2C - Cinética Partículas - Dinámica de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte C
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
29 de Septiembre, 2022
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte C 29 de Septiembre, 2022 1 / 43
El contenido de esta presentación ha sido basado mayormente en el siguiente libro:
A. V. Rao, “Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach,”
Cambridge University Press, 2005.
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Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Potencia y trabajo de una fuerza
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Potencia y trabajo de una fuerza
Potencia y trabajo
Definición (Potencia)
Consideremos una part́ıcula de masa m que se mueve respecto de un marco de
referencia inercial N con velocidad N v⃗. Además, sea F⃗ una fuerza que actúa
sobre la part́ıcula. Entonces, la potencia de la fuerza F⃗ en el marco de referencia
N , denotado NP , se define como
NP = F⃗ · N v⃗.
Definición (Trabajo)
Consideremos ahora un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] sobre el cual actúa la fuerza
F⃗ , y sean r⃗1 = r⃗(t1) y r⃗2 = r⃗(t2) las posiciones de la part́ıcula P en t1 y t2,
respectivamente. Entonces, el trabajo realizado por la fuerza F⃗ en el marco de
referencia N de t1 a t2, se define como
NW12 =
∫ t2
t1
NPdt =
∫ t2
t1
F⃗ · N v⃗dt.
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Potencia y trabajo de una fuerza
Potencia y trabajo
Figure: Trabajo realizado por una fuerza F⃗ en el marco de referencia N en un
intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] al mover una part́ıcula de masa m.1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Potencia y trabajo de una fuerza
Potencia y trabajo
Notemos que
NW12 =
∫ t2
t1
F⃗ ·
N dr⃗
dt
dt =
∫ r⃗2
r⃗1
F⃗ · Ndr⃗,
donde Ndr⃗ es un cambio diferencial en la posición de la part́ıcula visto desde
el marco de referencia N . Por otra parte, recordemos que la velocidad de una
part́ıcula se puede escribir en términos del vector tangente e⃗t como
N v⃗ = N ve⃗t.
Aśı, otra expresión equivalente para el trabajo de una part́ıcula seŕıa
NW12 =
∫ t2
t1
F⃗ · N v⃗dt =
∫ t2
t1
F⃗ · N ve⃗tdt.
Observación (Fuerzas y trabajo)
Solo la componente de la fuerza F⃗ que se encuentra en la dirección de N v⃗ hace
algún trabajo. Más aún, el trabajo ejercido por F⃗ depende del marco de referencia
que se escoja.
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Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Definición (Enerǵıa cinética)
La enerǵıa cinética de una part́ıcula de masa m en un marco de referencia inercial
N , denotada NT , se define como
NT =
1
2
mN v⃗ · N v⃗.
Teniendo en cuenta que NT es una función escalar y, por lo tanto, es independiente
del marco de referencia, su derivada temporal viene dada por
d
dt
(NT ) = 1
2
m
d
dt
(
N v⃗ · N v⃗
)
=
1
2
m
(
N d
dt
(
N v⃗
)
· N v⃗ + N v⃗ ·
N d
dt
(
N v⃗
))
= mN a⃗ · N v⃗.
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Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema (Teorema de Trabajo-Enerǵıa)
El Teorema de Trabajo-Enerǵıa para el caso de una part́ıcula de masa m en un
marco de referencia inercial N , establece que
d
dt
(NT ) = F⃗ · N v⃗ = NP.
El Teorema de Trabajo-Enerǵıa relaciona la derivada temporal de la enerǵıa cinética
de una part́ıcula en un marco de referencia inercial N con la potencia de la fuerza
resultante que actúa sobre la part́ıcula (que es algo aśı como ”la derivada temporal
del trabajo”). Es importante comprender que la ecuación del teorema es válida
solo en un marco de referencia inercial.
