S06 s1 - ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR - NO HOMOGENEAS

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE 
ORDEN SUPERIOR 
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS 
CON COEFICIENTES CONSTANTES
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante identifica y resuelve 
ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden 
superior.”
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INTEDERMINADOS
Ecuaciones 
diferenciales 
lineales no 
homogéneas de 
orden superior
Método: 
Coeficientes 
indeterminados
1¿Qué es una ecuación diferencial 
lineal de orden superior no 
homogénea?
Es una igualdad de la forma:
Donde “𝑛” es el orden de la ecuación diferencial. Si 𝑔 𝑥 ≠ 0, 
la ecuación diferencial lineal de orden superior se denomina 
no homogénea.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS 
𝛼𝑛 𝑥
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝛼𝑛−1 𝑥
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+∙∙∙ +𝛼1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
ECUACIONES DIFERENCIALES: DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS
¿Cuál es su utilidad?
Las Ecuaciones diferenciales son muy útiles en ciencias como la Física, Química, Ingenierías, Biología y más.
✓ Problemas de V.F. y pandeo de vigas.
✓ Mecánica y Electricidad.
✓ Oscilaciones libres amortiguadas y no-amortiguadas
Entre otras.
¿Cómo es la solución?
La solución para este tipo de ecuaciones es de la 
forma:
Donde 𝑦𝑐 es la solución de la siguiente ecuación 
asociada:
y 𝑦𝑝 ∶ Solución particular.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR - COEFICIENTES 
𝒚 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑
𝜶𝒏 𝒙
𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒙𝒏
+ 𝜶𝒏−𝟏 𝒙
𝒅𝒏−𝟏𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟏
+∙∙∙ +𝜶𝟏 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR - COEFICIENTES INDETERMINADOS 
2 MÉTODO DE COEFICIENTES 
INDETERMINADOS.
Se utiliza para encontrar 𝑦𝑝(solución 
particular), cuando la función 𝑔(𝑥) es una 
función constante 𝑘, una función polinomial, 
una función exponencial 𝑒𝑥, una función 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 , cos 𝑥 o sumas finitas y productos de 
estas funciones.
Datos/Observaciones
PASOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN
1. Resolver la ecuación homogénea asociada. Es decir 
hallar 𝑦𝑐 .
2. Suponemos que 𝑦𝑝 es de la misma naturaleza que 
𝑔 𝑥 , pero los coeficientes indeterminados los hallamos 
después.
3. Como 𝑦𝑝 es solución de la ecuación diferencial, entonces 
debe satisfacerla. Así podemos encontrar los coeficientes 
de 𝑦𝑝.
FORMA DE LOS COEFICIENTES 
INDETERMINADOS.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS
𝒈(𝒙) 𝒚𝒑
Función constante 𝑨
Función lineal 𝑨𝒙 + 𝑩
Función cuadrática 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪
Polinomio de grado "𝑛" 𝑨𝒏𝒙
𝒏 + 𝑨𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 +⋯+ 𝑨𝟏𝒙 + 𝑨𝟎
Función seno y/o coseno 𝑨𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 + 𝑩𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙)
Función exponencial 𝑒𝑘𝑥 𝑨𝒆𝒌𝒙
𝑺𝒊 𝒈 𝒙 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 .
¿Porque 𝒚𝒑 tiene la 
forma de:
𝑨𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝑩𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)?
Observación:
• Si 𝑔 𝑥 esta formada por un producto de los casos 
anteriores, entonces 𝑦𝑝 también será el producto de las 
funciones de los mismos tipos.
• Si alguna 𝑦𝑝𝑖 contiene términos que duplican los 
términos de 𝑦𝑐 , entonces a esa 𝑦𝑝𝑖 se le debe 
multiplicar por 𝑥𝑛 donde 𝑛 es el menor entero positivo 
que elimina esa duplicación.
• El método de coeficientes indeterminados no funciona 
cuando 𝑔 𝑥 tiene la forma:
𝐥𝐧 𝒙 ,
𝟏
𝒙
, 𝒔𝒆𝒏−𝟏 𝒙 , 𝐭𝐠 𝒙 , 𝒆𝒕𝒄
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS.
¿Existirá la solución 
cuando 𝐠 tiene la 
ultima forma ?
