04_matematica

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1 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
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MATEMÁTICA 
 
SEMANA 4 
 INECUACIONES Y DESIGUALDADES 
PARTE I 
 
 
 
 2 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
 
 
 3 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
 
ÍNDICE 
 
INECUACIONES Y DESIGUALDADES ..................................................................................................... 4 
APRENDIZAJES ESPERADOS ....................................................................................................................... 4 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4 
INECUACIONES .................................................................................................................................... 5 
INTERVALOS ........................................................................................................................................ 5 
PROPIEDADES ...................................................................................................................................... 8 
INECUACIONES LINEALES .................................................................................................................... 8 
INECUACIONES SIMULTÁNEAS .......................................................................................................... 11 
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ........................................................................................... 13 
INECUACIONES CUADRÁTICAS .......................................................................................................... 15 
EI SIGNO DE UN PRODUCTO O COCIENTE ......................................................................................... 15 
CRITERIOS PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRÁTICAS ..................................................... 16 
MODELADO CON DESIGUALDADES ............................................................................................... 19 
COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 22 
REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
INECUACIONES Y DESIGUALDADES 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
 Aplicar propiedades y tipos de inecuaciones en la resolución de ejercicios y problemas 
matemáticos. . 
 
INTRODUCCIÓN 
Las inecuaciones son recurrentes en diversas situaciones, estas se pueden resolver a través de 
ciertas propiedades de las matemáticas, por ejemplo, cuando se va al supermercado se sabe que 
el costo de lo que se compra no puede exceder a la cantidad que se ha dispuesto para ello, es 
decir: 
A+B+C<P 
Donde A, B y C son los bienes que se quieren comprar y P es el presupuesto de la compra. 
Las inecuaciones ayudarán en cierta forma a modelar los problemas y así posteriormente poder 
resolverlos. 
 
 
 
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INECUACIONES 
Una inecuación en la variable x es una desigualdad entre dos expresiones que contiene dicha 
variable (Galdós, 1998, p. 458). 
Ejemplo: 
73512)3
263)2
2
2
1
52)1



xx
x
x
 
La solución de una inecuación son todos los valores de la variable que hacen la inecuación sea 
verdadera. 
La solución de una inecuación corresponde a un subconjunto de los números reales, luego hay que 
recordar que el conjunto de los números reales (IR o R) es un cuerpo ordenado, por lo tanto se 
pueden comparar sus elementos mediante una relación de orden, esto se resume en lo siguiente: 
Para IRba , se tiene: 








0
0
IRbaba
IRbaba
IRbaba
IRbaba
 
 
INTERVALOS 
Los subconjuntos de los números reales son los intervalos, los cuales se definen a continuación: 
1) INTERVALOS ACOTADOS: 
a)    bxaRxba  /, 
Corresponde a todos los números reales que son mayores e iguales a a y menores e iguales a b . 
 
 
 
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b)    , /a b x R a x b    
Corresponde a todos los números reales que son mayores e iguales a a y menores a b . 
 
 
c)    bxaRxba  /, 
Corresponde a todos los números reales que son mayores a a y menores e iguales ab . 
 
d)    bxaRxba  /, 
Corresponde a todos los números reales que son mayores a a y menores ab . 
 
 
2) NO ACOTADOS: 
a)    axRxa  /, 
Corresponde a todos los números reales que son mayores e iguales a a : 
 
b)    axRxa  /, 
Corresponde a todos los números reales que son mayores a a : 
 
c)    bxRxb  /, 
Corresponde a todos los números reales que son menores e iguales a b . 
 
 
 7 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
 
d)    bxRxb  /, 
Corresponde a todos los números reales que son menores a b . 
 
 
Ejemplos de intervalo: 
1)  ,2 
Corresponde a 2x : 
 
2) 1] , [  
Corresponde a 1x : 
 
Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes reglas con la finalidad de aislar la variable a un 
lado del signo de la desigualdad. Estas reglas indican cuándo dos inecuaciones son equivalentes (el 
símbolo significa “equivale a”). En estas reglas, los símbolos y son números reales o 
expresiones algebraicas. Aquí se establecen las reglas para desigualdades que contienen el 
símbolo , pero se aplican a los cuatro símbolos de desigualdad. 
 
