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Proyecto de Programación Lineal
Maximización de utilidades en una empresa de textil
Integrantes
Santiago Piedrahita
Santiago Lopez
Federico Montoya
Profesora
Liliana María Trujillo Mestra
Asignatura
Programación Lineal
Institución Universitaria de Envigado
Introducción
En el presente proyecto se dará a conocer cuáles serán las estrategias que se
implementarán para el desarrollo de un modelo matemático que permita dar una
solución a una problemática en la industria textilera, en este caso se hablará más
específicamente de una empresa encargada de la producción de uniformes para
diferentes instituciones educativas. Esta empresa se encarga de fabricar y distribuir
uniformes tanto para hombres como para mujeres. De esta manera se tendrá en
cuenta un modelo matemático de programación lineal que permita hacer un mejor
uso de las materias primas con las que se realiza el proceso de fabricación
buscando como objetivo principal es maximizar la utilidad de producción, para esto
se debe realizar un estudio detallado de cómo es el comportamiento del mercado
textil y qué cantidad de recursos son utilizados para una producción de alta calidad.
Teniendo en cuenta los diferentes tipos de materias primas y los costos que se
requieren tanto para la producción, como para la venta y distribución de los
uniformes a las diferentes instituciones.
Para llevar a cabo el proceso de investigación, buscando optimizar el proceso de
fabricación de los uniformes se estudiarán diferentes modelos de programación
lineal, lo que facilitará la identificación del modelo que más se adecue al proceso de
producción de dicha empresa. De esta manera se podrá demostrar la eficiencia que
tiene hacer un buen modelo matemático que pueda beneficiar a la empresa
minimizando tanto los costos de materia prima como también la mano de obra que
se necesita para el funcionamiento de dicha empresa
Se debe definir el tipo de variables que se van utilizar y cuáles restricciones se
deben tener en cuenta a la hora de plantear el modelo de producción, por lo que una
vez identificado las variables y restricciones se tomará la decisión de cual método se
utilizará para darle solución al modelo.
En el documento también se podrá encontrar cual es el tipo de empresa a la que se
le realizará el modelo, cuál es la visión de la empresa y qué objetivos se esperan
cumplir una vez terminado e implementado el modelo de programación lineal, y así
poder evidenciar cuáles fueron las ventajas que se obtuvieron por medio de este
modelo.
Objetivos del Proyecto
Objetivo General
● Utilizar un modelo de programación lineal para optimizar la producción,
maximizando las utilidades, para que la empresa pueda obtener una mayor
rentabilidad y así ser más competitivas en el mercado.
Objetivos específicos
● Maximizar las utilidades y así lograr unas ganancias mayores para la
empresa.
● Realizar una investigación que facilite reconocer cuales son las estrategias
más óptimas para maximizar las utilidades..
● Investigar las estrategias de la competencia en el mercado para obtener un
marco mas general del funcionamiento de este.
● Diseñar un modelo de programación lineal que ayude a tener una
organización más adecuada en la empresa la cual permita tener una mayor
utilidad en las ventas.
Alcance del proyecto
El alcance que tendrá este proyecto es poder determinar cual es la solución más
óptima para la empresa en la cual teniendo en cuenta los recursos tanto de materia
prima como de mano de obra sean los más adecuados para maximizar la utilidad de
la producción.
Marco Teórico
ANTECEDENTES DEL SECTOR TEXTIL:
La confección en Colombia tuvo su origen hacia el año 1907 en la ciudad de
Medellín, cuando se construyeron dos grandes fábricas: Coltejer y la Compañía
Antioqueña de Hilados y Tejidos, que hoy en día hace parte de Fabricato. Desde ahí
“la industria se convirtió en una de las más importantes en el país, tanto por ser
pionera del proceso industrializador, como por representar una gran fuente
generadora de valor, de empleo y de divisas” (Muñoz, Segura y Tabima, 2011). Así
mismo, es uno de los sectores donde no solo existen grandes, medianas y
pequeñas empresas, sino que también están las famiempresas, que sirven como
maquiladoras para comercializadoras de gran tamaño.
