Clase_1_M3

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Matemáticas III
Clase 1
Profesor : Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Derivada de una función
Interpretación de la derivada
Derivada de funciones importantes
Reglas de derivación
Derivadas de orden superior
Objetivos de la clase
I Conocer el concepto de función derivable en un punto y de derivable
en un conjunto, y conocer la función derivada.
I Interpretar la derivada de una función en un punto.
I Conocer reglas de derivación
I Conocer derivadas de orden superior
Idea y concepto
Una función f : R ! R es derivable en el punto x̄ 2 R de su
dominio si existe el ĺımite
ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
el cual se denota como f 0(x̄). La cantidad f 0(x̄) se llama “derivada
de f evaluada en x̄”.
• Cuando la derivada de una función f : R ! R existe en todos los
puntos de un conjunto A ⇢ R se dice que f es derivable en A.
Ejemplo 1
Veamos si la función f : R+ ! R tal que f (x) =
p
x es derivable (tiene
derivada) en un punto x̄ 2 R. Primero, dado h 2 R notamos que
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
=
p
x̄ + h �
p
x̄
h
.
Cuando h tiende a 0 ocurre que el numerador y el denominador de lo
anterior tienden a cero. Por esto, segundo, antes de calcular ese ĺımite
debemos hacer un “poco de álgebra”:
f (x̄ + h)� f (x̄) =
p
x̄ + h �
p
x̄ ·
p
x̄ + h +
p
x̄p
x̄ + h +
p
x̄
=
x̄ + h � x̄p
x̄ + h +
p
x̄
=
hp
x̄ + h +
p
x̄
Ejemplo 1
Por lo tanto:
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
=
h
h (
p
x̄ + h +
p
x̄)
=
1p
x̄ + h +
p
x̄
.
Tercero, luego de haber hecho las simplificaciones correspondientes
estamos en condiciones de calcular el ĺımite que nos interesa:
ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
= ĺım
h!0
1p
x̄ + h +
p
x̄
=
1
2
p
x̄
.
Note que el lado derecho de lo anterior existe cuando x̄ > 0, es decir, la
derivada de f (x) =
p
x existe cuando x̄ > 0.
Pendiente de la tangente
Figura: Ĺımite de pendientes de secantes es la pendiente
de la tangente: la derivada
f 0(x̄) = pendiente de la tangente = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Ejemplo 1
Figura: Evaluada en x, derivada de f (x) =
p
x es f 0(x) = 1
2
p
x
• La ecuación de la recta tangente en la figura anterior es:
y � f (x̄) = f 0(x̄) · (x � x̄) ) y =
p
x̄ +
1
2
p
x̄
· (x � x̄).
Derivada como “cambio marginal”
I Entre otros, una fabrica usa trabajadores para producir cierto
producto.
I Haciendo abstracción, habiendo fijados todos los otros factores,
supongamos que la función “f (x)” nos dice cuanto es la producción
en función de la cantidad “x” de trabajadores (simplificación de la
realidad).
I Si he contratado x̄ trabajadores, se produce f (x̄) cantidad de
producto.
I ¿Cuál es la producción si contrato una persona más?
Resp. En ese caso, la cantidad de trabajadores es x̄ + 1, por lo que
ahora la firma produce f (x̄ + 1) cantidad de producto.
I Por lo anterior, f (x̄) es el nivel de producción con x̄ trabajadores, y
f (x̄ + 1) es el nivel de producción con x̄ + 1 trabajadores.
Derivada como “cambio marginal”
I ¿Cuánto aporta al nivel de producto el hecho de haber contrato una
persona más?
Resp. Ya que el nivel inicial es f (x̄) y el nivel final es f (x̄ + 1), el
aporte que hace la última persona contratada es la diferencia de
esos niveles:
f (x̄ + 1)� f (x̄).
I La cantidad anterior es el producto marginal que se obtiene
contratando un trabajador más. Es decir, es la cantidad extra de
producto que elabora la firma por el hecho que contrata a una
persona más (a partir de x̄).
Note ahora que:
f 0(x̄) = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Por lo tanto, si en vez de tomar ĺımite h ! 0 se reemplaza por h = 1:
f 0(x̄) ⇡ f (x̄ + 1)� f (x̄)
1
.
En consecuencia, la derivada de la función f evaluada en x̄ es una
aproximación del producto marginal.
I La lectura es como sigue: si la función de producción en términos de
la cantidad de trabajadores es
f (x) =
p
x
entonces con x̄ personas produce f (x̄) =
p
x̄ cantidad de producto,
pero si contrata una persona más, entonces la cantidad de producto
se incrementa en el valor del producto marginal, es decir, se
incrementa en
1
2
p
x̄
.