 
 
 
 
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PROPIEDADES 
1) Si ambos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número la 
inecuación no se altera. 
2) Si se multiplican o dividen ambos miembros de una inecuación por un mismo número “no 
nulo” resulta que la inecuación: 
 No se altera si el número es positivo. 
 Cambia el signo de desigualdad si el número es negativo. 
 
INECUACIONES LINEALES 
Una inecuación lineal corresponde a cualquier inecuación que se puede escribir de alguna de las 
formas siguientes (Zill y Dewar, 1999, p. 101): 
0
0
0
0




bax
bax
bax
bax
 
Ejemplos desarrollados: 
1) Resuelva y grafique el conjunto solución: 493  xx 
Solución: 
493  xx 
Se debe lograr que todos los términos que tienen la variable x , queden a la izquierda de la 
inecuación, para esto se debe sumar x9 en ambos lados de la inecuación: 
xxxx 94993  
Se reducen términos semejantes: 
6 4x  
 
 
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Se divide por 6 para dejar la x despejada: 
6
4
x 
Se simplifica la fracción por 2: 
3
2
x 
El conjunto solución consta de todos los números mayores que 
3
2
 . En otras palabras, la solución 
de la inecuación es el intervalo 
2
3
,
 
  
 
 . La gráfica se ilustra de la siguiente manera: 
 
2) Resuelva la siguiente ecuación: 
Solución: 
 
 
 
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1) Resolver las siguientes inecuaciones: 
a) 493  xx 
b) 
 
x
x
2
4
17
5
12


 
 
Ejercicio propuesto 
A continuación, se sugiere revisar el contenido de la semana referente a inecuaciones lineales. 
Posteriormente desarrolle el siguiente ejercicio: 
 
 
 
 
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INECUACIONES SIMULTÁNEAS 
Se llaman inecuaciones simultáneas aquellas que tienen una de las siguientes formas: 
dbaxc
dbaxc
dbaxc
dbaxc




 
Ejemplos desarrollados: 
1) 10138  x 
Solución: 
Se debe despejar la variable x , luego se debe sumar 1 en cada parte de la inecuación: 
 
A continuación se debe dividir por 3, con el objetivo de despejar la variablex : 
33
3:/939


x
x
 
La solución es: 
 
2) 13234  x
 
 
Solución: 
El conjunto solución consiste en todos los valores de que cumplen tanto la desigualdad 
 y, al mismo tiempo, . Aplicando las reglas 1 y 3, se puede ver que las 
inecuaciones siguientes son equivalentes: 
 3,3
 
 
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1) Resolver las siguientes inecuaciones 
a) 10138  x 
b) 
13234  x
 
 
Por lo tanto, el conjunto solución es . 
Ejercicio propuesto 
A continuación, se sugiere revisar el video n° 1 de la semana que aparece en el apartado de 
“Videos de la semana”. Posteriormente desarrolle el siguiente ejercicio: 
 
 
 
 13 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 
El valor absoluto de un número real representa la distancia que se encuentra este del origen y se 
denota por x (Carreño, 2008, p. 100). 






0
0
xsix
xsix
x 
En el caso de una inecuación con valor absoluto aparecerá uno de los símbolos de desigualdad, es 
decir < , >, , . Luego la inecuación tendrá por ejemplo la forma 4x . 
Se aplican las propiedades siguientes para resolver inecuaciones que contienen valores absolutos: 
1) cxccx  
2) cxccx  
3) cxocxcx  
4) cxocxcx  
Ejemplos desarrollados: 
a) 25 x 
Solución: 
Se observa que la propiedad 1 es: cxccx  
Luego, asumiendo que 2c y que en el interior del valor absoluto aparece 5x , se tiene que: 
252  x 
Y sumando 5 a toda la expresión se obtiene: 
 
Por lo tanto, el intervalo que es solución de la inecuación es: 
 
 
 
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1) Resolver las siguientes inecuaciones: 
a) 72 x 
b) 813 x 
b) 463 x 
Solución: 
Usando la propiedad 4 de la lista de propiedades se tiene que: 
 
Entonces, se tiene que los valores de que resuelven la inecuación son: 












 ,
3
2
3
10
,x 
Ejercicio propuesto 
A continuación, se sugiere revisar el contenido de esta semana relacionado a inecuaciones. 
Posteriormente desarrolle el siguiente ejercicio: 
 
 
 
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INECUACIONES CUADRÁTICAS 
Una inecuación cuadrática corresponde a cualquier inecuación que se puede escribir de alguna de 
las siguientes formas (Zill y Dewar, 1999, p. 108): 
02  cbxax 
02  cbxax 
02  cbxax 
02  cbxax 
Donde a ≠ 0, b y c son constantes. 
 
