puntual y en general en todo
este capítulo, esmuy importanteno confundir lasucesión de funcionesffng con lasucesión
de números realesffn.x/g obtenidaevaluando las funcionesde dicha sucesión en un número~
x2I . Tampoco debes olvidar que en una sucesión la variable es siempren2N y nuncax2I .
Así, la sucesiónffn.x/g es la aplicación que a cada número naturaln2N (la variable) le asigna
el número realfn.x/ dondex está fijo.
10.5 Ejemplo. Sea la sucesión de funcionesffng donde, para cadan2N, fn W Œ0; 1�! R es
la función definida para todox2 Œ0; 1� por:
fn.x/D nx.1 � x/n:
0 1
fn.x/ D nx.1 � x/n
b b
1
e
Figura 10.2. Convergencia puntual
Observa que six D 0 o x D 1, la sucesiónffn.0/g D ffn.1/g D f0g es, evidentemente,
convergente a 0. Si0 < x < 1 entonces0 < 1 � x < 1 y se verifica queffn.x/g ! 0 porque
es una sucesión de la formafnp�ng dondej�j < 1. Deducimos que el campo de convergencia
puntual de esta sucesión es el conjuntoC D Œ0; 1� y la función límite puntual es la función
idénticamente nula,f .x/D 0 para todox 2 Œ0; 1�. Observa en la figura10.2las gráficas de las
primeras seis funciones de esta sucesión.
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Convergencia puntual 585
Fíjate cómo por el extremo derecho del intervalo las gráficasse van pegando al eje de
abscisas pero su comportamiento es muy diferente en el extremo izquierdo. Ello es así porque
cuando1 � x es pequeño (es decir,x está cerca de1) la sucesiónffn.x/g converge muy
rápidamente a cero, pero cuando1�x está próximo a1 (es decir,x está cerca de0) la sucesión
ffn.x/g converge lentamente a cero.
Observa las gráficas de las funcionesf10 y f20
en la figura de la derecha. ¿Te parece que estas
funciones estánmuy próximasa la función lí-
mite puntualf � 0? Observa que, aunque para
cadax 2 Œ0; 1� esf .x/ D lKım
n!1
ffn.x/g D 0,
la funciónfn no se acerca mucho a la función
límite puntualf � 0.
0 1
f10f20
b b
1
e
�
Para evitar ambigüedades necesitamos precisar qué entendemos porproximidadentre dos
funciones. Para ello, considera dos funcionesf;g W I ! R . Dichas funciones son iguales
cuandof .x/Dg.x/ para todox2I o, lo que es igual, cuando mKaxfjf .x/� g.x/j Wx2IgD0.
En general, el número mKaxfjf .x/� g.x/jWx2Ig proporciona una buena idea de la proximidad
entre las funcionesf y g pues dicho número es tanto más pequeño cuanto más cercanas estén
las gráficas de las dos funciones.
Volviendo al ejemplo anterior, confn.x/D nx.1 � x/n y f � 0, podemos calcular fácil-
mente el número mKaxfjfn.x/� f .x/j W x 2 Œ0; 1�g DmKaxffn.x/ W x 2 Œ0; 1�g. Basta derivarfn
para comprobar que la funciónfn alcanza su máximo absoluto en el intervaloŒ0; 1� en el punto
xn D 1nC1 . Luego
mKaxffn.x/ W x 2 Œ0; 1�g D fn.xn/D
�
n
nC 1
�nC1
! 1
e
:
Fíjate en que lKım
n!1
ffn.x/gD0 pero lKım
n!1
mKaxffn.x/Wx2 Œ0; 1�gD1=e> 0, es decir, las funcio-
nesfn no se aproximan a la función nula. De hecho, como la sucesión
˚�
n
nC1
�nC1	
es creciente,
cuanto mayor sean mayor es la distancia entre la funciónfn y la función nula. Observa cómo
son las gráficas de las funcionesfn cerca de cero paranD 100; 120; 140; 160; 180; 200.
0 0�10�05
f100
f200
b bb
1
e
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Convergencia Uniforme 586
10.6 Ejemplo. Sea la sucesión de funcionesffng donde, para cadan2N, fn WR! R es la
función dada para todox2R por:
fn.x/D
x2n
1C x2n
Es claro que sijxj < 1 se tiene queffn.x/g ! 0, y si jxj > 1 se tiene queffn.x/g ! 1.
ParaxD˙1 esffn.˙1/gD f1=2g que, evidentemente, converge a1=2. Por tanto, el campo de
convergencia puntual deffng esC D R, y la función límite puntual está definida por:
f .x/D lKım
n!1
ffn.x/g D
8
<̂
:̂
1 si jxj > 1I
1=2 si jxj D 1
0 si jxj < 1:
Aquí ocurre que la función límite puntual es discontinua (tiene discontinuidades de salto en�1
y en1) a pesar de que las funciones de la sucesión son continuas. Observa las gráficas de las
primero cinco funciones de la sucesión.
1
1 2 3-1-2-3
fn.x/D x
2n
1Cx2n
1
2
bb
Tenemos que:
mKaxfjf .x/�fn.x/jWx2Rg>f
�
1C 1
2n
�
�fn
�
1C 1
2n
�
D1�
.1C 1
2n
/2n
1C .1C 1
2n
/2n
! 1� e
1CeD
1
1Ce:
Por tanto, la distancia entre la funciónfn y la función límite puntual,f , no converge a cero.�
Este ejemplo y el anterior ponen de manifiesto que la convergencia puntual deffng a f
no proporciona una buena idea de la aproximación entre las funcionesfn y f . Además las
propiedades de continuidad de las funcionesfn pueden no conservarse para la función límite
puntual. Esto lleva a definir un tipo de convergencia mejor que la convergencia puntual.
10.2.2. Convergencia Uniforme
SeaJ un intervalo no vacío contenido en el campo de convergencia puntual de la sucesión
ffng. Y seaf la función límite puntual deffng. Se dice queffng converge uniformemente af
enJ si para todo" > 0 existen0 2 N (que dependerá de") tal que para todon > n0 se verifica
que supfjfn.x/� f .x/j W x 2 J g6 ".
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