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Principio de Trabajo y Enerǵıa
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Principio de Trabajo y Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Ahora supongamos que consideramos el movimiento en un intervalo de tiempo
t ∈ [t1, t2]. Integrando la ecuación del Teorema de Trabajo-Enerǵıa entre t1 y t2,
tenemos ∫ t2
t1
d
dt
(NT ) dt = ∫ t2
t1
F⃗ · N v⃗dt.
Teorema (Principio de Trabajo y Enerǵıa)
El Principio de Trabajo y Enerǵıa para el caso de una part́ıcula de masa m en un
marco de referencia inercial N , establece que
NT2 − NT1 = NW12.
El Principio de Trabajo y Enerǵıa para una part́ıcula establece que el cambio en la
enerǵıa cinética entre dos puntos cualesquiera a lo largo de la trayectoria de una
part́ıcula en un marco de referencia inercial es igual al trabajo realizado por todas
las fuerzas que actúan sobre la part́ıcula entre esos mismos dos puntos.
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Fuerzas conservativas
Definición (Fuerza conservativa)
Una fuerza F⃗ c cuyo trabajo al mover una part́ıcula desdeuna posición inicial r⃗(t1) =
r⃗1 a una posición final r⃗(t2) = r⃗2 no depende de la trayectoria tomada por la
part́ıcula, sino que depende únicamente de los puntos finales r⃗1 y r⃗2, se dice que
es una fuerza conservativa.
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Fuerzas conservativas
Figure: El trabajo de la fuerza conservativa depende solo de los puntos extremos
r1 y r2 y no de la trayectoria subtendida por ésta.
1
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A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Enerǵıa potencial de una fuerza
Supongamos ahora que N v⃗(1), . . . ,N v⃗(n) son las velocidades en un marco de ref-
erencia inercial N que corresponden a un conjunto arbitrario de trayectorias que
comienzan en r⃗1 y terminan en r⃗2. Entonces la fuerza F⃗
c es conservativa si
el trabajo realizado de r⃗1 a r⃗2 es el mismo para todas las trayectorias
N v⃗(i),
i = 1, 2, . . . , n, es decir,
NW c12 =
∫ t2
t1
F⃗ · N v⃗(1)dt = . . . =
∫ t2
t1
F⃗ · N v⃗(n)dt.
Definición (Enerǵıa potencial de una fuerza)
Una consecuencia del hecho de que una fuerza conservativa sea independiente de
la trayectoria de movimiento, es que existe una función escalar NU = NU(r⃗) tal
que
F⃗ c = −∇r⃗NU = −
∂
∂r⃗
(NU) .
La función escalar NU se llama enerǵıa potencial de la fuerza F⃗ c en el marco de
referencia inercial N y el operador ∇r⃗ es el gradiente con respecto a r⃗.
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Potencia de una fuerza conservativa
La potencia de la fuerza conservativa F⃗ c en el marco de referencia inercial N ,
denotada NP c, está dada por
NP c = F⃗ c · N v⃗ = −∇r⃗NU · N v⃗ = −
∂
∂r⃗
(NU) · N dr⃗
dt
.
Definición (Potencia de una fuerza conservativa)
La potencia de una fuerza conservativa F⃗ c actuando sobre una part́ıcula de masa
m en un marco de referencia inercial N , está dada por
NP c = − d
dt
(NU) .
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Trabajo de una fuerza conservativa
Ahora consideremos un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] sobre el cual actúa la fuerza
conservativa F⃗ c. El trabajo realizado por F⃗ c en el marco de referencia N de t1 a
t2, denotado
NW c12, está dado por
NW c12 =
∫ t2
t1
NP cdt =
∫ t2
t1
− d
dt
(NU) dt = −∫ NU2
NU1
dU = NU(r⃗1)− NU(r⃗2).
Con esto se puede ver que el trabajo realizado por una fuerza conservativa F⃗ c en el
marco de referencia N durante un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] depende solo de
los valores de la posición en los puntos extremos y, por lo tanto, es independiente
de la trayectoria tomada por la part́ıcula.