La industria del sector textil-confección siempre ha contribuido de manera
significativa al país en relación con el Producto Interno Bruto (PIB), las
exportaciones y la constante generación de empleo. Según Salazar, Colombia
“participa con el 10% del PIB industrial y aporta otro tanto al valor agregado
industrial del país, y es el cuarto exportador de la industria colombiana. Sus ventas
al exterior representan el 4.1% de las exportaciones industriales” (2012).
Actualmente, el propósito del sector textil-confección es ser cada vez más eficiente,
tener diversidad de productos e implementar estrategias logísticas, con el fin de ser
más competitivos en el mercado global; sin embargo, en la realidad existen
debilidades que son difíciles de controlar y que perjudican al sector.
Aspectos como la maquinaria obsoleta que disminuye la productividad, el exceso de
inventarios, los costes de materias primas y la fuerte competencia del mercado
internacional y nacional, en especial con los baratos productos chinos, hacen
necesario que el sector emprenda esfuerzos, en tecnología, diseño y calidad, para
aumentar su competitividad (Arango, Perez, & Rojas, sf).
De este modo, en el sector textil-confección se presentan problemáticas que
requieren una gestión logística, para que así las empresas desarrollen mejores
procesos en función del cliente, consiguiendo especialmente que el producto llegue
a tiempo. Con esto se pretende “buscar una ventaja competitiva capaz de ser
sostenida y defendida, [lo que] se ha convertido en la segunda preocupación de
cualquier gerente alerta a las realidades del mercado” (Christopher, 1994). De aquí
se deriva una logística integral que permitirá a cualquier empresa ser competitiva y
productiva, para lograr con ello una ventaja sostenible.
En consecuencia, en la cadena logística, en especial en el sector textil-confección, a
los inventarios de materias primas se les hace un seguimiento estratégicamente,
puesto que se trata de un proceso logístico interno en la empresa que permitirá una
mejor respuesta a sus necesidades y las de sus clientes, a la vez que garantiza un
buen servicio.
El proceso de abastecimiento, el cual es uno de los primeros eslabones de la
cadena de suministros para cualquier empresa, se convierte en un principio clave
para el funcionamiento y flujo óptimo de los recursos, ya que un control y
optimización en este proceso garantiza continuidad en los demás eslabones de la
cadena de suministro.
Para conseguir que el flujo de productos y/o servicios llegue a los clientes cuándo,
cuánto, dónde y cómo quieren, al menor coste integral, tenemos y debemos
arrancar desde nuestros proveedores. Por lo tanto, el flujo logístico integral parte del
proceso abastecimiento, pasa por el proceso de producción y termina en el proceso
de distribución física (Escobar, 2007).
Por otra parte, no basta solo con realizar una optimización y una gestión en la
adquisición de materias primas, pues también se debe tener una buena relación con
los proveedores (proceso colaborativo), ya que así, en el proceso de compras, se
pueden determinar beneficios económicos importantes. Por esta razón “los
proveedores pueden ejercer poder de negociación sobre los que participan en un
sector industrial amenazando con elevar los precios o reducir la calidad de los
productos o servicios” (Porter, 1998).
Para brindar un adecuado manejo en el proceso de abastecimiento, las grandes
empresas textileras emplean diferentes métodos de optimización, planeación y
simulación de sus inventarios y almacenamiento, puesto que estos son de grandes
volúmenes, con el fin de encontrar un equilibrio ideal para que en el proceso de
producción no se presenten faltantes ni excesos de existencias de inventario. Todo
estose realiza para prestar y garantizar un buen servicio de producción y
comercialización, y obtener así una disminución en los costes logísticos.
Ecuación de creación del modelo matemático.
