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Convergencia Uniforme 587
Para comprender bien esta definición, analicemos la última desigualdad. Tenemos que:
supfjfn.x/� f .x/j W x 2 J g6 "”jfn.x/ � f .x/j6 " 8x2J
”�"6 fn.x/ � f .x/6 " 8x2J
” f .x/� " 6 fn.x/6 f .x/C " 8x2J:
Cuya interpretación gráfica es la siguiente (donde hemos consideradoJ D Œa; b�).
f C "
ffn
f � "
b b
a b
Figura 10.3. Interpretación gráfica de la convergencia uniforme
Esto nos dice que la gráfica de la funciónfn se queda dentro de untubo centrado en la
gráfica def de anchura2" (ver figura10.3). Ahora debe estar claro que en el ejemplo 1 no hay
convergencia uniforme en ningún intervalo del tipoŒ0; a� con0 < a < 1 y en el ejemplo 2 no
hay convergencia uniforme en ningún intervalo que contengaa�1 o a1.
10.7 Observaciones.Observa que la diferencia entre la convergencia puntual y laconvergencia
uniforme enJ es la siguiente.
Decir queffng converge af puntualmente enJ significa que:
� Fijas unx2J ;
� La correspondiente sucesión de números realesffn.x/g converge af .x/, es decir: para
todo " > 0, existe un número naturaln0 tal que para todon 2N con n > n0 se verifica que
jfn.x/� f .x/j6 ".
Naturalmente, el númeron0 dependerá del" y, en general,también dex porque si cambias
x por otro puntoz 2J la sucesiónffn.z/g es distinta deffn.x/g y el n0 que vale para una no
tiene por qué valer también para la otra.
Decir queffng converge af uniformemente enJ significa que:
� Fijas un" > 0;
� Existe un número naturaln0 (que dependerá de") tal que para todon2N conn > n0 se
verifica quejfn.x/� f .x/j6 " para todo x2J .
Es decir, en la convergencia uniforme, hay un mismo númeron0 que es válido simultánea-
mente para todos losx2J .
En la práctica, el estudio de la convergencia puntual se reduce a calcularpara cadax fijo el
límite lKım
n!1
ffn.x/g, lo que suele ser muy sencillo. Mientras que para estudiar laconvergencia
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uniforme en un intervaloJ , lo que se hace es calcular, con las técnicas usuales de derivación, el
máximo absolutode jfn.x/� f .x/j enJ . La presencia del valor absoluto enjfn.x/� f .x/j
es incómoda para derivar por lo que conviene quitarlo, lo quecasi siempre puede hacerse con
facilidad. Supongamos que elmáximo absolutodejfn.x/� f .x/j enJ se alcanza en un punto
cn2J . Entonces, si lKım
n!1
ffn.cn/ � f .cn/gD0 hay convergencia uniforme enJ , y en otro caso
no hay convergencia uniforme enJ . En particular, si hay una sucesiónfzng de puntos deJ tal
quefjfn.zn/ � f .zn/jg no converge a0, entoncesffng no converge uniformemente af enJ .
10.8 Ejemplo. Estudiemos la convergencia uniforme enRCo y en intervalos de la formaŒa;C1Œ,
(a > 0), de la sucesión de funcionesffng definidas para todox2RCo porfn.x/D n2x e�nx.
Observa quefn.0/ D 0 y, si x > 0, lKım
n!1
fn.x/ D x lKım
n!1
n2.e�x/n D 0 (porque es una
sucesión de la formanp�n donde0 < j�j < 1). Por tanto, el campo de convergencia puntual es
C DRCo , y la función límite puntal está dada porf .x/D lKımn!1ffn.x/g D 0 para todox2R
C
o .
Estudiemos si hay convergencia uniforme enRCo . Observa quefn.x/ > 0, por lo que
jfn.x/�f .x/jDfn.x/. Ahora, como,f 0n.x/Dn2 e�nx.1�nx/, se deduce quef 0n.x/ > 0 para
0 6 x < 1=n, y f 0n.x/ < 0 parax > 1=n. Luegofn.x/6fn.1=n/ para todox > 0. Deducimos
quefn.1=n/ DmKaxffn.x/ W x 2RCo g, y comofn.1=n/ D n=e, sucesión que, evidentemente,
no converge a 0, concluimos que no hay convergencia uniformeenRCo .
