coeficientes indeterminados

Vista previa del material en texto

MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Y 
VARIACIÓN DE PARÁMETROS 
Instrucciones: Responde a lo que se pide en cada apartado. 
I. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de 
coeficientes indeterminados. 
1) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 
Ecuación Auxiliar = 𝑚2 + 2𝑚 + 1 = 0 
(𝑚 + 1)(𝑚 + 1) = 0 
𝑚1,2 = −1 
→ 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
−𝑥 
 
𝑦𝑝 = 𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sin 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 + 𝐷 sin 𝑥 
𝑦𝑝
′ = −𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 − 𝐶 sin 𝑥 + 𝐷 cos 𝑥 
𝑦𝑝
′′ = −𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥 − 𝐶 cos 𝑥 − 𝐷 sin 𝑥 
Sustitución 
→ −𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥 − 𝐶 cos 𝑥 − 𝐷 sin 𝑥 − 2𝐴 sin 𝑥 + 2𝐵 cos 𝑥 − 2𝐶 sin 𝑥 + 2𝐷 cos 𝑥 +
𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sin 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 + 𝐷 sin 𝑥 = sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 
→ −2𝐴 sin 𝑥 + 2𝐵 cos 𝑥 − 2𝐶 sin 𝑥 + 2𝐷 cos 𝑥 = sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 
→ (−2𝐴 − 2𝐶) sin 𝑥 + (2𝐵 + 2𝐷) cos 𝑥 = sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 
→ −2(𝐴 + 𝐶) sin 𝑥 + 2(𝐵 + 𝐷) cos 𝑥 = sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 
→ −2(𝐴 + 𝐶) = 1 → 𝐴 + 𝐶 = −
1
2
 
→ 2(𝐵 + 𝐷) = 3 → 𝐵 + 𝐷 =
3
2
 
 → 𝒚𝒑 = −
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝒙 +
𝟑
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 
 
 
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
−𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆
−𝒙 −
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝒙 +
𝟑
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 
 
2) 5𝑦′′ + 𝑦′ = −6, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = −10 
Ecuación Auxiliar = 5𝑚2 + 𝑚 = 0 
−1±√12−4(5)(0)
2(5)
 → 
−1±1
10
 
𝑚1 = 0 
𝑚2 = −
2
10
= −
1
5
 
→ 𝑦𝑐 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒
−
1
5
𝑥
 
 
𝑦𝑝 = 𝐴 
𝑦𝑝
′ = 0 
𝑦𝑝
′′ = 0 
 
Sustitución 
→ 5(0) + (0) = −6 → 𝒚𝒑 = −𝟔𝒙 
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆
−
𝟏
𝟓
𝒙 − 𝟔𝒙 
Problema De Valor Inicial 
→ 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒
−
1
5
𝑥 − 6𝑥 
→ 𝑦′ = −
1
5
𝐶2𝑒
−
1
5
𝑥 − 6 
Sustitución 
𝑦 = 0, 𝑥 = 0 
→ 0 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒
−
1
5
0 − 6(0) 
→ 0 = 𝐶1 + 𝐶2 → 𝐶1 = −𝐶2 
𝑦′ = −10, 𝑥 = 0 
→ −10 = −
1
5
𝐶2𝑒
−
1
5
(0) − 6 
 → −10 = −
1
5
𝐶2 − 6 
→ −4 = −
1
5
𝐶2 
→ −4 = −
1
5
𝐶2 
→ 𝐶2 = 20 
𝒚 = −𝟐𝟎 + 𝟐𝟎𝒆−
𝟏
𝟓
𝒙 − 𝟔𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
3) 𝑦(4) + 2𝑦′′ + 𝑦 = (𝑥 − 1)2 
Ecuación Auxiliar = 𝑚4 + 2𝑚2 + 1 = 0 
𝑢 = 𝑚2 → 𝑢2 + 2𝑢 + 1 = 0 
→ 𝑢2 + 2𝑢 + 1 → (𝑢 + 1)(𝑢 + 1) → (𝑚2 + 1)(𝑚2 + 1) 
→ 𝑚2 + 1 = 0 → 𝑚2 = −1 → 𝑚 = ±√−1 
 → 𝑚1 = √−1 = 𝑖, 𝑚2 = −√−1 = −𝑖 𝑚3 = √−1 = 𝑖, 𝑚4 = −√−1 = −𝑖 
→ 𝑦𝑐 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 + 𝐶3𝑥 cos 𝑥 + 𝐶4𝑥 sin 𝑥 
 
