S14 s1 - Material - Hipérbola

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SECCIONES CÓNICAS
LA HIPÉRBOLA
¿Cuál es la utilidad del estudio de la
Hipérbola?
Muchas personas aprenden acerca de esta forma durante sus cursos de álgebra en la preparatoria o colegio,
pero no es obvio el por qué esta forma es importante. La hipérbola tiene unas cuantas propiedades que le
permiten jugar un papel importante en el mundo real. Muchos campos usan la hipérbolas en sus diseños y
predicciones de fenómenos..
Las señales de los sistemas de radio 
emplean funciones hiperbólicas. Un 
sistema de radio importante, LORAN, 
identifica posiciones geográficas usando 
hipérbolas. Los científicos y los ingenieros 
establecieron las estaciones de radio en 
posiciones de acuerdo con la forma de 
una hipérbola para poder optimizar el 
área cubierta por la señal de una 
estación.
Los sistemas de satélites pueden 
hacer mucho uso de las hipérbolas y 
las funciones hiperbólicas. Cuando 
los científicos lanzan un satélite al 
espacio, primero deben usar 
ecuaciones matemáticas para 
predecir su camino.
LA HIPÉRBOLA
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante identifica y grafica los elementos 
de la hipérbola. Reconoce las diferentes expresiones algebraicas que 
representan una hipérbola.
Datos/Observaciones
SECCIONES 
CÓNICAS
HIPÉRBOLA
El nombre de “secciones cónicas” se derivó del hecho de que estas figuras se encontraron 
originalmente en un cono. Cuando se hace intersecar un cono con un plano obtenemos distintas 
figuras. Cada una de ellas es una cónica.
LA HIPÉRBOLA
¡RECORDEMOS!
HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya diferencia de distancias 
a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2𝑎.
1 HIPÉRBOLA
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
Ecuación Canónica
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Ecuación General
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
𝐴 y 𝐵 son de diferente signo
LA HIPÉRBOLA
Eje Real: cuya longitud es de 2𝑎.
Eje imaginario: Recta 
perpendicular al eje focal que 
pasa por los vértices y el focos.
Vértice (𝑽): La hipérbola tiene 2 
vértices, la distancia entre ellos es 
de 2𝑎.
Foco (𝑭): La hipérbola tiene 2 
focos, la distancia entre ellos es 
de 2𝑐.
Directriz(𝑫): Recta fija que dista 
𝑎
𝑒
del centro. Y cuya distancia 
entre ambas rectas es 
2𝑎
𝑒
.
Lado recto (𝑳𝑹): Es una cuerda 
focal perpendicular al eje focal, 
cuya longitud es de 
2𝑏2
𝑎
.
LA HIPÉRBOLA
1.1 Elementos
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑒 =
𝑐
𝑎
2 HIPÉRBOLA
LA HIPÉRBOLA
Ecuación Canónica
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Ecuación de la 
asíntota
𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥
Ecuación de la 
Directriz
𝑥 = ±
𝑎
𝑒
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
Ecuación General
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
𝐴 y 𝐵 son de diferente signo
Ecuación de la asíntota
𝑦 − 𝑘 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ)
Ecuación de la Directriz
𝑥 = ±
𝑎
𝑒
+ h
2 HIPÉRBOLA
LA HIPÉRBOLA
Ecuación Canónica
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Ecuación de la 
asíntota
𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑥
Ecuación de la 
Directriz
𝑦 = ±
𝑎
𝑒
Ecuación Ordinaria
𝑦 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑥 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
Ecuación General
𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
𝐴 y 𝐵 son de diferente signo
Ecuación de la asíntota
𝑦 − 𝑘 = ±
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ)
Ecuación de la Directriz
𝑦 = ±
𝑎
𝑒
+ k
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Determine la ecuación canónica de la hipérbola y las asíntotas a partir de los 
datos dados: foco 𝐹(4,0) y vértice 𝑉(2,0)
SOLUCIÓN:
LA HIPÉRBOLA
ቊ
𝑐 = 4
𝑎 = 2
𝑏 = 42 − 22 = 2 3
El centro es (0,0):
⇒
𝑥2
4
−
𝑦2
12
= 1
Las asíntotas: 
𝑦 = ±
2 3
2
𝑥 ⇒ 𝑦 = ± 3𝑥
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Determine la excentricidad y la longitud del lado recto de la hipérbola de 
ecuación 4𝑥2 − 9𝑦2 = 36
SOLUCIÓN:
LA HIPÉRBOLA
⇒ ቊ
𝑎 = 3
𝑏 = 2
𝑐 = 32 + 22 = 13
El centro es (0,0):
⇒
𝑥2
32
−
𝑦2
22
= 1
excentrecidad: 
𝑒 =
𝑐
𝑎
⇒ 𝑒 =
13
3
Lado recto: 
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
⇒ 𝐿𝑅 =
8
3
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. El techo de un pasillo de 10 metros de ancho del Taj Mahal en Agra - India tiene la forma de una 
parábola con 12 metros de altura en el centro, así como de 8 metros de altura en las paredes 
laterales. Calcule Ud. la altura del techo a 3 metros de una de las paredes laterales de dicho 
pasillo.
2. Hallar la longitud del lado recto en la cónica : 𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0.
3. Una hipérbola tiene su centro en el origen y el eje transverso en el eje de las ordenadas. Si la 
distancia entre las directrices es 2 y su excentricidad es 2, hallar la ecuación de la hipérbola.
4. Los vértices de la siguiente cónica 16𝑥2 + 25𝑦2 − 1600 = 0, vienen a ser los focos de una 
hipérbola. Además las directrices pasan por los focos de la cónica dada inicialmente. Hallar la 
ecuación de la hipérbola.
5. Los focos de la cónica 25𝑥2 + 9𝑦2 − 225 = 0 coinciden con los focos de una hipérbola cuya 
excentricidad es 
4
3
, señale la ecuación de la hipérbola.
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Los elementos principales para la ecuación de la 
hipérbola son el centro y 2 valores “𝑎” y “𝑏”.
2. “𝑎” es la distancia del centro al vértice, “𝑐” la distancia del 
centro al foco.
3. Por Pitágoras se cumple que 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Datos/Observaciones
Aplicaciones Cónicas
Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Triunfo porque no pongo 
excusas, pongo soluciones.

Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.