Estudiemos si hay convergencia uniforme en un intervalo de la formaŒa;C1Œ, cona > 0.
Por lo antes visto, sabemos que la funciónfn es decreciente en el intervaloŒ1=n;C1Œ. Sea
n0 un número natural tal que
1
n0
< a. Entonces, para todon > n0, tenemos queŒa;C1Œ�
Œ1=n;C1Œ, por lo que, mKaxffn.x/ W x2 Œa;C1Œg D fn.a/. Como lKımffn.a/gD 0, concluimos
que hay convergencia uniforme enŒa;C1Œ.
Observa las gráficas de las primero cinco funciones de la sucesión.
1
1 2
fn.x/D n2x e�nx
Puedes comprobar fácilmente, integrando por partes, que
r 1
0 n
2x e�nx dxD1�.1Cn/e�n
para todon2N. Por tanto:
lKım
n!1
1w
0
fn.x/dx D 1¤ 0D
1w
0
. lKım
n!1
fn.x//dx :
Es decir, en general, no se puede permutar la integración conel límite puntual. �
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10.9 Observaciones.El concepto de convergencia uniforme requiere algunas precisiones im-
portantes.
� La convergencia uniforme se refiere siempre a un conjunto. No tiene sentido decir que
“la sucesiónffng converge uniformemente”si no se indica inmediatamente a continuación
el conjunto en el que afirmamos que hay convergencia uniforme. Además, siempre hay con-
vergencia uniforme en subconjuntos finitos del campo de convergencia puntual (si no sabes
probarlo es que no has entendido la definición de convergencia uniforme). Por ello, sólo tiene
interés estudiar la convergencia uniforme en conjuntos infinitos, por lo general en intervalos.
� No existe“el campo de convergencia uniforme”. Es decir, el concepto decampo de
convergencia puntualno tiene un análogo para la convergencia uniforme. La razón es que no
tiene por qué existir unmás grandeconjunto en el que haya convergencia uniforme. Así, en el
ejemplo anterior, hay convergencia uniforme en intervalosde la formaŒa;C1Œ cona > 0. La
unión de todos ellos esRC y enRC no hay convergencia uniforme.
10.10 Teorema(Condición de Cauchy para la convergencia uniforme). Una sucesión de
funcionesffng converge uniformemente enJ si, y sólo si, para todo" > 0, existe un número
natural n0 tal que para todosn;m > n0 se verifica que:
supfjfn.x/� fm.x/j W x2J g6 ":
Demostración. Supongamos queffng converge uniformemente a una funciónf enJ . Enton-
ces, dado" > 0, existirá unn02N tal que para todon > n0 se tiene que:
supfjfn.x/ � f .x/j W x2J g6
"
2
:
Seam > n0. Para todox2J tenemos que:
jfn.x/� fm.x/j6 jfn.x/� f .x/j C jfm.x/� f .x/j6
"
2
C "
2
D ":
Por tanto para todosn;m > n0 se verifica que supfjfn.x/ � fm.x/j W x2J g6 ".
Recíprocamente, supuesto que la condición del enunciado secumple, entonces para cada
x2J se verifica que la sucesiónffn.x/g verifica la condición de Cauchy pues:
jfn.x/ � fm.x/j6 supfjfn.x/� fm.x/j W x2J g6 ":
Por el teorema de completitud deR dicha sucesión es convergente. Por tanto podemos definir
la función límite puntualf W J ! R por f .x/D lKım
n!1
f .x/ para todox 2J . Comprobemos
queffng converge uniformemente af enJ . Dado" > 0, por la hipótesis hecha, hay unn02N
tal que para todosn;m > n0 es:
jfn.x/� fm.x/j 6 " 8x2J
Fijandox2J y n > n0 en esta desigualdad y tomando límite param!1 obtenemos que:
jfn.x/� f .x/j6 ";
desigualdad que es válida para todox 2 J . Deducimos que supfjfn.x/� f .x/j W x2J g 6 "
siempre quen > n0. Hemos probado así queffng converge uniformemente af enJ . 2
La utilidad de la condición de Cauchy para la convergencia uniforme es que es intrínseca a
la sucesión, es decir, no involucra a la función límite.
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