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Integración por racionalización 446
8.56 Ejemplo. SeaID
w �x C 1
x � 1
�1=3
1
1C x dx . El cambio de variable
x C 1
x � 1 D t
3 racionaliza
la integral pues se tiene quex D t
3 C 1
t3 � 1 , con lo que:
ID�3
w 1
t3 � 1 dt D
w � t C 2
t2 C t C 1 �
1
t � 1
�
dt D 1
2
log
 
t2 C t C 1
.t � 1/2
!
C
p
3 arc tg
2t C 1p
3
dondet D 3
r
x C 1
x � 1 . �
8.6.10.3. Integrales binomias
Se llaman así las de la forma
w
x˛.aC bxˇ/
 dx
donde˛, ˇ, 
 son números racionales ya, b números reales todos ellos distintos de cero.
Haciendo la sustitución
xˇ D t; x D t
1
ˇ ; dx D 1
ˇ
t
1
ˇ
�1
la integral se transforma en
1
ˇ
w
t
˛C1
ˇ
�1.aC bt/
 dt
que es de la forma
w
tr .a C bt/
 dt donder D ˛ C 1
ˇ
� 1. Esta integral es del tipo de las
consideradas en el apartado anterior cuando el número:
� 
 es entero, pues es de la forma
w
R.t; tr /dt
� r es entero, pues es de la forma
w
R
�
t; .aC bt/
�
dt
� 
 C r es entero, pues es de la forma
w �aC bt
t
�
t
Cr dt
El matemático P.L. Chebyshev probó que si no se da ninguna de estas circunstancias la integral
no puede expresarse por medio de funciones elementales.
8.57 Ejemplo. SeaID
w
x
p
x2=3 C 2 dx . En este caso es̨D1, ˇD2=3, 
D1=2 y ˛ C 1
ˇ
D3.
Deducimos que la primitiva buscada puede expresarse por funciones elementales. Haciendo
x2=3 D t obtenemosI D 3
2
w
t2
p
t C 2 dt , la cual se racionaliza haciendot C 2D s2 (s > 0),
con lo queI D 3
w
.s2 � 2/2s ds que es inmediata. �
8.6.10.4. Integrales del tipo
w
R.ex/dx
Se racionalizan con el cambiox D log t . Un caso particular de este es el de las integrales
de la forma
w
R.coshx; senhx/dx que también admiten un tratamiento parecido al de las
trigonométricas.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Integración por racionalización 447
8.58 Ejemplo. SeaI D
w 2
senhx C tghx dx . Desarrolla los cálculos para comprobar que
I D Œx D log t �D
w 2.1C t2/
.t � 1/.1C t/3 dt D log
�
tgh
�x
2
��
� 1
1C coshx
Por otra parte, como la función
2
senhx C tghx es impar en senhx, también podemos proceder
como sigue
IDŒtDcoshx�D
w 2t
.�1C t/.1C t/2 dt D�
1
1C coshxC
1
2
log.�1Ccoshx/�1
2
log.1Ccoshx/
Por supuesto, puedes comprobar que las dos primitivas encontradas son de hecho iguales.�
8.6.10.5. Integración de funciones del tipoR.x;
p
ax2 C bx C c/
Una integral de la forma
w
R.x;
p
ax2 C bx C c /dx puede racionalizarse por medio de las
sustituciones siguientes.
� Si el trinomioax2 C bx C c tiene dos raíces reales̨y ˇ distintas, entonces se hace:
p
ax2 C bx C c D Œa.x � ˛/.x � ˇ/�1=2 D .x � ˛/
�
a.x � ˇ/
x � ˛
�1=2
Donde, por comodidad, hemos supuesto quex � ˛ > 0. Deducimos que la sustitución:
a.x � ˇ/
x � ˛ D t
2 .t > 0/; x D ˛t
2 � aˇ
t2 � a D r.t/; (8.36)
transforma la integral en
w
R
�
r.t/; .r.t/ � ˛/t
�
r 0.t/dt donde el integrando es una función
racional det .