→ (𝑥 − 1)2 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
𝑦𝑝 = 𝐴𝑥
2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
𝑦𝑝
′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵 
𝑦𝑝
′′ = 2𝐴 
𝑦𝑝
′′′ = 0 
𝑦𝑝
(4)
= 0 
Sustitución 
→ 0 + 2(2𝐴) + 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
→ 0 + 4𝐴 + 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
𝐴 = 1 
𝐵 = −2 
4𝐴 + 𝐶 = 1 → 𝐶 = −3 
→ 𝒚𝒑 = 𝒙
𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 
𝒚 = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪𝟒𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒙
𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 
II. Determina la solución particular de las siguientes ecuaciones 
diferenciales por el método de variación de parámetros. 
1) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒−𝑡 ln 𝑡 
Ecuación Auxiliar = 𝑚2 + 2𝑚 + 1 = 0 
(𝑚 + 1)(𝑚 + 1) = 0 
𝑚1,2 = −1 
→ 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒
−𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒
−𝑡 
 
Wroskiano 
𝑤(𝑦1,𝑦2) = [
𝑒−𝑡 𝑡𝑒−𝑡
−𝑒−𝑡 𝑒−𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡
] = 𝑒−2𝑡 − 𝑡𝑒−2𝑡 + 𝑡𝑒−2𝑡 = 𝑒−2𝑡 
𝑤1 = [
0 𝑡𝑒−𝑡
𝑒−𝑡 ln 𝑡 𝑒−𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡
] = 𝑡𝑒−2𝑡 ln 𝑡 
𝑤2 = [
𝑒−𝑡 0
−𝑒−𝑡 𝑒−𝑡 ln 𝑡 
] = 𝑒−2𝑡 ln 𝑡 
 
𝑈1
′ =
𝑡𝑒−2𝑡 ln 𝑡 
𝑒−2𝑡
= 𝑡 ln 𝑡 
𝑈2
′ =
𝑒−2𝑡 ln 𝑡
𝑒−2𝑡
= ln 𝑡 
 
𝑈1 = ∫ 𝑡 ln 𝑡 → 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
𝑢 = ln 𝑡 → 𝑑𝑢 =
1
𝑡
𝑑𝑡 
𝑑𝑣 = 𝑡 → 𝑣 =
𝑡2
2
 
𝑈1 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 → (ln 𝑡) (
𝑡2
2
) − ∫ (
𝑡2
2
) (
1
𝑡
) 𝑑𝑡 
→
1
2
𝑡2 ln 𝑡 −
1
2
∫ 𝑡 𝑑𝑡 → 
1
2
𝑡2 ln 𝑡 −
1
2
(
𝑡2
2
) → − (
1
2
𝑡2 ln 𝑡 −
1
4
𝑡2 ) 
𝑈1 = −
1
2
𝑡2 ln 𝑡 +
1
4
𝑡2 
 
𝑈2 = ∫ ln 𝑡 → 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 
 𝑢 = ln 𝑡 → 𝑑𝑢 =
1
𝑡
𝑑𝑡 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 → 𝑣 = 𝑡 
𝑈1 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 → (ln 𝑡)(𝑡) − ∫(𝑡) (
1
𝑡
) 𝑑𝑡 → 𝑡 ln 𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 
𝑈2 = 𝑡 ln 𝑡 − 𝑡 
 
