definición de función vectorial de una variable real

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE LA REGIÓN CARBONÍFERA “DR. ROGELIO MONTEMAYOR SEGUY”
	DIVISIÓN ACADÉMICA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Y MIXTA
Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 201DD687
Carrera: Ingeniería Industrial Modalidad Mixta
Nombre de la materia: Cálculo Vectorial
Nombre del docente: Heber Reséndiz Parra
Definición de una función vectorial de una variable real
Sabinas, Coahuila							26/08/2021
Definición de una función vectorial de una variable real
1.- Definicion
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial A( t ) es un vector dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x, y, z, o sea: A( t ) = Ax( t )i + Ay( t )j + Az( t )k Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del vector.
Curvas en el espacio y sus tangentes
Cuando una partícula se mueve en el espacio durante un intervalo de tiempo I, visualizamos las coordenadas de la partícula como funciones definidas de I: 
Los puntos (x, y, z) 5 ( f(t), g(t), h(t)), t H I, forman la curva en el espacio que llamamos la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones y el intervalo de la ecuación (1) parametrizan a la curva
Una curva en el espacio también se representa en forma vectorial. El vector
del origen a la posición de la partícula P( f(t), g(t), h(t)) en el tiempo t es el vector de posición de la partícula (figura 13.1). Las funciones f, g y h son las funciones componentes (los componentes) del vector de posición. Consideramos la trayectoria de la partícula como la curva trazada por r durante el intervalo de tiempo I. La figura 13.2 muestra varias curvas en el espacio generadas por un programa de graficación por computadora. No sería fácil dibujar estas curvas a mano. 
La ecuación (2) define a r como una función vectorial de la variable real t en el intervalo I. Generalmente, una función con valores vectoriales o función vectorial sobre un dominio D es una regla que asigna un vector en el espacio a cada elemento de D. Por ahora, los dominios serán intervalos de números reales que producirán una curva en el espacio. Posteriormente, en el capítulo 16, los dominios serán regiones en el plano. Las funciones vectoriales representarán entonces superficies en el espacio. Las funciones vectoriales en un dominio del plano o del espacio también dan lugar a “campos vectoriales”, los cuales son importantes en el estudio del flujo de un fluido, los campos gravitacionales y los fenómenos electromagnéticos. En el capítulo 16 investigaremos los campos vectoriales y sus aplicaciones. Las funciones con valores reales se llaman funciones escalares, para distinguirlas de las funciones vectoriales. Los componentes de r en la ecuación (2) son funciones escalares de t. El dominio de una función con valores vectoriales es el dominio común de sus funciones componentes. 
Longitud de arco en el espacio
Longitud de arco a lo largo de una curva en el espacio Una de las características de las curvas suaves en el espacio y en el plano es que se puede medir su longitud. Esto nos permite localizar puntos en estas curvas por medio de su distancia dirigida, s, a lo largo de la curva y desde un punto base, de la misma forma en que localizamos puntos en los ejes coordenados al dar su distancias dirigidas al origen (figura 13.12). Esto es lo que hicimos para curvas en el plano en la sección 11.2. Para medir la distancia a lo largo de una curva suave en el espacio, agregamos el término z a la fórmula que usamos para las curvas en el plano.
Al igual que con las curvas planas, podemos calcular la longitud de una curva en el espacio a partir de cualquier parametrización conveniente que satisfaga las condiciones requeridas. Omitiremos la prueba. La raíz cuadrada en la ecuación (1) es uvu, la longitud del vector velocidad. Esto nos permite escribir la fórmula de la longitud en forma simplificada.
 EJEMPLO 1 Un planeador se eleva a lo largo de la hélice r(t) = (cos t)i + (sen t)j + tk. ¿Cuál es la longitud de la trayectoria del planeador, desde t = 0 hasta t = 2pi?
Solución El segmento de la trayectoria durante este tiempo corresponde a una vuelta completa de la hélice (figura 13.13). La longitud de esta parte de la curva es
Esto es veces la longitud de la circunferencia en el plano xy sobre el cual se eleva la hélice. Si seleccionamos un punto base P(t0) en una curva suave C parametrizada por t, cada valor de t determina un punto P(t) = (x(t), y(t), z(t)) en C y una “distancia dirigida” 
medida a lo largo de C desde el punto base (figura 13.14). Ésta es la función de longitud de arco que definimos en la sección 11.2 para curvas planas que no tienen un componente z. Si t > t0, s(t) es la distancia a lo largo de la curva de P(t0) hasta P(t). Si t < t0, s(t) es el negativo de la distancia. Cada valor de s determina un punto en C, y esto parametriza a C con respecto a s. Llamamos a s un parámetro de longitud de arco de la curva. El valor del parámetro se incrementa en la dirección en la que crece t. Veremos que el parámetro de longitud de arco es particularmente útil al estudiar los giros y las torsiones naturales a una curva en el espacio.
Rapidez en una curva suave
Puesto que las derivadas dentro del radical de la ecuación (3) son continuas (la curva es suave), el teorema fundamental del cálculo nos dice que s es una función derivable de t con derivada
La ecuación (4) dice que la rapidez con la cual se mueve una partícula a lo largo de su trayectoria es la magnitud de v, lo cual es consistente con lo que ya sabemos. Si bien el punto base P(t0) tiene que ver con la definición de s en la ecuación (3), éste no desempeña ningún papel en la ecuación (4). La tasa a la que una partícula en movimiento recorre distancia a lo largo de su trayectoria, es independiente de lo lejos que se encuentre del punto base. Observe que ds/dt . 0 puesto que, por definición, uvu nunca se anula para una curva suave. Vemos otra vez que s es una función creciente de t.
Vector tangente unitario T
Ya sabemos que el vector velocidad v = dr/dt es tangente a la curva r(t) y que el vector
es, por lo tanto, un vector tangente unitario a la curva (suave), llamado vector tangente unitario (figura 13.15). El vector tangente unitario T es una función derivable de t siempre que v sea una función derivable de t. Como veremos en la sección 13.5, T es uno de tres vectores unitarios en un sistema de referencia móvil que se usa para describir el movimiento de objetos que viajan en tres dimensiones.
Curvatura de una curva plana
Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva suave en el plano, T = dr/ds gira conforme la curva se va doblando. Puesto que T es un vector unitario, su longitud es constante y sólo cambia su dirección cuando la partícula se desplaza a lo largo de la curva. La razón a la que T gira por unidad de longitud a lo largo de la curva se llama curvatura (figura 13.17). El símbolo tradicional para la función de curvatura es la letra griega k (“kappa”).
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