� Si el trinomioax2C bxC c no tiene raíces reales, entonces debe serax2C bxC c > 0 para
todox2R, en particularc > 0. La sustitución:
p
ax2 C bx C c D tx C
p
c; x D b � 2t
p
c
t2 � a D g.t/; (8.37)
transforma la integral en
w
R
�
g.t/; tg.t/ C
p
c
�
g 0.t/dt donde el integrando es una función
racional det .
Las sustituciones anteriores se conocen comosustituciones de Euler.
8.59 Ejemplo. Calcula
w x
.7x � 10 � x2/3=2
dx . Observa que, siR.x;y/ D x
y3
, la integral
que nos piden es
r
R.x;
p
7x � 10 � x2/dx del tipo que acabamos de considerar.
Como7x � 10 � x2 D .x � 2/.5� x/, tenemos que
w x
.7x � 10 � x2/3=2
dx D
"
x D 5C 2t
2
1C t2
#
D� 6
27
w 5C 2t2
t2
dt D�2
9
�
�5
t
C 2t
�
dondet D .7x � 10 � x
2/1=2
x � 2 . �
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Integración por racionalización 448
8.60 Ejemplo.
w 1
.1C x/
p
1C x C x2
dx .
Haciendo la sustitución
p
1C x C x2 D x C t , es decirx D t
2 � 1
1� 2t tenemos:
w 1
.1C x/
p
1C x C x2
dx D
"
x D t
2 � 1
1� 2t
#
D
w 2
t2 � 2t dt D
w ��1
t
C 1
t � 2
�
dt D
D� log t C log jt � 2j:
Dondet D
p
1C x C x2 � x. �
También es posible transformar una integral del tipo
w
R.x;
p
ax2 C bx C c /dx en otra
de la forma
w
F.senx; cosx/dx dondeF es una función racional de dos variables las cuales
ya hemos estudiado. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.
� Con un primer cambio de variable, de la formax D ˛t C ˇ que después explicaremos, se
transforma la integral
w
R.x;
p
ax2 C bx C c /dx en otra de alguna de las formas:
a)
w
G.t;
p
t2 � 1/dt ; b)
w
G.t;
p
1 � t2/dt ; c)
w
G.t;
p
1C t2/dt
dondeG es una función racional de dos variables. Los cambios de variable respectivos
a) x D secu; b) x D senu; c) x D tgu
convierten las integrales anteriores en otras de la forma
w
F.senx; cosx/dx dondeF es una
función racional de dos variables.
Alternativamente, en el casoa)puede hacerse tambiénxDcoshu, y en el casoc) xDsenhu,
lo que transforma dichas integrales en otras del tipo
w
T .ex/dx dondeT es una función
racional de una variable, que ya han sido estudiadas.
Nos queda por explicar cómo se hace el primer cambio de variable.
� Si el trinomio h.x/ D ax2 C bx C c tiene dos raíces reales̨ < ˇ, lo que se hace es
transformar dicho trinomio en otro que tenga como raíces�1 y 1. Para ello llevamos�1 a˛ y
1 aˇ mediante una función de la forma'.t/D �t C�. Las condiciones'.�1/D ˛, '.1/Dˇ,
determinan que�D ˇ � ˛
2
, �D ˇ C ˛
2
. Con el cambio
x D '.t/D ˇ � ˛
2
t C ˇ C ˛
2
tenemos queh.'.t//D a.ˇ � ˛/
2
4
.t2 � 1/. Ahora, sia > 0, deducimos que:
w
R.x;
p
ax2 C bx C c /dx D Œx D '.t/�D
w
R
�
'.t/;
p
a
.ˇ � ˛/
2
p
t2 � 1
�
ˇ � ˛
2
dt
que es del tipoa) anterior. Sia < 0, entonces:
w
R.x;
p
ax2 C bx C c /dx D Œx D '.t/�D
w
R
�
'.t/;
p
�a.ˇ � ˛/
2
p
1 � t2
�
ˇ � ˛
2
dt
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Dpto. de Análisis Matemático
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Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Técnicas de cálculo de Primitivas
	Integración por racionalización
	Integrales binomias
	Integrales del tipo R(`39`42`"613A``45`47`"603Aex)dx
	Integración de funciones del tipo R(x,ax2+bx+c)