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Enerǵıa potencial total
Supongamos ahora que varias fuerzas conservativas F⃗ c1 , . . . , F⃗
c
n actúan sobre una
part́ıcula. Entonces cada fuerza tiene una enerǵıa potencial asociada NU1, . . . ,
NUn,
es decir, para cada i = 1, . . . , n se tiene que
F⃗ ci = −∇r⃗
NUi.
Definición (Enerǵıa potencial total)
La enerǵıa potencial total de todas las fuerzas conservativas en el marco de refer-
encia inercial N , denotada NU , se define como
NU =
n∑
i=1
NUi.
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Fuerza conservativa total
Definición (Fuerza conservativa total)
La fuerza conservativa total actuando sobre una part́ıcula en el marco de referencia
inercial N , está dada por
F⃗ c =
n∑
i=1
F⃗ ci =
n∑
i=1
−∇r⃗NUi = −∇r⃗
(
n∑
i=1
NUi
)
= −∇r⃗NU.
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Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
Verificación de fuerzas conservativas
Observación (Verificación de fuerzas conservativas)
La verificación de que una fuerza F⃗ es conservativa se puede hacer de diferentes
maneras, entre las que se encuentran:
1 ∇r⃗ × F⃗ = ∇r⃗ ×
(
−∇r⃗NU
)
= 0, donde ∇r⃗ × · es el operador “rotor”.
2 Si se “adivina” la función potencial NU , entonces se verifica que
F⃗ = −∇r⃗
(NU).
3 Si se “adivina” la función potencial NU , entonces se verifica que
NP = − ddt
(NU).
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Ejemplos de fuerzas conservativas
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte C 29 de Septiembre, 2022 22 / 43
Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas constantes
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas constantes
Fuerzas constantes
Sea c⃗ una fuerza constante. Entonces la enerǵıa potencial de c⃗ en el marco de
referencia N , denota como NUc, está dada por
NUc = −c⃗ · r⃗.
Para verificar que NUc es de hecho la enerǵıa potencial de la fuerza constante c⃗,
notemos que
−∇r⃗NU = −∇r⃗ (−c⃗ · r⃗) = c⃗.
Por otra parte,
d
dt
(NUc) = ∇r⃗ (−c⃗ · r⃗) · N dr⃗
dt
= −c⃗ · N v⃗.
Recordando que NPc = F⃗
c · N v⃗, concluimos que c⃗ es una fuerza conservativa ya
que
NPc = −
d
dt
(NUc) .
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas de resortes
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas de resortes
Fuerzas de resortes
Recordemos que la fuerza aplicada a una part́ıcula por un resorte lineal con con-
stante de resorte K está dada por
F⃗s = −K(ℓ− ℓ0)u⃗s,
donde ℓ = ||r⃗ − r⃗Q|| y ℓ0 son el largo actual y el largo natural del resorte, respec-
tivamente, r⃗ es la posición de la part́ıcula y r⃗Q es el punto de fijación del resorte.
Ahora sea N un marco de referencia inercial y supongamos que el punto de fijación
está fijo en N , es decir, supongamos que
N v⃗Q = 0
N a⃗Q = 0.
Entonces, la enerǵıa potencial del resorte lineal en el marco de referencia N , de-
notada como NUs, está dada por
NUs =
K
2
(ℓ− ℓ0)2.
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzasde resortes
Fuerzas de resortes
Para verificar que NUs es la enerǵıa potencial de F⃗s, notemos que
−∇r⃗−r⃗Q
NUs = −∇r⃗−r⃗Q
(
K
2
(ℓ− ℓ0)2
)
= −K(ℓ− ℓ0)∇r⃗−r⃗Q(ℓ− ℓ0),
pero como ℓ = ||r⃗ − r⃗Q||, entonces
∇r⃗−r⃗Q(ℓ− ℓ0) = ∇r⃗−r⃗Q ||r⃗ − r⃗Q||
= N∇r⃗−r⃗Q
√
(r⃗ − r⃗Q) · (r⃗ − r⃗Q)
=
r⃗ − r⃗Q
||r⃗ − r⃗Q||
= u⃗s.