EI SIGNO DE UN PRODUCTO O COCIENTE 
 
a) Si un producto o un cociente tienen un número par de factores negativos, entonces su valor es 
positivo. 
 
b) Si un producto o un cociente tienen un número impar de factores negativas, entonces su valor 
es negativo. 
Ejemplo desarrollado: 
Resolver 0652  xx : 
Solución: 
Primero se factoriza el lado izquierdo y se obtiene: 
   032  xx 
Se sabe que la ecuación asociada    032  xx tiene como soluciones a 2x y 3x . 
Los números 2 y 3 dividen la recta de los números reales en tres intervalos y 
los signos de los factores se determinan usando valores de prueba en cada uno de estos 
intervalos. Se elige para el primer intervalo, para el segundo intervalo y para el 
tercer intervalo y se obtiene que: 
 
 
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 Signo de 
0 6 + 
 
- 
4 2 + 
Y usando la ley del signo del producto se obtiene que la expresión es positiva en 
 y negativa en Por lo que la respuesta al ejemplo debe ser: 
   ,32, 
Otra manera de entender el proceso anteriormente descrito es la siguiente: 
Para la expresión es negativa, así como también la expresión , por lo que 
 es un número positivo (negativo negativo = positivo), lo mismo sucede para 
 Por el contrario, para se tiene que es positivo y es negativo, 
por lo que la multiplicación es negativa. 
 
CRITERIOS PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRÁTICAS 
1) Pasar todos los términos a un lado de la inecuación: si es necesario, volver a escribir la 
inecuación de modo que todos los términos distintos de cero aparezcan a un lado del signo de 
la inecuación. Si el lado distinto de cero contiene fracciones se debe buscar un común 
denominador. 
2) Factorizar: el miembro distinto de cero de la inecuación. 
3) Determinar los intervalos: calcular los valores para los cuales cada factor es cero. Estos 
números dividirán la recta numérica en intervalos. Listar los intervalos determinados por medio 
de estos números. 
4) Elaborar una tabla o diagrama: utilizar los valores de prueba para construir una tabla o un 
diagrama de los signos de cada factor en cada intervalo. En el último renglón de la tabla 
determinar el signo del producto o cociente de estos factores. 
5) Resolver: determinar la solución de la inecuación a partir del último renglón de la tabla de 
signos. Comprobar si alguno de los extremos de los intervalos cumplen con la desigualdad, lo 
cual es válido si la desigualdad contiene . 
 
 
 
 17 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
Ejemplo desarrollado: 
1) Resolver 0652  xx : 
Solución: 
Primero se factoriza el lado izquierdo y se obtiene: 
   032  xx 
Se sabe que la ecuación asociada tiene como soluciones a y . 
Los números 2 y 3 dividen la recta de los números reales en tres intervalos y 
los signos de los factores se determinan usando valores de prueba en cada uno de estos 
intervalos. Se elige para el primer intervalo, para el segundo intervalo y para el 
tercer intervalo y se obtiene que: 
 
Y usando la ley del signo del producto se obtiene que la expresión es positiva en 
 y negativa en Por lo que la respuesta al ejemplo debe ser: 
Si no es factorizable la inecuación cuadrática se aplica el siguiente teorema: 
i. Si cbxax 2 no es factorizable en R y a es positivo, entonces Rxcbxax  0,2 . 
ii. Si cbxax 2 no es factorizable en R y a es negativo, entonces Rxcbxax  0,2 . 
1) Resolver 01592 2  xx 
Solución: 
039152494 22  acb , entonces 1592 2  xx no es factorizable y como 
02 a , luego 01592 2  xx Rx . 
Por lo tanto, es imposible que 01592 2 x . 
La solución es: S= , es decir la solución es vacía. 
 