𝑦𝑝 = 𝑈1𝑦1 + 𝑈2𝑦2 
→ 𝑦𝑝 = (−
1
2
𝑡2 ln 𝑡 +
1
4
𝑡2) (𝑒−𝑡) + (𝑡 ln 𝑡 − 𝑡)(𝑡𝑒−𝑡) 
→ 𝑦𝑝 = −
1
2
𝑡2𝑒−𝑡 ln 𝑡 +
1
4
𝑒−𝑡𝑡2 + 𝑡2𝑒−𝑡 ln 𝑡 − 𝑡2𝑒−𝑡 
→ 𝒚𝒑 =
𝟏
𝟐
𝒕𝟐𝒆−𝒕 𝐥𝐧 𝒕 −
𝟑
𝟒
𝒆−𝒕𝒕𝟐 
 
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
−𝒕 + 𝑪𝟐𝒕𝒆
−𝒕 + 
𝟏
𝟐
𝒕𝟐𝒆−𝒕 𝐥𝐧 𝒕 −
𝟑
𝟒
𝒆−𝒕𝒕𝟐 
 
 
2) 4𝑦′′ − 4𝑦′ + 𝑦 = 𝑒
𝑥
2√1 − 𝑥2 
Ecuación Auxiliar = 4𝑚2 − 4𝑚 + 1 = 0 
4±√42−4(4)(1)
2(4)
 → 
4±√16−16
8
 → 
4
8
 
𝑚1,2 =
1
2
 
→ 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒
𝑥
2 + 𝐶2𝑥𝑒
𝑥
2 
 
Wroskiano 
𝑤(𝑦1,𝑦2) = [
𝑒
𝑥
2 𝑥𝑒
𝑥
2
1
2
𝑒
𝑥
2 𝑒
𝑥
2 +
1
2
𝑥𝑒
𝑥
2
] = 𝑒𝑥 +
1
2
𝑥𝑒𝑥 −
1
2
𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 
Forma Estándar: 
→ (4𝑦′′ − 4𝑦′ + 𝑦 = 𝑒
𝑥
2√1 − 𝑥2) (
1
4
) = 𝑦′′ − 𝑦′ +
𝑦
4
=
(𝑒
𝑥
2√1 − 𝑥2)
4
 
 
𝑤1 = [
0 𝑥𝑒
𝑥
2
(𝑒
𝑥
2√1−𝑥2)
4
𝑒
𝑥
2 +
1
2
𝑥𝑒
𝑥
2
] =
−(𝑥𝑒𝑥√1−𝑥2)
4
 
𝑤2 = [
𝑒
𝑥
2 0
1
2
𝑒
𝑥
2
(𝑒
𝑥
2√1−𝑥2)
4
] =
(𝑒𝑥√1−𝑥2)
4
 
 
𝑈1
′ =
−(𝑥𝑒𝑥√1−𝑥2)
4
𝑒𝑥
=
−𝑥√1−𝑥2
4
 
𝑈2
′ =
(𝑒𝑥√1−𝑥2)
4
 
𝑒𝑥
=
√1−𝑥2
4
 
 
𝑈1 = −
1
4
∫ 𝑥√1 − 𝑥2 → 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
𝑢 = 1 − 𝑥2 
𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥 
−
𝑑𝑢
2
= 𝑥 𝑑𝑥 
𝑈1 = −
1
4
∗ −
1
2
∫ √𝑢𝑑𝑢 → 
1
8
∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢 →
1
8
(
𝑢
3
2
3
2
) →
1
2
𝑢
3
2 =
1
12
(1 − 𝑥2)
3
2 
𝑈2 =
1
4
∫ √1 − 𝑥2 → 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 
→ ∫ √𝑎2 − 𝑥2 =
𝑥
2
√𝑎2 − 𝑥2 +
𝑎2
2
sin−1
𝑥
𝑎
 