Dado lo anterior, verificamos que −∇r⃗−r⃗Q
NUs = −K(ℓ− ℓ0)u⃗s = F⃗s.
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas de resortes
Fuerzas de resortes
Por otra parte,
d
dt
(NUs) = d
dt
(
K
2
(ℓ− ℓ0)2
)
= K(ℓ− ℓ0)
d
dt
(ℓ− ℓ0)
= K(ℓ− ℓ0)∇r⃗−r⃗Q(ℓ− ℓ0) ·
N d
dt
(r⃗ − r⃗Q)
= K(ℓ− ℓ0)u⃗s · N v⃗.
Recordando que NPs = F⃗s · N v⃗, concluimos que F⃗s es una fuerza conservativa ya
que
NPs = −
d
dt
(NUs) .
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas gravitacionales
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte C 29 de Septiembre, 2022 29 / 43
Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas gravitacionales
Fuerzas gravitacionales
Recordemos la Ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza de
atracción de una part́ıcula de masa M sobre una part́ıcula de masa m está dada
por
F⃗g = −
GmM
r3
r⃗,
donde r⃗ = r⃗m − r⃗M es la posición de m relativa a M . Ahora sea N un marco de
referencia inercial y supongamos que M está fija en N , es decir, supongamos que
N v⃗M = 0
N a⃗M = 0.
Entonces, la enerǵıa potencial de la fuerza gravitacional, denotada como NUg, está
dada por
NUg = −
GmM
r
.
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas gravitacionales
Fuerzas gravitacionales
Para verificar que NUg es la enerǵıa potencial de F⃗g, notemos que
−∇r⃗NUg = −∇r⃗
(
−GmM
r
)
= ∇r⃗
(
GmM√
r⃗ · r⃗
)
= − GmM
2(r⃗ · r⃗)3/2
∇r⃗(r⃗ · r⃗)
= −GmM
2r3
∇r⃗(r⃗ · r⃗)
= −GmM
r3
r⃗.
Dado lo anterior, verificamos que −∇r⃗NUg = −GmMr3 r⃗ = F⃗g.
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Ejemplos de fuerzas conservativas Fuerzas gravitacionales
Fuerzas gravitacionales
Por otra parte,
d
dt
(NUg) = d
dt
(
−GmM
r
)
=
GmM
r2
dr
dt
=
GmM
r2
1
2
1√
r⃗ · r⃗
(
N dr⃗
dt
· r⃗ + r⃗ ·
N dr⃗
dt
)
=
GmM
r2
r⃗ · N v⃗
r
Recordando que NPg = F⃗g ·N v⃗, concluimos que F⃗g es una fuerza conservativa ya
que
NPg = −
d
dt
(NUg) .
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Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
Sea r⃗ la posición de una part́ıcula y sea N v⃗ la velocidad de la part́ıcula en un sistema
de referencia inercial N . Supongamos que varias fuerzas conservativas F⃗ c1 , . . . , F⃗ cn
actúan sobre una part́ıcula y, por tanto, que cada fuerza tiene una enerǵıa potencial
asociada NU1, . . . ,
NUn. Por lo tanto, la fuerza conservativa total actuando sobre
la part́ıcula se puede expresar en términos de la enerǵıa potencial total como:
F⃗ c =
n∑
i=1
F⃗ ci =
n∑
i=1
−∇r⃗NUi = −∇r⃗NU.
Por otra parte, la fuerza total ejercida sobre la part́ıcula puede expresarse en
términos de una fuerza total conservativa y una no conservativa de la siguiente
manera:
F⃗ = F⃗ c + F⃗nc = −∇r⃗NU + F⃗nc.
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Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
A partir del Teorema de Trabajo-Enerǵıa, se desprende que
d
dt
(NT ) = F⃗ · N v⃗
=
(
−∇r⃗NU + F⃗nc
)
· N v⃗
= −∇r⃗NU · N v⃗ + F⃗nc · N v⃗
= − d
dt
(NU)+ F⃗nc · N v⃗.
