S09 s1 - Material - Matrices

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MATRICES
TIPOS Y OPERACIONES 
¿Para qué me sirven?
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
Resuelven muchos problemas:
 En la ingeniería se usa en las Celosías Planas, que me llevan a resolver sistemas de ecuaciones.
 Transmisión de calor en Placas, aquí se ve la distribución de temperaturas.
Finalmente todo con el cálculo matricial
• Estudio del genoma 
humano
• Circuitos eléctricos
• Presiones hidrostáticas
• Análisis de velocidades
• Espejos dieléctricos
• Teoría de grafos, redes
• etc.
https://es.slideshare.net/lopezcolina/2-celosas
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funcionamiento3-color-esp.png
https://es.slideshare.net/lopezcolina/2-celosas
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante ubica los elementos de una matriz por 
medio de la lectura de filas y columnas e identifica los diferentes tipos de 
matrices y realiza operaciones con matrices.
Datos/Observaciones
TIPOS OPERACIONES
¿Qué es una matriz?.
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
Una matriz 𝐴𝑚×𝑛es un arreglo rectangular 𝑚× 𝑛 de números dispuestos en 𝑚 filas
(reglones) y 𝑛 columnas.
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑚×𝑛
fila 1
columna 3
Ahhh ¡entonces 
ésta matriz tiene m
filas y n columnas!
1 TIPOS DE MATRICES
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
Matriz Fila 
 Matriz 
Columna 
 
 Matriz 
Rectangular 
 
 Matriz 
Cuadrada 
 
 
1 TIPOS DE MATRICES
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
Matriz Nula 
 
Matriz 
Triangular 
Superior 
 
 
Matriz 
Triangular 
Inferior 
 
 
Matriz 
Diagonal 
 
 
Matriz 
Identidad ( 𝐼 ) 
 
 
1 TIPOS DE MATRICES
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
Matriz 
Transpuesta 
 
 
 
