Formula Metodo punto fijo

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Método De Punto Fijo 
Sea la ecuación general: 
𝑓(𝑥) = 0 
De la cual se desea encontrar una raíz real ∗∗ �̌� 
El primer paso consiste en transformar algebraicamente la ecuación a la forma 
equivalente: 
𝑥 = 𝑔(𝑥) 
Por ejemplo, para la ecuación: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 5 = 0 
Cuyas raíces son: 1.850781059 y −1.350781059, algunas posibilidades de 𝑥 =
𝑔(𝑥) son: 
a) 𝑥 = 2𝑥2 − 5 “Despejando” el segundo término. 
b) 𝑥 = √
𝑥+5
2
 “Despejando” x del primer término. 
c) 𝑥 =
5
2𝑥−1
 Factorizando x y “despejándola” 
d) 𝑥 = 2𝑥2 − 5 Sumando x a cada lado. 
Una vez que se tiene 𝑥, se evalúa 𝑔(𝑥) en 𝑥0, denotándose el resultado de esta 
evaluación como 𝑥1; esto es: 
𝑔(𝑥0) = 𝑥1 
El valor de 𝑥1 comparado con 𝑥0 presenta los dos siguientes casos: 
Caso 1: Que 𝑥1 = 𝑥0 
Esto indica que se ha elegido como valor inicial una raíz y que el problema queda 
concluido. 
Caso 2. Que 𝑥1 ≠ 𝑥0 
Valor inicial: 𝑥0 𝑓(𝑥0) 
Sustituimos con nuestro valor inicial en nuestro despeje para obtener nuestra 
primera iteración: 
Primera iteración: 𝑥1 = 𝑔(𝑥0) 𝑓(𝑥1) 
El resultado será nuestro nuevo valor en nuestras siguientes iteraciones: 
Segunda iteración: 𝑥2 = 𝑔(𝑥1) 𝑓(𝑥2) 
Tercera iteración: 𝑥3 = 𝑔(𝑥2) 𝑓(𝑥3) 
. . . 
. . . 
. . . 
i-esima iteración: 𝑥𝑖 = 𝑔(𝑥𝑖 − 1) 𝑓(𝑥𝑖) 
i+1-esima iteración: 𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖) 𝑓(𝑥𝑖+1) 
Sabremos que llegamos a nuestra raíz cuando 𝑥𝑖 = 𝑔(𝑥𝑖). 
 
 
EJEMPLO: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 5 = 0 
 
 
 
 
 
 
Puede apreciarse que la sucesión diverge con la 𝑔(𝑥) del inciso a), y converge a la 
raíz 1.850781059 con la 𝑔(𝑥) del inciso b) 
 
Criterio De Convergencia 
El criterio |g’(x)|<1 
Es importante analizar por qué algunas formas equivalentes 𝑥 = 𝑔(𝑥) de 𝑓(𝑥) = 0 
conducen a una raíz en el método de punto fijo y otras no, aun empleando el 
mismo valor inicial en ambos casos. 
Un método practico de emplear este resultado es obtener distintas formas 𝑥 =
 𝑔(𝑥) de 𝑓(𝑥) = 0, y calcular |𝑔’(𝑥)|; las que satisfagan el criterio |𝑔’(𝑥0)| < 1, 
prometerán convergencia al aplicar el proceso. 
 
 
𝑖 𝑥𝑖 𝑔(𝑥𝑖) 
0 2.00000 1.87083 
1 1.87083 1.85349 
2 1.85349 1.85115 
3 1.85115 1.85083 
𝑖 𝑥𝑖 𝑔(𝑥𝑖) 
0 2 3 
1 3 13 
2 13 333 
3 333 221773 
a) 𝑥0 = 2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥
2 − 5 b) 𝑥0 = 2; 𝑔(𝑥) = √
𝑥+5
2
 
DIVERGE CONVERGE 
 
Cuatro casos posibles de convergencia y divergencia en la iteración 𝑥 = 𝑔(𝑥). 
 
