Operações com Matrizes e Derivadas Matriciais

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Repaso de álgebra matricial
Luis Frank
Depto. de Métodos Cuantitativos
Facultad de Agronoḿıa
Universidad de Buenos Aires
Marzo, 2021
Operaciones elementales entre matrcies
Suma y resta de matrices. Dadas las matrices A y B de
dimensión m× n, la suma (o resta) de ellas se define como la suma
(o resta) elemento a elemento a11 . . . a1n... . . . ...
am1 . . . amn
±
 b11 . . . b1n... . . . ...
bm1 . . . bmn
 =
=
 a11 + b11 . . . a1n + b1n... . . . ...
am1 + bm1 . . . amn + bmn

Operaciones elementales entre matrcies
Multiplicación de matrices. Dadas dos matrices A y B de
dimensión m × n y n × p, el producto A.B se define a11 . . . a1n... . . . ...
am1 . . . amn
 .
 b11 . . . b1p... . . . ...
bn1 . . . bnp
 =
=
 a11b11 + · · ·+ a1nbn1 . . . a11b1p + · · ·+ a1nbnp... . . . ...
am1b11 + · · ·+ amnbn1 . . . am1b1p + · · ·+ amnbnp

Matriz inversa. Dada una matriz A de dimensión n × n, se define
la matriz inversa de A, que escribimos A−1, como aquella matriz
que multiplicada por A devuelve la matriz identidad. Nótese que
(AB)−1 = B−1A−1
A es una matriz invertible si y sólo si |A| 6= 0.
Matrices especiales
I Matriz diagonal. Es aquella matriz cuadrada A en la que al
meno un elemento aij 6= 0 si i = j y aij = 0 en caso contrario.
La inversa de toda matriz diagonal es una matriz diagonal
cuyos elementos no nulas son los inversos multiplicativos del
correspondiente elemento de la matriz original.
I Matriz identidad. Se define como aquella matriz I cuyos
elemenos diagonales son iguales a 1. Nótese que para toda
matriz A de dimensión m × n
InA = A y AIm = A
I Matriz nula y matriz unitaria. Matriz nula es toda matriz
cuyos elementos son iguales a 0. Matriz unitaria es toda
matriz cuyos elemeneto son iguales a 1.
Matrices especiales
I Matriz traspuesta. Es aquella matriz A′ cuyo elemento aij
ha sido reemplazado por el elemento aji . O sea, la primer fila
de A pasa a ser la primer columna de A′, la segunad fila, la
segunda columna, etc. Nota: (AB)′ = B′A′.
I Matriz simétrica. Es aquella matriz cuyo elemento aij = aji .
Para toda matriz A de n ×m los productos A′A y AA′
devuelven sendas matrices simétricas. La inversa de toda
matriz simétrica es también simétrica.
I Matriz positiva definida. Es toda matriz cuadrada A que
premultiplicada por cualquier vector (no nulo) w′ y
postmultiplicada por w es mayor a 0, es decir w′Aw > 0. Si
w′Aw ≥ 0 se dice que A es una matriz semidefinida positiva.
I Matriz idempotente. Es aquella matriz que multiplicada por
śı misma devuelve la misma matriz, es decir, si A es
idempotente, AA = A.
Otras operaciones entre matrices
I Traza de una matriz. Es la suma de los elementos diagonales
de una matriz cuadrada. Es decir, si A tiene dimensión n × n,
entonces tr(A) = a11 + · · ·+ ann. Propiedad de la traza:
tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)
A, B, C conformables. Se dice que la traza “rota”.
I Diagonalización de matrices. Consiste en descomponer la
matriz cuadrada A en el producto de tres matrices de la
misma dimensión
A = PDP−1
donde P es una matriz invertible de autovectores o vectores
propios y D es una matriz diagonal de autovalores o valores
propios. ¡Atención! No toda matriz cuadrada es
diagonalizable, al menos en el campo de los números reales.
Otras operaciones entre matrices
I Si A es una matriz simétrica, entonces P−1 = P′. Nótese
además que
A−1 = (PDP−1)−1 = PD−1P−1
I Determinante de una matriz. En matrices de 2× 2 el
determinante se define
|A| =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11 a22 − a21 a12
Para matrices de mayor dimensións el determinante se calcula
a través de la regla de Laplace.
I Producto Kronecker. El producto tensorial de Kronecker
A⊗ B se define
A⊗ B =
 a11B . . . a1nB... . . . ...
am1B . . . amnB

Derivadas matriciales
I Para la deducción del estimador ḿınimo cuadrático
apelaremos a la derivadación matriciales de las siguientes dos
funciones
∂Ax
∂x
= A′ y
∂x′Ax
∂x
= A + A′
donde A no es función de x. Al igual que en derivadas
escalares, las derivadas de matrices son distributivas respecto
de la suma y la resta.
I Notar que si A es una matriz simétrica, entonces
∂x′Ax
∂x
= 2A.