glosario matemático

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Ecuaciones de 2º grado con una incógnita: una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación    x − 1 = 0. El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a y b son los coeficientes de los términos  x2  y  x respectivamente y  c  es el término independiente.
La fórmula para resolver una ecuación de 2do grado es:
Ejemplo: Resolver la ecuación 2X2 – 8 = 0 
Se identifican los valores de a, b y c.
a = 2; b = 0; c = – 8
Se introducen estos valores en la fórmula:
 
Las raíces de la ecuación 2X2 – 8 = 0, son X = 2 y X = – 2, porque ambos valores satisfacen esta ecuación.
Resolución de ecuaciones de 2º grado: una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde  a,  b  y  c  son números distintos de cero.
 Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:
Esta fórmula se obtiene a través de las siguientes transformaciones de la ecuación de partida ax2 + bx + c = 0.
1. Se resta  c  en los dos miembros de la ecuación:
ax2 + bx = -c
2. Se multiplican los dos miembros de la ecuación por  4a (se puede hacer puesto que  a¹ 0):
4a(ax2 + bx) = 4a(-c)     4a2x2 + 4abx = -4ac
3. Se suma  b2  en los dos miembros de la ecuación:
4a2x2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
4. En el primer miembro figura el cuadrado del binomio  2ax + b,  ya que  (2ax+b)2 = 4a2x2 + 4axb + b2.  Por lo que se puede escribir:   
(2ax + b)2 = -4ac + b2
5. Extrayendo en los dos miembros la raíz cuadrada, resulta: 
6. Despejando  x,  se llega a la fórmula anunciada:
Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente.
De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x1  y  x2,  dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz:
 Discriminante de una ecuación de 2º grado: se denomina discriminante de una ecuación de segundo grado con una incógnita, al número representado por la letra griega mayúscula ∆ y se define de la siguiente manera: 
∆ = b 2 - 4ac
Así,
Si ∆ ≥ 0
 
Si ∆ ˃ 0
 
• Es número cuadrado perfecto, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales (racionales) distintas.
• No es número cuadrado perfecto, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales (irracionales) distintas.
Si ∆ = 0
 
• La ecuación tiene dos soluciones reales iguales o sea una solución real repetida o de multiplicidad dos.
{La ecuación no tiene soluciones reales}.
Si ∆ < 0
 
Ejemplo:
Obtenga el discriminante de la ecuación 6x - 2x2 + 1 = 0
Primero ordenamos la ecuación en forma descendente con respecto a x.
-2x2 + 6x + 1 = 0
Segundo determinamos los valores de a, b y c.
 a = -2 b = 6 c = 1
Tercero obtenemos el valor del discriminante.
 ∆ = b 2 - 4ac ∆ = (6)2 – 4(-2)(1) = 44
Sistemas de dos ecuaciones: hay varios métodos para resolver este tipo de sistemas:
Método de sustitución
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
 
Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: 
Resolvemos la ecuación obtenida:
Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
Solución: 
Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
Se resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
Igualamos ambas expresiones:
Resolvemos la ecuación:
 
Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
 Solución: 
Método de reducción
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
 
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución: 
Guía de ejercicios:
1. Halla las raíces de las ecuaciones de 2° grado:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Analiza el discriminante de las siguientes ecuaciones y determina la naturaleza de las soluciones:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales:
a) 
b) 
 
c) 
 
Teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras indica que un triángulo es rectángulo si y solo si el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos .
La aplicación de este teorema permite resolver ejercicios que involucran triángulos rectángulos y las medidas de sus lados.
Ejemplo:
1. Se tienen los lados de un Triángulo Rectángulo a = X cm. y 
Aplicamos la Fórmula: 
 
1. Sustituimos los valores dados;
 
2. Resolvemos las fracciones mixtas:
 
3. Despejamos la Ecuación y resolvemos los cuadrados:
 
 
4. Pasamos el cuadrado al otro lado, convirtiéndolo en raíz cuadrada:
 
5. Obteniendo como respuesta 2.14 = X = a
 
Nota: la hipotenusa siempre debe ser mayor que los catetos. Si cualquiera de los catetos es mayor no es equivalente, también no lo es si la Hipotenusa es igual a los catetos.
Teorema de Euclides: En el triángulo ABC rectángulo en C se ha trazado la altura CD=h correspondiente a su hipotenusa, donde c=AB. Esa altura determina sobre la hipotenusa dos segmentos de medidas m y n que son las proyecciones ortogonales de los catetos de medidas b y a, respectivamente, sobre la hipotenusa. Sobre ese triángulo se enuncian dos proposiciones del teorema de Euclides, conocidas como el teorema de la altura y el teorema del cateto.
Teorema de la Altura: Al aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos ADB y BDC se cumple que: .
Además como c = m + n se tiene que .
Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC y sustituir las igualdades anteriores, se tiene que: 
 
 
En todo triangulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa.
Teorema del cateto: en el triángulo ADC se cumple que ,
Se tiene que: 
Al sustituir c = m + n, se obtiene 
Analógicamente, en el triángulo BDCse cumple que: y como
Al sustituir c = m + n, se obtiene .
En todo triangulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la medida de un cateto es el producto de la medida de la hipotenusa y de la medida de la proyección ortogonal del cateto sobre la hipotenusa. 
Ejemplo:
El DABC de la figura es rectángulo en B. Si AB = 6 cm y AD = 4 cm, entonces CB mide 
 
Solución: 
Por el teorema de Euclides referente al cateto, tenemos que: 
AB^2 = AD * AC. Si colocamos AC = x, tenemos que: 
62 = 4 * x, por lo tanto AC = x = 9 cm. 
De lo anterior se deduce que DC = 5 cm. 
Si aplicamos ahora el mismo Teorema al cateto BC
BC^2 = DC * AC 
BC^2 = 5 * 9 
Por lo tanto BC = 
Teorema de Tales: el teorema de tales establece los siguientes enunciados:
Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas secantes cualesquiera son proporcionales.
Si en varias rectas cortadas por dos transversales los segmentos son proporcionales, entonces dichas rectes son paralelas. 
Teorema de Tales en los Triángulos: En un triángulo cualquiera, si se traza una paralela a uno de los lados del triángulo de manera que dicha paralela corte a los otros dos lados, se puede aplicar entonces el teorema de tales.
Ejemplos:
Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
Guía de ejercicios:
1) Teorema de Pitágoras:
a) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
1. Los catetos.
2. La altura relativa a la hipotenusa.
3. El área del triángulo.
b) ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden  y  respectivamente?
c) ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden  unidad de longitud cada uno?
d) Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden  unidades de longitud cada uno ¿Cuánto mide su hipotenusa?
2) Teorema de Euclides:
a) En un triángulo ABC se sabe que AB=100cm, BC=80cm y Ac=60cm. Calcula las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura hc del triángulo.
b) En un triángulo ABC rectángulo en C 
a. a) Si a= 8cm y p=4cm, calcula la medida de c 
b. b) Si c= 9cm y q= 5cm, calcula la medida de b
3) teorema de Tales:
a) Sabiendo que las rectas r, s y t son paralelas, la longitud de x es:
a. 2,5 cm
b. 3 cm
c. No se puede calcular
b) Sabiendo que el segmento DE es paralelo a la base del triángulo, las medidas de los segmentos a y b son…
a. a= 8cm y b= 10cm
b. a= 9cm y b= 11cm
c. ninguna de las respuestas anteriores es correcta