Ejemplo 1. Resolver: 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝟓𝒚 = 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS.
• PASO 1: Solución de la ecuación homogénea 
asociada.
𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝟓𝒚 =0 
Hallemos las raíces de la ecuación auxiliar.
𝒎𝟐−𝟐𝒎+ 𝟓 = 𝟎 ⇒ 𝒎 = 𝟏 ± 𝟐𝒊
Luego, la solución de la ecuación diferencial homogénea 
será:
𝒚𝒄 = 𝒆
𝒙(𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙))
• PASO 2. Uso de coeficientes indeterminados para 
hallar 𝑦𝑝.
Como 𝒈 𝒙 = 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓, entonces podemos suponer:
𝒚𝒑 = 𝑨𝒙
𝟐 +𝑩𝒙 + 𝑪
Además, como 𝑦𝑝 satisface la ecuación diferencial, se tiene:
Hallemos las derivadas:
𝒚𝒑
′ = 𝟐𝑨𝒙 + 𝑩 ∧ 𝒚𝒑
′′ = 𝟐𝑨
𝒚𝒑
′′ − 𝟐𝒚𝒑
′ + 𝟓𝒚𝒑 = 𝟓𝒙
𝟐 + 𝒙 + 𝟓
Reemplazando en la ecuación obtenemos:
𝟐𝑨 − 𝟐 𝟐𝑨𝒙 + 𝑩 + 𝟓 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 = 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓
Así,
𝟓𝑨𝒙𝟐 + 𝟓𝑩 − 𝟒𝑨 𝒙 + 𝟐𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟓𝑪 = 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓
Igualando obtenemos:
ቊ
𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝟓𝑩 − 𝟒 = 𝟏 ⇒ 𝑩 = 𝟏
𝟓𝑪 = 𝟓 ⇒ 𝑪 = 𝟏
Por lo tanto la solución general será:
𝒚 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑 = 𝒆
𝒙(𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙))+𝒙
𝟐 + 𝒙 + 𝟏
EJEMPLO 2. Resolver 𝒚′′ − 𝟒𝒚 = 𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙)
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS.
• PASO 1: Hallar la solución de la ecuación 
homogénea asociada.
𝒚′′ − 𝟒𝒚 = 𝟎
Hallemos las raíces de la ecuación auxiliar.
𝒎𝟐 − 𝟒 = 𝟎 ⇒ 𝒎 = ±𝟐
Luego, 𝒚𝒄 = 𝑪𝟏𝒆
𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
−𝟐𝒙
• PASO 2: Método de Coeficientes indeterminados 
para hallar 𝒚𝒑.
Suponemos que 𝒚𝒑 tiene misma naturaleza que 
𝒈 𝒙 = 𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙) entonces tiene la forma:
𝒚𝒑 = 𝑨𝒆
𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑩𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙)
Luego como 𝑦𝑝 satisface la ecuación diferencial 
obtenemos:
𝒚𝒑
′′ − 𝟒𝒚𝒑 = 𝒆
𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 (𝟏)
Hallemos 𝒚𝒑
′′
𝑦𝑝
′ = 2𝐴𝑒2𝑥 cos 𝑥 − 𝐴𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝐵𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵𝑒2𝑥
= 𝐴𝑒2𝑥 2 cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵𝑒2𝑥(2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑥))
𝑦𝑝
′′ = 2𝐴𝑒2𝑥 2 cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐴𝑒2𝑥(−2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos(𝑥))
+2𝐵𝑒2𝑥 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐵𝑒2𝑥(2 cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥))
= 𝑒2𝑥 cos 𝑥 4𝐴 − 𝐴 + 2𝐵 + 2𝐵 + 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)(−4𝐴 + 4𝐵 − 𝐵)
Luego , debe satisfacer la ecuación (1).
𝒚𝒑
′′ − 𝟒𝒚𝒑 = 3𝐴 + 4𝐵 𝑒
2𝑥 cos 𝑥 + 3𝐵 − 4𝐴 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥
− 4𝐴𝑒2𝑥cos x − 4B𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Así, 𝟒𝑩 − 𝑨 𝒆𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + −𝑩 − 𝟒𝑨 𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙)
ቊ
4𝐵 − 𝐴 = 0
−𝐵 − 4𝐴 = 1
4𝐹2 ൜
4𝐵 − 𝐴 = 0
−4𝐵 − 16𝐴 = 4
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑨 = −
𝟒
𝟏𝟕
∧ 𝑩 = −
𝟏
𝟏𝟕
𝒚 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏𝒆
𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
−𝟐𝒙 −
𝟒
𝟏𝟕
𝒆𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 −
𝟏
𝟏𝟕
𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙)
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar la 
naturaleza de la 
parte no 
homogénea de la 
ecuación(𝑔(𝑥)).