Luego,
d
dt
(NT + NU) = F⃗nc · N v⃗.
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Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
Definición (Enerǵıa total)
La enerǵıa total de una part́ıcula observada desde un marco de referencia inercial
N se define como
NE = NT + NU.
Teorema (Teorema de Trabajo-Enerǵıa - Forma alternativa)
Una forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa para el caso de fuerzas no
conservativas actuando sobre una part́ıcula de masa m en un marco de referencia
inercial N , es la siguiente
d
dt
(NE) = F⃗nc · N v⃗.
Esta forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa establece que derivada tem-
poral de la enerǵıa total para una part́ıcula en un marco de referencia inercial es
igual a la potencia de las fuerzas no conservativas. De manera similar a los resulta-
dos anteriores que involucran las leyes de la cinética, esto válido solo en un sistema
de referencia inercial.
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Conservación de enerǵıa
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Conservación de enerǵıa
Conservación de enerǵıa
Ahora supongamos que la fuerza no conservativa resultante F⃗nc no realiza trabajo,
es decir,
F⃗nc · N v⃗ = 0.
De aqúı se desprende que
d
dt
(NE) = 0 ⇒ NE = constante.
Observación (Conservación de enerǵıa)
Cuando la enerǵıa total de una part́ıcula es una constante en un marco de referencia
inercial N , se dice que la enerǵıa total de la part́ıcula se conserva en N . Esto se
cumple solo si la potencia producida por todas las fuerzas no conservativas en N
es cero.
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Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
Contenidos
1 Potencia y trabajo de una fuerza
2 Enerǵıa cinética y Teorema de Trabajo-Enerǵıa
3 Principio de Trabajo y Enerǵıa
4 Fuerzas conservativas y enerǵıa potencial
5 Ejemplos de fuerzas conservativas
Fuerzas constantes
Fuerzas de resortes
Fuerzas gravitacionales
6 Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
7 Conservación de enerǵıa
8 Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
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Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa alternativo
Supongamos que consideramos el movimiento en un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2].
Luego, integrando la expresióndel Teorema de Trabajo-Enerǵıa entre t1 y t2, ten-
emos ∫ t2
t1
d
dt
(NE) dt = ∫ t2
t1
F⃗nc · N v⃗dt,
donde el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas en dicho intervalo de
tiempo se denota como
NWnc12 =
∫ t2
t1
F⃗nc · N v⃗dt,
y por otra parte ∫ t2
t1
d
dt
(NE) dt = NE2 − NE1.
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Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa alternativo
Teorema (Principio de Trabajo y Enerǵıa - Forma alternativa)
Una forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa para el caso de una
part́ıcula de masa m en un marco de referencia inercial N , es la siguiente
NE2 − NE1 = NWnc12 .
Esta forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa para una part́ıcula es-
tablece que el cambio en la enerǵıa total entre dos puntos cualesquiera a lo largo de
la trayectoria de una part́ıcula en un marco de referencia inercial es igual al trabajo
realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan sobre la part́ıcula entre
esos mismos dos puntos.
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Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
Conservación de enerǵıa
Observación (Conservación de enerǵıa)
Notemos que, en el caso de que las fuerzas no conservativas no realicen trabajo,
tenemos NWnc12 = 0, lo que implica que
NE2 =
NE1.
En otras palabras, si las fuerzas no conservativas que actúan sobre una part́ıcula
no realizan trabajo, entonces la enerǵıa total de la part́ıcula se conserva.
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Fin de la presentación
Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte C
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
29 de Septiembre, 2022
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	Potencia y trabajo de una fuerza
	Energía cinética y Teorema de Trabajo-Energía
	Principio de Trabajo y Energía
	Fuerzas conservativas y energía potencial
	Ejemplos de fuerzas conservativas
	Fuerzas constantes
	Fuerzas de resortes
	Fuerzas gravitacionales
	Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Energía
	Conservación de energía
	Forma alternativa del Principio de Trabajo y Energía
	Fin de la presentación