Variables de decisión (Xj): Son las incógnitas del problema. Serán los niveles de
utilización de proceso, en el caso que se establezca un objetivo la maximización de
sus ingresos o beneficios, en caso contrario si se desea minimizar los costos de
producción, las incógnitas serán cantidades de factores necesarias para responder
a la demanda.
Función objetivo: puede ser formulada siguiendo un principio de óptimo, buscando
la maximización de los ingresos o beneficios.
Su notación es la siguiente.
Max = C1x1+C2x2+...............+Cnxn
Donde Cj son los rendimientos directos unitarios de los procesos j (1, 2,..., n). Por
otra parte, si lo que se busca es minimizar la producción o cantidades disponibles.
Su notación es la siguiente.
Min = y1x1+y2x2 +...............+ymxm
Donde yi son los costes unitarios de los factores i empleados (1, 2,..., m).
Restricciones: constituye el denominado conjunto de solución factible. Al vector
formado por las variables de decisión se le denomina programa de producción, será
factible si satisface todas las restricciones o condicionantes del problema. El
programa óptimo será aquel programa que logré el objetivo, es decir, que maximice
el beneficio o minimice el coste. Existen cuatro tipos de restricciones.
1. Recursos limitados: en el caso de que la función objetivo sea maximizar serán:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2
.........................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
● aij: son los coeficientes técnicos y representan la cantidad de factor i (1, 2,..., m)
necesaria para fabricar una unidad de producto j (1, 2,.... n). Estos coeficientes
técnicos forman la denominada matriz tecnológica o de coeficientes técnicos de la
empresa (Amxn). Cada columna de esta matriz representa un proceso productivo Pj.
● bm: son los recursos disponibles para la empresa. Su valor absoluto dependerá
de la dimensión empresarial. Forman un vector columna (b).
Ejemplo: unidades de material.
2. Restricciones de demanda: hace referencia a la cantidad de producto o servicio
que la empresa debe ofrecer como mínimo, para cubrir la demanda existente, o
como máximo, en el caso de que el mercado solo puede absorber una determinada
cantidad.
3. Restricciones de oferta: relacionada con la cantidad mínima de los bienes que
tienen que comercializarse para cubrir los costes fijos o, por el contrario, la cantidad
máxima que la empresa puede fabricar de un determinado producto.
4. Restricción de no negatividad o sentido económico: las cantidades fabricadas
y vendidas de los productos, así como los consumos mínimos de los factores para
garantizar la demanda, deben ser positivos o nulos.
Método simplex: Los conceptos básicos utilizados en el Algoritmo del Simplex son
los siguientes: Factores productivos (m): utilizados en la obtención de un producto o
servicio. Pueden ser limitados, expresados en restricciones, o
ilimitados.(Moncayo-Martínez et al., 2018)
Vector de recursos disponibles (bm): vector columna formado por las cantidades
utilizables de los factores.
Tecnología: cualquier combinación de los factores productivos. Proceso productivo:
supone la combinación o transformación de los factores (inputs) en bienes o
servicios (outputs), utilizando una tecnología.
Vector Proceso (Pj): vector columna formado por las cantidades necesarias de los
factores para la fabricación de una unidad de producto, utilizando ese proceso.
Nivel de proceso (Xj): muestra la intensidad de utilización de los factores
productivos en el proceso. También es conocido como el número de veces que se
repite dicho proceso.
Rendimiento directo del proceso (Cj): se calcula como la diferencia entre los
ingresos y los costes originados por dicho proceso.
Programa de producción: consiste en la realización de uno o varios procesos
productivos a unos determinados niveles.
Rendimiento de un programa: suma de los rendimientos obtenidos por los Pj que
lo integran. Para calcular el rendimiento de un proceso Pj, se multiplica el
rendimiento directo (Cj) por el nivel de proceso (Xj).
Matriz tecnológica: formada por los coeficientes técnicos unitarios, que
representan la cantidad de factor i (1, 2,..., m) necesaria para fabricar una unidad de
producto j (1, 2,.... n).
