LA ELIPSE TEORIA

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“AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCION E IMPUNIDAD”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
CURSO: Algebra Lineal
TEMA: La Elipse
LA ELIPSE
DEFINICION: una elipse está conformada por todos los puntos colocados de tal manera que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante. Es decir:
P
Entonces: 
V2
1
V1
1
Los elementos de la elipse son:
centro de la elipse
: vértices del eje mayor 
: vértices del eje menor 
: focos de la elipse 
: lados rectos de la elipse 
: directrices de la elipse 
: eje focal de la elipse
: excentricidad de la elipse 
RELACION: del grafico observamos: 
ECUACION VECTORIAL DE LA ELIPSE:
La ecuación vectorial de la elipse tiene la siguiente forma:
/ 
Donde:
 
ECUACION CARTESIANA DE LA ELIPSE:
La ecuación de la elipse toma su forma más simple cuando su centro esta en el origen de coordenadas y su eje focal coincide con uno de los ejes coordenados.
PRIMER CASO:
Consideremos que el centro de la elipse es C=(0,0) y que su eje focal sea el eje x.
P=(x,y)
-c,0)
Por definición de elipse:
 (ecuación de la elipse)
SEGUNDO CASO:
Si el centro de la elipse es C= (0,0) y su eje focal se encuentra en el eje Y, la ecuación e la elipse es:
CASOS PARTICULARES:
CASO I:
Ecuación de la elipse con centro C= (h,k) (diferente al origen de coordenadas) y eje focal paralelo al eje X.
Y
X
	La ecuacion de la elipse en el sistema es:
Pero: 
 	………………………
Reemplazando en tenemos:
(ecuación de la elipse con centro C=(h,k) y eje focal paralelo al eje X).
CASO II:
Ecuación de la elipse con centro C=(h,k) y eje focal paralelo al eje Y.
Y
X
La ecuación de la elipse es:
ECUACION DE UNA RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE
En el punto 
	ECUACION DE LA ELIPSE
	ECUACION DE LA RECTA TANGENTE
	
	
	
	
	
	
	
	
RECTA NORMAL A UNA ELIPSE
	
La recta normal a una elipse es la recta perpendicular a la recta tangente en mismo punto de la tangencia (en este caso es el punto de tangencia), por lo tanto:
PROPIEDADES
PROPIEDAD 1:
La recta normal en el punto P0 = (X0, Y0) es bisectriz del ángulo formado por los vectores y (donde F1 y F2 son focos de la elipse).
PROPIEDAD 2: 
El producto delas distancias de cada foco a la recta tangente en un punto cualquiera es b2.
Tenemos: D1D2 =b2
PROPIEDAD 3:
PROPIEDAD 4:
PROPIEDAD 5:
PROPIEDAD 6:
PROPIEDAD 7:
 (Longitud del lado recto)
EJERCICIO 1
Sea una elipse con focos y ; : X + 7Y – 31=0 = X + Y – 7 = 0 contienen a respectivamente ambas a un punto P de la elipse. 
Si = , el area del = 6 la distancia de P al eje focal es 
Hallar la ecuación vectorial de E .
SOLUCIÒN:
Hallar las coordenadas del punto a la elipse:
Entonces 
También
Área 
 (Pero 
Tenemos que:
= 
Entonces 
Hallando las coordenadas del punto al eje focal:
Hallando la ecuación del eje focal 
Tenemos 
Hallando las coordenadas de 
Hallando las coordenadas de 
Entonces el centro de la elipse es:
Por definición de elipse 
Entonces
Tenemos también que 
Entonces la ecuación vectorial de la elipse es:
EJERCICIO 2
Sea ε una elipse cuyo eje focal tiene pendiente 3/2. Si C es una circunferencia tangente a ε, con 5 unidades de radio y cuyo centro (5,1) coincide con el centro de ε, y si además la longitud del eje mayor de ε es 3 veces el diámetro de C, hallar.
1. La excentricidad de ε.
1. Los focos de la elipse. 
mfocal = 3/2
(5,1)
R = 5
a = 15
F1
F2
1. La excentricidad de ε.
e = c/a
a2 = b2 + c2
152 = 52 + c2
10 = c 
e = 10 / 15 = 2 / 3
1. Las coordenadas de los focos de ε.
F1 = (n1, n2) 
(10√2)2 = (n1 – 5)2 + (n2 – 1)2
200 = ((2n2 + 13)/3 – 5)2 + (n2 – 1)2
200 = 4/9(n2 – 1)2 + (n2 – 1)2
200 = 13/9 (n2 – 1)2
± 30√26 /13 = n2 – 1
± 30√26 / 13 + 1 = n2
± 20√26 / 13 + 15/3 = n1
F1 = (-20√26/13+15/3 , -30√26/13+1)
F2 = (20√26/13+15/3 , 30√26/13+1)
EJERCICIO 3