Clase_2_M3

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Matemáticas III
Clase 2
Profesor : Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Polinomio de Taylor
Crecimiento y derivadas
Objetivos de la clase
I Conocer el polinomio de Taylor de una función real.
I Aplicar derivadas al estudio del crecimiento de una función.
Idea
• Dada f : R ! R (pueden ser otros dominios), sabemos que la ecuación
de la recta tangente al gráfico de f por el punto x0, f (x0)) es dada por
P1(x) = f (x0) + f
0(x0) · (x � x0).
• Note ahora que:
I Es directo ver que la función P1(x) evaluada en x0 es igual f (x0)
(P1(x0) = f (x0) + f 0(x0) · (x0 � x0) = f (x0)). Por lo tanto, se
cumple que
P1(x0) = f (x0).
I La derivada de P1(x) es f 0(x0) (constante ya que se trata de una
recta). Por lo tanto, si esa derivada la evaluamos en x0 el resultado
sigue siendo f 0(x0). En consecuencia, se cumple que
P 01(x0) = f
0(x0)
.
Idea
Como consecuencia de lo todo lo anterior, la recta tangente, que hemos
llamado P1(x), cumple con que:
P1(x0) = f (x0) y P
0
1(x0) = f
0(x0).
• Consideremos ahora una parábola
P2(x) = a · x2 + b · x + c
tal que se cumplen las siguientes condiciones:
I P2(x0) = f (x0) ) a · x20 + b · x0 + c = f (x0)
I P 02(x0) = f 0(x0) ) 2 · a · x0 + b = f 0(x0).
I P 002 (x0) = f 00(x0) ) 2 · a = f 00(x0).
Idea
Resolviendo el sistema anterior se obtienen los valores de a, b y c , que
luego de reemplazar en la expresión de P2(x), y haciendo algo de álgebra,
da como resultado que
P2(x) = f (x0) + f
0(x0) · (x � x0) +
f 00(x0)
2
· (x � x0)2.
En general, podemos preguntarnos por el siguiente polinomio de grado k
Pk(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ akxk
que cumple las siguientes condiciones:
I Pk(x0) = f (x0),
I P 0k(x0) = f 0(x0),
I P 00k (x0) = f 00(x0),
I ...
I P(k)k (x0) = f (k)(x0).
Polinomio de Taylor
Resolviendo el “sistema lineal anterior” se obtienen los coeficientes
a0, a1, · · · , ak , que luego de reemplazarlos en la expresión de Pk(x) y
ordenar los términos, da como resultado que
Pk(x) = f (x0)+f
0(x0)·(x�x0)+
f 00(x0)
2
·(x�x0)2+· · ·+
f (k)(x0)
k!
·(x�x0)k .
El polinomio Pk(x) se llama “polinomio de Taylor de orden k en torno a
x0 de la función f (x).
I Pk(x) es una aproximación polinómica de la función f (x) en torno
a x0 (es decir, en las cercańıas de x0).
I Mientras mayor el grado del polinomio, mejor es la aproximación.
Ejemplo 1 (polinomio de Taylor de la función exponencial)
Para la función f (x) = ex , para todo k 2 N se tiene que
f (k)(x) = ex .
Dado x0 = 0, se tiene que (x � x0)k = xk , y f (k)(x0 = 0) = e0 = 1. Por
lo tanto, cuando x0 = 0 se tiene que
Pk(x) = 1 +
x
1
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
k
k!
.
Sobre la base de lo anterior, dado k 2 N, se tiene que
ex ⇡ 1 + x
1
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
k
k!
.
I La aproximación anterior es tanto mejor mientras mayor es k .
I En particular, cuando x = 1 tenemos que una aproximación de e es
como sigue:
e ⇡ 1 + 1
1
+
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
k!
.
Motivación
Los siguientes gráficos corresponden a funciones crecientes.
Figura: Gráfico de funciones crecientes
Observación crucial
En todos los gráficos de la Figura 1 se observa que la derivada es
positiva.