Vector de rendimientos: fila formada por los rendimientos directos de todos los
procesos Pj (j=1, 2,..., n).
El desarrollo de este algoritmo requiere de ciertas hipótesis de partida:
Proporcionalidad: la contribución de cada actividad al valor de la función objetivo es
proporcional, así como al valor de los términos independientes de las restricciones.
Certidumbre: todos los parámetros del modelo son conocidos con certeza. Bajo
esta premisa cualquier problema de producción expresado en programación lineal
quedaría de la siguiente forma:
Max = C1x1 + C2x2 + ...+ Cnxn
sujeto a:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2
......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
Conceptos claves:
Cantidad de producto: se refiere al número de unidades de un producto que se
pueden, y quieren, adquirir; teniendo en cuenta el precio dado en un momento
determinado. Además, influyen otras variables como el nivel de renta de los
individuos, el precio de bienes y servicios complementarios y sustitutivos, la
localización geográfica del demandante y sus preferencias, entre otros.(Cantidad
Demandada de Un Bien | 2022 | Economipedia, n.d.)
Optimización: Realizar una tarea de la mejor manera, pudiéndose aplicar a
distintos ámbitos como la administración de empresas, la economía y la informática.
La optimización, en general, implica lograr el mejor funcionamiento de algo, usando
de la mejor forma los recursos.(Optimización - Qué Es, Definición y Concepto | 2022
| Economipedia, n.d.)
Utilidad: Nos referimos a la utilidad como el interés o provecho que es obtenido del
disfrute o uso de un bien o servicio en particular. Como resultado, cuanto mayor es
la utilidad del producto, el deseo de consumirlo será mayor. Por ello, se tratará de
obtener mayores cantidades de ese bien a medida que se estime una utilidad
mayor. Esto, hasta llegar a un punto de saciedad.
Análisis: Es un estudio profundo de un sujeto, objeto o situación con el fin de
conocer sus fundamentos, sus bases y motivos de su surgimiento, creación o
causas originarias.(¿Qué Es Un Análisis? » Su Definición y Significado [2022], n.d.)
Método simplex: Es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de
la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible
continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el
mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las
restricciones).(Teoría Del Método Simplex, n.d.)
Aplicacion de método simplex:
“Optimización de las utilidades en la Empresa DM&E S.A.S mediante un Modelo de
Programación Lineal que permita mejorar su Rendimiento Operacional.
La presente propuesta de investigación nació como una intención por parte de los
autores del aporte que se realizó desde el semillero de investigación ECOFI de la
Universidad Piloto de Colombia- Seccional Girardot, al proyecto de investigación
que lideró el programa de Ingeniería Financiera en la segunda fase del eje de
encadenamiento productivo y Asociatividad estratégica del proyecto macro Modelo
Alternativo de Inclusión e Innovación Productiva MAIIP.
El objetivo principal de esta investigación fue la optimización de las utilidades de la
empresa DM&E S.A.S por medio de un modelo de programación lineal que sirve
como herramienta para la toma de decisiones generando un impacto positivo en sus
resultados económicos. Grupo empresarial DM&E S.A.S es una sociedad por
acciones simplificada dedicada principalmente a la distribución de productos deconsumo como alimentos y bebidas abasteciendo a tenderos y pequeños
minimercados de regiones del Tolima y Cundinamarca.
Por lo anterior y una vez efectuada una caracterización de la empresa DM&E S.A.S
y evidenciada una necesidad en materia de la comercialización de productos se
formuló un modelo de programación lineal en la herramienta de análisis Solver de
Microsoft Excel usando el método simplex para maximizar las utilidades.”
Aplicaciones e interpretación de resultados
Herramientas: para encontrar la solución del problema de programación lineal, se
utilizará la herramienta solver de Excel. Dentro del modelo se contempla las horas
máquinas disponibles, los costos de la materia prima y el trabajo de mano de obra.