EJEMPLO: 
Encuentre una aproximación a una raíz real de la ecuación: 
cos(𝑥) − 3𝑥 = 0 
Solución 
Dos posibilidades de g(x)=x son: 
a) 𝑥 = cos (𝑥) − 2𝑥 
b) b) 𝑥 = cos(𝑥) /3 
De donde un valor cercano a �̌� es 𝑥0 = (
𝜋
2
)/4Iterando se obtiene para la forma del 
inciso a). 
a) Convergencia Monotónica b) Convergencia Oscilatoria 
c) Divergencia Monotónica d) Divergencia Oscilatoria 
𝑖 𝑥𝑖 𝑔(𝑥𝑖) |𝑓(𝑥𝑖)| 
0 𝜋/8 0.13848 0.25422 
1 0.13848 0.71346 0.57498 
2 0.71346 −0.67083 1.38429 
3 −0.67083 2.12496 2.79579 
4 2.12496 −4.77616 6.90113 
 
Se inicia un nuevo proceso con 𝑥0 =
𝜋
2
4
 y la forma equivalente del inciso b) 
𝑖 𝑥𝑖 𝑔(𝑥𝑖) |𝑓(𝑥𝑖)| 
0 𝜋/8 0.30796 0.25422 
1 0.30796 0.31765 0.02907 
2 0.31765 0.31666 0.00298 
3 0.31666 0.31676 0.00031 
4 0.31676 0.31675 0.00003 
 
Y la aproximación de la raíz es: 
�̌� = 𝑥4 = 0.31675 
Verificando criterio de convergencia: 
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥 = 0 
a) 𝑥 = cos(𝑥) − 2𝑥 
𝑔1(𝑥) = cos(𝑥) − 2𝑥 
𝑑𝑔1(𝑥)
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 
𝑔1(𝜋/8) = −2.38268 = 2.38268 → 𝑁𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 
 
b) 𝑥 =
cos (𝑥)
3
 
𝑔2(𝑥) =
cos (𝑥)
3
 
𝑑𝑔2(𝑥)
𝑑𝑥
=
−1
3
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑔(𝑥𝑖) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥 
𝑓(𝑥𝑖) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥 
 
𝑓(𝑥𝑖) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥 
𝑔(𝑥𝑖) =
𝑐𝑜𝑠𝑥
3
 
𝑔2(𝜋/8) = −0.12756 = 0.12756 → 𝑆𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 
EJEMPLO: 
Calcule la raíz real de la ecuación 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 = 0 𝑥0 = 1 
1) 𝑥 + 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 = 𝑥 + 0 
𝑥3 + 2𝑥2 + 11𝑥 − 20 = 0 
𝑔1(𝑥) = 𝑥
3 + 2𝑥2 + 11𝑥 − 20 
𝑔1′(𝑥) = 3𝑥
2 + 4𝑥 + 11 
𝑔1′(1) = 3(1)
2 + 4(1) + 11 
= 3 + 4 + 11 
= 18 
𝑔1
′(1) ≮ 1 → 18 ≮ 1 
 
 
2) 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 = 20 
𝑥(𝑥2 + 2𝑥 + 10) = 20 
𝑥 =
20
(𝑥2 + 2𝑥 + 10)
 
𝑔2(𝑥) =
20
(𝑥2 + 2𝑥 + 10)
 
𝑔2′(𝑥) = 20(𝑥
2 + 2𝑥 + 10)−1 
= −20(𝑥2 + 2𝑥 + 10)−2(2𝑥 + 2) 
=
−20(2𝑥 + 2)
(𝑥2 + 2𝑥 + 10)2
 
𝑔2
′(𝑥) = |−0.47| < 1 
 
 
Raíz es igual a 1.36881 
 
 𝑖 𝑥𝑖 𝑔(𝑥𝑖) 
0 1 1.53846 
1 1.53846 1.29502 
2 1.29502 1.29502 
3 1.29502 1.40183 
4 1.40183 1.37530 
5 1.37530 1.36593 
6 1.36593 1.37009 
7 1.37009 1.36824 
8 1.36824 1.36903 
9 1.36903 1.36870 
10 1.36870 1.36886 
11 1.36886 1.36879 
12 1.36879 1.36882 
13 1.36882 1.36880 
14 1.36880 1.36881 
15 1.36881 1.36881 
𝑔(𝑥) =
20
(𝑥2 + 2𝑥 + 10)
 
𝑔(1) =
20
(12 + 2(1) + 10)
 
𝑔(1.53846) =
20
(1.538462 + 2(1.53846) + 10)
 
 
 
𝑥 = 𝑔(𝑥) → Punto fijo 
Raíz es 𝟏. 𝟑𝟔𝟖𝟖𝟏