Figura: Gráfico de funciones crecientes: derivada es positiva
Resultado fundamental
Lo que sigue se indica para dominio R, pudiendo ser otro dominio. Se
asume que la derivada de la función existe.
Una función f : R ! R es creciente si y sólo si f 0(x) > 0.
Siguiendo con la lógica de lo anterior, se tiene que
Una función f : R ! R es decreciente si y sólo si f 0(x) < 0.
Extensión del resultado
El resultado general que se tiene es el siguiente:
Una función f : R ! R es creciente en la región donde su derivada
es positiva, y es decreciente en la región donde su derivada es
negativa.
Figura: Función creciente - decreciente por tramos, y
signo de la derivada
Ejemplo 2
I Dado b > 0, con b 6= 1, estudiemos el crecimiento de la función
f : R ! R++ tal que f (x) = bx .
I Sobre esa función, ya sabemos que
f 0(x) = ln(b) · bx .
I Notemos ahora que si 0 < b < 1 entonces ln(b) < 0 y que si b > 1
entonces ln(b) > 0. Por lo tanto,
(a) f (x) es creciente cuando b > 1.
(b) f (x) es decreciente cuando 0 < b < 1.
Ejemplo 3
Analicemos el crecimiento de f : R ! R tal que f (x) = x2ex .
En este caso,
f 0(x) =
ex · 2x � x2 · ex
(ex)2
=
2x � x2
ex
.
I Ya que el denominador de f 0(x) es siempre positivo (ex > 0 para todo x),
el signo de la derivada “lo manda” el numerador. Se tiene entonces que
f 0(x) > 0 ) 2 · x � x2 > 0 ) x · (2� x) > 0.
I La desigualdad anterior se cumple cuando x > 0 y 2� x > 0 (el caso
x < 0 y 2� x < 0 lleva a la misma solución), es decir, cuando
x 2]0, 2[.
En consecuencia, la función f (x) = x
2
ex es creciente cuando x 2]0, 2[. Caso
contrario (es decir, x 2]�1, 0[[]2,+1[), ocurre que la función es
decreciente.
Figura: Gráfico de f (x) = x
2
ex
Ejemplo 4
(a) Dado ↵ > 0, ↵ 6= 1, analicemos el crecimiento de f : R++ ! R tal
que f (x) = x↵ (función potencia con exponente positivo).
• Como
f (x) = x↵ ) f 0(x) = ↵x↵�1.
• Ya que x > 0 ocurre que x↵�1 > 0, independiente del valor de ↵.
• Luego, f 0(x) = ↵x↵�1 > 0, por lo que f (x) = x↵ es creciente.
(b) Dado ↵ > 0, analicemos el crecimiento de g : R++ ! R tal que
g(x) = x�↵ (función potencia con exponente negativo).
• Como
g(x) = x�↵ ) g 0(x) = �↵x�↵�1 ) g 0(x) < 0.
• Luego g(x) = x↵ es decreciente.
Ejemplo 5
Analicemos el crecimiento de f (x) = x3 � 6x2 + 9x � 1. Notamos
entonces que
f 0(x) = 3x2 � 12x + 9 = 3 · (x2 � 4x + 3) = 3 · (x � 1) · (x � 3).
Luego:
(a) f (x) es creciente cuando 3 · (x � 1) · (x � 3) > 0, es decir, cuando
(i) : [(x � 1) > 0 ^ (x � 3) > 0] _ (ii) : [(x � 1) < 0 ^ (x � 3) < 0] .
Por (i) se tiene que x > 1 y x > 3, es decir, x > 3. Por (ii) tenemos
que x < 1 y x < 3, es decir, x < 1. Luego, f (x) es creciente cuando
x 2 ]�1, 1[| {z }
x<1
[ ]3,+1[| {z }
x>3
.
(b) Por lo anterior, f (x) es decreciente cuando x 2]1, 3[.