Planteamiento del problema:
En la empresa se producen dos tipos de uniformes (educación física y uniforme de
Gala) estos se realizan tanto para hombres como para mujeres. cada uniforme se
procesa en cuatro máquinas. A continuación, se presentan los tiempos requeridos
para dicha producción.
Las capacidades de las máquinas(en horas/quincena) son: 150 para cortado, 180
para costura, 160 para bordado y 150 para el planchado.
Cada producto tiene un costo de materia prima y mano de obra por unidad
fabricada. A continuación se muestran los precios en la siguiente tabla.
Se dispone de un presupuesto por quincena para estas referencias de $6.900.000 el
cual está distribuido en la siguiente tabla.
El precio de venta y la utilidad por referencia se muestran a continuación.
Modelo de programación Lineal
subíndices:
i: Referencias= {1.Uniforme de Gala, 2.Uniforme de ED.Física}
j: Generos= {1.Hombre, 2.Mujer}
Variables de decisión:
=cantidad de uniformes de i{1,2} para j{1,2} a producir𝑋
𝑖𝑗
=cantidad de uniformes de gala para hombre𝑋
11
=cantidad de uniformes de gala para mujer𝑋
12
=cantidad de uniformes de educación física para hombre𝑋
21
=cantidad de uniformes de educación física para mujer.𝑋
22
Función Objetivo:
Max Z= 20000 +35000 +15000 +20000𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
Restricciones:
TIEMPO DE MÁQUINA
Corte: 3 +3 +2,5 +2.5 150𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
Costura: 2 +1,5 + + 180𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
Bordado: + +0,5 +0.5 160𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
Planchado: + +0,5 +0.5 150𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
MATERIA PRIMA
Hilo: 250 +250 +100 +100 150.000𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
Tela: 30000 +32000 +20000 +25000 2.800.000𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
Botones: 1500 +1500 +1000 +1200 150000𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
Cierre: 1200 +1200 +800 +100 200000𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
Mano de Obra: 7500 +8500 +7000 +8000 3.600.000𝑋
11
𝑋
12
𝑋
21
𝑋
22
≤
NO NEGATIVIDAD
Xij ≥ 0
SOLUCION MEDIANDTE LA HERRAMIENTA SOLVER DE EXCEL
INFORME ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Conclusiones de la solucion
con los resultados obtenidos de la solucion de se determino que la opcion mas
optima para la maximización de utilidades en la empresa es fabricar 50 uniformes de
gala de mujer con utilidad de $1.750.000
A continuacion se muestra la tabla con el factor de uso de cada uno de los recursos
Analisis de sensibilidad con otros escenarios
primer escenario: se realiza cambios en los valores de los precios de mano de obra
y las restricciones de las maquinas de corte, costura y bordado
Informe de analisis de sensibilidad
Conclusiones de la solucion
con los resultados obtenidos de la solucion de se determino que la opcion mas
optima para la maximización de utilidades en la empresa es fabricar 49 uniformes de
gala de hombre y 42 uniformes de gala de mujer , obteniendo una utilidad de
$2.437.951.
En la siguiente tabla se muestra cual fue el factor de uso de cada uno de los
recursos.
Segundo escenario: cambiando los valores de las utilidades, dejándolas todas
iguales en un valor de 35000.
informe de sensibilidad:
Conclusión de la solución:
Según los datos obtenidos en el caso se concluye que si todos los uniformes
tuvieran la misma utilidad solo se fabricarán 60 uniformes de física para hombres,
con una utilidad de 2.100.000.
Tercer escenario: se realizan cambios en las restricciones del hilo, tela, botones y
cierres asignando un nuevo precio.
Informe de sensibilidad.
Conclusión de la solución
No sé vieron cambios en la producción de cada uniforme dieron que se deben
fabricar 50 uniformes de gala de mujer lo que si cambio es el uso que se tuvo con el
hilo que fue de 17500, la tela fue de 2000000, los botones de 125000 y de los
cierres de 75000, con una utilidad de $1750000.
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