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Series de funciones 590
10.2.3. Series de funciones
Dada una sucesión de funcionesffng, podemos formar otra,fFng, cuyos términos se obtie-
nen sumandoconsecutivamentelos deffng. Es decir,F1Df1, F2Df1Cf2, F3Df1Cf2Cf3,...
En general,FnD
nX
kD1
fk . La sucesiónfFng así definida se llamaserie de término generalfn y
la representaremos por el símbolo
X
n>1
fn .
Debe quedar claro queuna serie de funciones es una sucesión de funciones que se ob-
tienen sumando consecutivamente las funciones de una sucesión dada. Todo lo dicho para
sucesiones de funciones se aplica exactamente igual para series de funciones. En particular, los
conceptos de convergencia puntual y uniforme para sucesiones de funciones tienen igual signi-
ficado para series. Así el campo de convergencia puntual de laserie
X
n>1
fn cuyas funcionesfn
suponemos definidas en un intervaloI , es el conjunto:
C D fx2I W
X
n>1
fn.x/ es convergenteg:
La función límite puntual, llamadafunción sumade la serie, es la funciónF W C ! R dada
para todox 2 C por:
F.x/D
1X
nD1
fn.x/:
La única novedad es que ahora también podemos considerar elcampo de convergencia absoluta
de la serie, que es el conjunto
AD fx2I W
X
n>1
jfn.x/j es convergenteg:
El siguiente resultado es el más útil para estudiar la convergencia uniforme y absoluta de una
serie.
10.11 Teorema(Criterio de Weierstrass). Sea
X
n>1
fn una serie de funciones yA un conjunto
tal que para todox 2 A y todo n 2 N se tiene quejfn.x/j 6 ˛n, donde la serie
X
n>1
˛n es
convergente. Entonces
X
n>1
fn converge uniformemente y absolutamente enA.
Demostración. De las hipótesis se deduce, en virtud del criterio de comparación para series de
términos positivos, que la serie
X
n>1
jfn.x/j converge para todox2A. Esto implica que la serie
X
n>1
fn (x) converge para todox2A. Veamos que la convergencia es uniforme. Utilizaremos el
criterio de Cauchy.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Series de funciones 591
Como
X
n>1
˛n es convergente cumplirá la condición de Cauchy, esto es, dado " > 0, existe
n02N tal que sin > m > n0 entonces
ˇ̌
ˇ̌
nX
kD1
˛k �
mX
kD1
˛k
ˇ̌
ˇ̌D
nX
kDmC1
˛k < ":
Deducimos que para todox2A se verifica que:
jFn.x/ � Fm.x/jD
ˇ̌
ˇ̌
nX
kD1
fk.x/�
mX
kD1
fk.x/
ˇ̌
ˇ̌D
ˇ̌
ˇ̌
nX
kDmC1
fk.x/
ˇ̌
ˇ̌6
nX
kDmC1
jfk.x/j6
nX
kDmC1
˛k < ":
Como esta desigualdad es válida para todox2A se sigue que:
supfjFn.x/� Fm.x/j W x2Ag6 ": (10.2)
Es decir, la serie
X
n>1
fn cumple la condición de Cauchy para la convergencia uniformeenA. 2
Por otra parte, si en la condición de Cauchy (10.2) para una serie de funciones
P
fn,
hacemosmDnC1 deducimos la siguiente condición necesaria para la convergencia uniforme.
10.12 Corolario. Una condición necesaria para que una serie de funciones
P
fn sea unifor-
memente convergente en un conjuntoA es que la sucesión de funcionesffng converja unifor-
memente a cero enA.
Observa que los conceptos de convergencia absoluta y de convergencia uniforme son inde-
pendientes: una serie puede ser uniformemente convergenteen un conjuntoA y no ser absolu-
tamente convergente enA. En tales casos se aplican los siguientes criterios de convergencia no
absoluta para series de funciones.
10.13 Proposición(Criterios de convergencia uniforme no absoluta). Seafang una sucesión
numérica y
X
n>1
fn una serie de funciones definidas en un conjuntoA.
Criterio de Dirichlet.Supongamos que:
a) fang es una sucesión de números reales monótona y convergente a cero.
b) La serie
X
n>1
fn tiene sumas parciales uniformemente acotadas enA, es decir, hay un nú-
meroM > 0 tal que para todox2A y para todon2N se verifica que
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
nX
kD1
fk.x/
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6 M .
Entonces la serie de funciones
X
n>1
anfn converge uniformemente enA.
Criterio de Abel.Supongamos que:
a) La serie
X
n>1
an es convergente.
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b) Para cadax 2 A ffn.x/g es una sucesión de números reales monótona y la sucesión de
funcionesffng está uniformemente acotada enA, es decir, hay un númeroM > 0 tal que
para todox2A y para todon2N se verifica quejfn.x/j 6 M .
Entonces la serie de funciones
X
n>1
anfn converge uniformemente enA.
Demostración. Probaremos primero el criterio de Dirichlet. PongamosFn D
nX
kD1
fk . De la
fórmula (9.10) de suma por partes de Abel se deduce fácilmente que:
pX
kD1
anCkfnCk.x/D
pX
kD1
FnCk.x/.anCk�anCkC1/CFnCp.x/anCpC1�Fn.x/anC1: (10.3)
Igualdad que es válida para todosp > n > 1 y todox2A. Tomando valores absolutos en esta
igualdad, teniendo en cuenta que para todon 2N esjFn.x/j 6 M y suponiendo quefang es
decreciente en cuyo caso seráan > 0, obtenemos:
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
pX
kD1
anCkfnCk.x/
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6 M
pX
kD1
.anCk � anCkC1/CManCpC1 CManC1D
DM.anC1 � anCpC1/CManCpC1 CManC1 D 2ManC1:
Dado" > 0, como suponemos quefang ! 0, hay unn0 tal que para todon > n0 se verifica
quean 6
"
2M
. Deducimos que para todosp > n > n0 y para todox2A se verifica que:
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
pX
kD1
akfk.x/�
nX
kD1
akfk.x/
ˇ̌
ˇ̌
ˇD
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
pX
kD1
anCkfnCk.x/
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6 2ManC1 6 ":
Hemos probado así que la serie de funciones
X
n>1
anfn verifica la condición de Cauchy para la
convergencia uniforme enA.
Probaremos ahora el criterio de Abel. SeaSn D
nX
kD1
ak . Intercambiando los papeles deak
y fk en la igualdad (10.3) tenemos:
pX
kD1
anCkfnCk.x/D
pX
kD1
SnCk.fnCk.x/� fnCkC1.x//C SnCpfnCpC1.x/� SnfnC1.x/:
SeaS D
1X
nD1
an.Teniendo en cuenta que:
pX
kD1
.fnCk.x/ � fnCkC1.x//C fnCpC1.x/� fnC1.x/D 0;
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