 
Matriz Simétrica 
𝐴 = 𝐴𝑡 
 
 
Matriz Antisimétrica 
𝐴𝑡 = −𝐴 
 
 
2 OPERACIONES CON MATRICES
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 𝐵 ∙ 𝐴
SUMA: Solo si 
tienen el mismo 
orden
PRODUCTO:
Solo si las 
columnas de la 
1ra coinciden con 
las filas de la 
2da.
𝐴 ± 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
± 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛 𝐴𝑚× 𝑝 ∙ 𝐵𝑝 ×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛
𝑘 es un número 
llamado escalar.
𝑘𝐴 = 3
2 3
−7 1
=
6 9
−21 3
No está definida 
para matrices.
𝑘𝐴
𝑘 ∙ 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
2 OPERACIONES CON MATRICES
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
𝐴𝑚×𝑛 ÷ 𝐵𝑞×𝑛 = 𝑁𝑂 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒
PRODUCTO POR 
UN ESCALAR:
DIVISIÓN:
2.1 ERROR EN LA SUMA
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
Solo se suman matrices 
del mismo orden
𝐴 + 𝐵 =
3 −1
5 2 𝟐×𝟐
+
0 1
−1 5
6 −4 𝟑×𝟐
NO se pueden sumar matrices con diferentes ordenes
2𝑥2 ≠ 3𝑥2
2.2 ERROR EN LA MULTIPLICACIÓN
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
𝐴 ∙ 𝐵 =
0 −1
−5 10 2×2
Tiene que coincidir la 
columna de A con la fila 
de B𝐴 ∙ 𝐵 =
0 1
−1 5 2×2
∙
3 −1
5 2 2×2
NO se debe multiplicar término a término
𝐴 ∙ 𝐵 =
0 1
−1 5 2×2
∙
3 −1
5 2 2×2
=
0 + 5 0 + 2
−3 + 25 1 + 10
=
5 2
22 11
2.3 ERROR EN LA POTENCIA
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
𝐴2 =
32 −1 2
52 22
Se multiplica 𝐴 ∙ 𝐴
=
9 1
25 4
𝐴2 =
3 −1
5 2
∙
3 −1
5 2
=
9 − 5 −3 − 2
15 + 10 −5 + 4
=
4 −5
25 −1
NO se debe elevar cada término al cuadrado
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Determine 𝑀 = 𝐴𝐵 + 2𝐴, siendo:
𝐴 =
1 −2 0
3 −1 2 2×3
𝐵 =
1 3 1
0
−1
−4
0
2
5 3×3
Solución:
𝐴𝐵 =
1 −2 0
3 −1 2 2𝑥3
1 3 1
0 −4 2
−1 0 5 3𝑥3
𝐴𝐵 =
1 + 0 + 0 3 + 8 + 0 1 − 4 + 0
3 + 0 − 2 9 + 4 + 0 3 − 2 + 10 2𝑥3
𝐴𝐵 =
1 11 −3
1 13 11 2𝑥3
𝑀 = 𝐴𝐵 + 2𝐴
𝑀 =
1 11 −3
1 13 11 2𝑥3
+ 2
1 −2 0
3 −1 2 2𝑥3
𝑀 =
1 11 −3
1 13 11 2𝑥3
+
2 −4 0
6 −2 4 2𝑥3
𝑀 =
3 7 −3
7 11 15 2𝑥3
Rpta.: 𝑴 =
𝟑 𝟕 −𝟑
𝟕 𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝟐𝒙𝟑
MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Si 𝐴 =
1 2 −3
2 0 4
0 3 −2
; 𝐵 =
0 −1 1
3 2 2
1 5 −4
Determine 𝑋 si 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐵2 − 2𝑋
Solución:
2𝑋 = 𝐵2 − 𝐴 + 𝐵 𝑡
𝐵2 =
0 −1 1
3 2 2
1 5 −4
0 −1 1
3 2 2
1 5 −4
𝐵2 =
0 − 3 + 1 0 − 2 + 5 0 − 2 − 4
0 + 6 + 2 −3 + 4 + 10 3 + 4 − 8
0 + 15 − 4 −1 + 10 − 20 1 + 10 + 16
2𝑋 =
−2 3 −6
8 11 −1
11 −11 27
−
1 2 −3
2 0 4
0 3 −2
+
0 −1 1
3 2 2
1 5 −4
𝑡
2𝑋 =
−2 3 −6
8 11 −1
11 −11 27
−
1 1 −2
5 2 6
1 8 −6
𝑡
2𝑋 =
−2 3 −6
8 11 −1
11 −11 27
−
1 5 1
1 2 8
−2 6 −6
Rpta: 𝑋 =
1
2
−3 −2 −7
7 9 −9
13 −17 33
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. Si 𝐴 es una matriz identidad, Calcular 𝑥𝑦𝑧 + 𝑚𝑛𝑝 + 𝑞𝑟𝑡 si: 𝐴 =
𝑥 𝑚 − 1 𝑛 − 2
𝑞 + 1 𝑦 𝑝 − 3
𝑟 + 2 𝑡 + 3 𝑧
2. Si 𝐴 =
3 1 −2
−7 1 4
8 3 6
, 𝐵 =
6 7 −5
8 4 −2
−1 9 1
𝑦 𝐶 =
6 3 −7
12 5 −6
−1 14 10
, Resolver la Siguiente Ecuación:
2 𝑋 − 2𝐶 = 3𝑋 − 𝐶 − 2 𝐴 + 2𝐵 − 𝑋
3. En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra que la matriz 𝐴 =
1 𝑥 0
0 0 𝑦
0 0 𝑧
y del producto 𝐴2𝐴𝑡 solo se puede 
leer la última columna 
∗ ∗ −6
∗ ∗ 2
∗ ∗ −1
. Hallar 𝑥 + 𝑦 + 𝑧.
4. Si 𝐴 =
1 𝑎 − 𝑏 −1
2 3 𝑏
𝑏 − 𝑥 𝑎 − 𝑥 4
es una matriz simétrica, hallar 𝐴2.
5. Escribir Explícitamente las siguientes Matrices:
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐾
3𝑥2 / 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 2𝑗
𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝐾
3𝑥4 / 𝑏𝑖𝑗 = max (𝑖, 𝑗)
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Saber identificar los distintos tipos de matrices.
2. No podemos sumar ni restar si las matrices no 
tienen el mismo orden.
3. Para multiplicar dos matrices, el número de 
columnas de la primera matriz debe ser igual al 
número de filas de la segunda matriz.
Datos/Observaciones
Matrices
Datos/Observaciones
FINALMENTE
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la importancia en 
la vida cotidiana del cálculo 
matricial 
Ésta sesión quedará 
grabada
PARA TI
1. Revisa los ejercicios 
indicados y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.