→ ∫ √1 − 𝑥2 =
𝑥
2
√1 − 𝑥2 +
1
2
sin−1
𝑥
1
 
→
1
4
[
𝑥
2
√1 − 𝑥2 +
1
2
sin−1 𝑥] =
1
8
𝑥√1 − 𝑥2 +
1
8
sin−1 𝑥 
𝑦𝑝 = (
1
12
(1 − 𝑥2)
3
2) (𝑒
𝑥
2) + (
1
8
𝑥√1 − 𝑥2 +
1
8
sin−1 𝑥) (𝑥𝑒
𝑥
2) 
→ 𝒚𝒑 =
𝟏
𝟏𝟐
𝒆
𝒙
𝟐(𝟏 − 𝒙𝟐)
𝟑
𝟐 +
𝟏
𝟖
𝒙𝟐𝒆
𝒙
𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐 +
𝟏
𝟖
𝒙𝒆
𝒙
𝟐 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙 
 
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
𝒙
𝟐 + 𝑪𝟐𝒙𝒆
𝒙
𝟐 + 
𝟏
𝟏𝟐
𝒆
𝒙
𝟐(𝟏 − 𝒙𝟐)
𝟑
𝟐 +
𝟏
𝟖
𝒙𝟐𝒆
𝒙
𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐 +
𝟏
𝟖
𝒙𝒆
𝒙
𝟐 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙 
 
 
3) 𝑦′′ + 𝑦 = sec 𝜃 tan 𝜃 
Ecuación Auxiliar = 𝑚2 + 1 = 0 
→ 𝑚2 + 1 = 0 → 𝑚2 = −1 → 𝑚 = ±√−1 
 → 𝑚1 = √−1 = 𝑖, 𝑚2 = −√−1 = −𝑖 
→ 𝑦𝑐 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 
 
Wroskiano 
𝑤(𝑦1,𝑦2) = [
cos 𝑥 sin 𝑥
− sin 𝑥 cos 𝑥
] = cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 
 
𝑤1 = [
0 sin 𝜃
sec 𝜃 tan 𝜃 cos 𝜃
] = − sin 𝜃 sec 𝜃 tan 𝜃 = − sin 𝜃
1
cos 𝜃
 
sin 𝜃
cos 𝜃
 → −
sin2 𝜃
cos2 𝜃
 
→ −
1−cos2 𝜃
cos2 𝜃
 → −
1
cos2 𝜃
+
cos2 𝜃
cos2 𝜃
 = − 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 + 𝟏 ← 𝑼𝟏
′ 
 
𝑤2 = [
cos 𝜃 0
− sin 𝜃 sec 𝜃 tan 𝜃
] = cos 𝜃 sec 𝜃 tan 𝜃 = cos 𝜃
1
cos 𝜃
tan 𝜃 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽 ← 𝑼𝟐
′ 
𝑈1 = − ∫ − sec
2 𝜃 + ∫ 𝑑𝜃 → − tan 𝜃 + 𝜃 
𝑈2 = ∫ tan 𝜃 → ln sec 𝜃 
𝑦𝑝 = (− tan 𝜃 + 𝜃)(cos 𝜃) + (ln sec 𝜃)(sin 𝜃) 
→ 𝑦𝑝 = − cos 𝜃 tan 𝜃 + 𝜃 cos 𝜃 + sin 𝜃 ln sec 𝜃 
→ 𝑦𝑝 = − cos 𝜃
sin 𝜃
cos 𝜃
+ 𝜃 cos 𝜃 + sin 𝜃 ln sec 𝜃 
→ 𝑦𝑝 = − sin 𝜃 + 𝜃 cos 𝜃 + sin 𝜃 ln sec 𝜃 
→ 𝒚𝒑 = 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐥𝐧 𝐬𝐞𝐜 𝜽 
𝒚 = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐥𝐧 𝐬𝐞𝐜 𝜽