2. Suponer 𝑦𝑝 a partir 
de 𝑔(𝑥).
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de las 
ecuaciones 
diferenciales.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS.
EJERCICIOS ADICIONALES
1. RESOLVER: 𝒚′′ + 𝟔𝒚′ + 𝟏𝟎𝒚 = 𝒙𝒆𝒙
SOLUCIÓN.
Primero resolvemos la homogénea. 𝒓𝟐 + 𝟔𝒓 + 𝟏𝟎 = 𝟎, entonces 𝒓 = −𝟑 ± 𝒊, luego la 
solución será:
𝒚𝒄 = 𝒆
−𝟑𝒙(𝑪𝟏𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙))
Suponemos la solución particular que es de la forma: 𝒚𝒑 = 𝑨𝒙 + 𝑩 𝒆
𝒙. Como 𝑦𝑝 es 
solución debe satisfacer la ecuación diferencial.
• 𝑦𝑝
′ = 𝐴𝑒𝑥 + 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒𝑥 = Ax𝑒𝑥 + (𝐴 + 𝐵)𝑒𝑥
• 𝑦𝑝
′′ = 𝐴𝑒𝑥 + 𝐴 + 𝐵 𝑒𝑥 + 𝐴𝑥𝑒𝑥 = 2𝐴 + 𝐵 𝑒𝑥 + 𝐴𝑥𝑒𝑥
Reemplazamos en la ecuación:
2𝐴 + 𝐵 𝑒𝑥 + 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 6 Ax𝑒𝑥 + (𝐴 + 𝐵)𝑒𝑥 + 10 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥
Factorizando obtenemos:
𝑥𝑒𝑥 𝐴 + 6𝐴 + 10𝐴 + 𝑒𝑥 2𝐴 + 𝐵 + 6𝐴 + 6𝐵 + 10𝐵 = 𝑥𝑒𝑥
RPTA: 𝒚 = 𝒆−𝟑𝒙 𝑪𝟏𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 + (
𝟏
𝟏𝟕
𝒙 −
𝟖
𝟐𝟖𝟗
)𝒆𝒙
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR – COEFICIENTES INDETERMINADOS.
EJERCICIOS ADICIONALES
2. RESOLVER. 𝒚′′ + 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒚 𝟎 = 𝟐; 𝒚′ 𝟎 = 𝟐
SOLUCIÓN.
• Resolvemos la ecuación diferencial cuando 𝑔 𝑥 = 0.
𝒓𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒓 = ±𝒊
• Por tanto 𝒚𝒄 = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙)
• Aplicamos coeficientes indeterminados y suponemos la solución particular.
𝒚𝒑 = 𝑨𝒙
𝟐 +𝑩𝒙 + 𝑪
• Luego, como 𝑦𝑝 satisface la ecuación podemos hallar los valores de A,B y C.
• 𝑦𝑝
′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵
• 𝑦𝑝
′′ = 2𝐴
2𝐴 + 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑥2 + 2 ⇒ 𝐴 = 1; 𝐵 = 0; 𝐶 = 0
• 𝒚 𝒙 = 𝒚 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 +𝑪𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒙
𝟐
• 𝒚′ 𝒙 = 𝒚′ = −𝑪𝟏𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟐𝒙
• ቊ
2 = 𝑦 0 = 𝐶1
2 = 𝑦′ 0 = 𝐶2
𝑹𝑷𝑻𝑨:𝒚 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒙𝟐
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Resolver : 𝒚′′ + 𝒚 − 𝟐𝒚 = 𝒙𝒆𝒙
EJERCICIO RETO
RESPUESTA: 𝐶𝑒−2𝑥 + 𝐷𝑒𝑥 + 𝑒𝑥(
𝑥2
6
−
𝑥
9
)
Datos/Observaciones