 
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1) Determine el valor de m para que la ecuación 03)612(6 22  mxmx no tenga 
solución en los reales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resolver las siguientes inecuaciones: 
a) 0652  xx 
b) 01232 2  xx 
 
Ejercicio propuesto 
A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de 
“Videos de la semana”. Posteriormente desarrolle el siguiente ejercicio: 
 
 
 
 19 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
MODELADO CON DESIGUALDADES 
El modelado de problemas de la vida cotidiana da con frecuencia desigualdades, a continuación se 
muestran problemas de aplicación. 
1) Resuelva lo siguiente: 
Un parque tiene dos planes de boletos: 
 Plan A: tarifa de entrada de $5.000 y $500 cada vuelta en los juegos. 
 Plan B: tarifa de entrada de $2.000 y $1.000 cada vuelta en los juegos. 
¿Cuántas vueltas tendría que dar para que el plan A resultara menos caro que el plan B? 
Solución: 
Se pide el número de vueltas en los juegos para que el plan A sea menos caro que el plan B. 
Entonces primero se debe identificar la variable: 
número de vueltas. 
La información en el problema se podría organizar como sigue: 
En palabras En lenguaje algebraico 
Número de vueltas 
Costo del plan A 
Costo del plan B 
Ahora se plantea el modelo: 
 
 
 
 20 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
Entonces para que el plan A sea más barato que el plan B debe dar, al menos, 7 vueltas en los 
juegos. 
2) Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un bus para que 
los lleve al concierto es de $100.000, lo cual se debe repartir en forma uniforme entre los 
estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que lleguen en bus. Los 
boletos cuestan normalmente$50.000 cada uno, pero se reducen $500 del precio del boleto 
por cada persona que vaya en el grupo (hasta la capacidad máxima del bus). 
¿Cuántos estudiantes deben ir en el grupo para que el costo total por estudiante sea menor a 
$55.000? 
Solución: 
Se pide determinar el número de estudiantes que debe ir en el grupo. 
Entonces, primero se identifica la variable: 
cantidad de estudiantes en el grupo. 
La información del problema se podría organizar como se indica a continuación. 
En palabras En lenguaje algebraico 
Número de estudiantes en el grupo 
Costo del bus por estudiante 
 
Costo del boleto por estudiante 
Ahora se plantea el modelo: 
 
 
Se usa la fórmula de la ecuación cuadrática para determinar los valores donde la expresión 
 cambia de signo y así poder determinar para qué valores es positiva: 
 
 
 21 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4 
1) Un parque tiene dos planes de boletos: 
 Plan A: tarifa de entrada de $5.000 y $600 cada vuelta en los juegos. 
 Plan B: tarifa de entrada de $2.000 y $1.000 cada vuelta en los juegos. 
¿Cuántas vueltas tendría que dar para que el plan B resultara menos caro que el plan A? 
 
 
2010
12
200141010
020010
2
2 


  xoxxxx 
Como se habla de cantidad de personas, la opción no es de utilidad, entonces se sabe que 
hay un cambio de signo en . Hay que notar que para valores menores que 10 la expresión 
 es negativa y, por el contrario, para valores mayores que 10 la expresión es 
positiva, por lo que el mínimo de estudiantes que se necesitan para bajar el valor por persona del 
paquete “bus+concierto” es 11 estudiantes. 
Ejercicio propuesto 
A continuación, se recomienda revisar los ejemplos desarrollados en este contenido y revisar el 
ejercicio 3 de los videos que aparecen en el apartado de “Videos de la semana”, luego resuelva lo 
siguiente: 
 
 
 
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COMENTARIO FINAL 
Una vez estudiado el contenido de esta semana, el alumno debe estar familiarizado con la idea de 
inecuación. Cuando se plantea una inecuación se puede notar que la solución de esta puede ser un 
conjunto de infinitos elementos o un conjunto que esté vacío o todo el conjunto de los números 
reales, es importante hacer hincapié en este punto, pues típicamente las ecuaciones no cumplen 
con esta “libertad” de tener más de dos soluciones, pues son más restrictivas que las inecuaciones 
donde los símbolos de desigualdad dan la libertad que no entrega el símbolo de igualdad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERENCIAS 
Carreño, X. y Cruz, X. (2008). Álgebra. Chile: McGraw-Hill. 
Galdós, L. (1998). Matemáticas Galdós. Colombia: Cultural S. A. 
Gustafson , D. (2011). Álgebra intermedia. México: Gengage Learning. 
Purcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Prentice-Hall Hispanoamericana. 
Zill, D. y Dewar, J. (1999). Ecuaciones e inecuaciones. Álgebra y Trigonometría. Colombia: McGraw- 
Hill. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: 
IACC (2015). Inecuaciones y desigualdades. Matemática. Semana 4. 
 
 
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