I En otras palabras, el aporte en producto que hizo la última persona
que se contrató es
1
2
p
x̄
.
Funciones potencia y función exponencial
• Función potencia: definida en el dominio que corresponda:
Para a 2 R, si f (x) = xa entonces
f 0(x) = a · xa�1.
I f (x) = 1p
x
= x�1/2 entonces f 0(x̄) = � 12 · x̄
�1/2�1 = � 1
x̄3/2
.
I f (x) = x3/2 entonces f 0(x̄) = 3/2 · x̄3/2�1 = 32 ·
p
x̄ .
I f (x) = 1x2 = x�2 entonces f 0(x̄) = �2 · x̄�2�1 = � 2x̄3 .
• Función exponencial:
Si f (x) = ex entonces
f 0(x) = ex .
Reglas de suma y ponderación, producto y cociente
En lo que sigue, ↵,� 2 R y f , g : R ! R. Se tiene que:
• Regla de la suma y la ponderación:
(↵ · f (x) + � · g(x))0 = ↵ · f 0(x) + � · g 0(x).
• Regla del producto:
(f (x) · g(x))0 = f 0(x) · g(x) + f (x) · g 0(x).
• Regla del cociente g(x) 6= 0):
✓
f (x)
g(x)
◆0
=
g(x) · f 0(x)� f (x) · g 0(x)
(g(x))2
Regla de la cadena
Dadas f1 : R ! R y f2 : R ! R (pueden ser otros dominios) y dada
f : R ! R tal que f (x) = (f2 � f1)(x) = f2(f1(x)), se tiene que
f 0(x) = f 02 (f1(x)) · f 01 (x).
Notas.
I Es importante “notar” el orden en que van las derivadas: no es lo
mismo aplicar la regla de la cadena a f2(f1(x)) que aplicarla a
f1(f2(x)):
(f2(f1(x)))
0 = f 02 (f1(x)) · f 01 (x), (f1(f2(x)))0 = f 01 (f2(x)) · f 02 (x).
I De manera natural la regla de la cadena se puede extender cuando
se componen tres o más funciones.
Derivada de la función inversa
Si f tiene inversa, digamos, f �1, sabemos que
(f � f �1)(x) = x , f (f �1(x)) = x .
Derivando ambos lados de la parte derecha de lo anterior (usar cadena)
se tiene que f 0(f �1(x)) · (f �1)0(x) = 1, y luego:
(f �1)0(x) =
1
f 0(f �1(x))
.
Ejemplo 2
Calcular la derivada de f (x) = ex
2+a·x .
En este caso, identificamos f1(x) = x2 + a · x y f2(x) = ex , de modo que
f (x) = f2(f1(x)).
x
f1=) x2 + a · x f2=) ex
2+a·x .
Notamos ahora que:
I f 01 (x) = 2x + a
I f 02 (x) = ex . Luego, f 02 (4) = e4.
Por lo tanto:
f 0(x) = f 02 (f1(x)) · f 01 (x) = e f1(x) · f 01 (x) = ex
2+a·x · (2x + a).
Ejemplo 3
Calcular la derivada de f (x) = 2x .
En este caso, del hecho que 2 = e ln(2), notamos que
f (x) = e ln(2)·x .
Luego, identificamos f1(x) = ln(2) · x y f2(x) = ex de modo que
f (x) = f2(f1(x)).
Por lo tanto,
f 0(x) = f 02 (f1(x)) · f 01 (x) = e ln(2)·x · ln(2) = 2x · ln(2).
En general, si f (x) = ax (con a > 0) se tiene que
f 0(x) = ln(a) · ax .
Ejemplo 4
Calcular la derivada de f (x) = ex
2 ·
p
x .
Se debe aplicar regla del producto y la regla de la cadena:
f 0(x) = ex
2
· (
p
x)0 + (ex
2
)0 ·
p
x .
Ya que ex
2
= f2(f1(x)) con f1(x) = x2 y f2(x) = ex . Luego,
(ex
2
)0 = ex
2
· 2x ,
por lo que
f 0(x) = ex
2
· 1
2 ·
p
x
+
⇣
ex
2
· 2x
⌘
·
p
x
= ex
2
·
✓
1
2
p
x
+ 2 · x3/2
◆
.
Ejemplo 5
Calcular la derivada de
f (x) =
ex
2 ·
p
xp
1 + x2
.
En este caso debemos aplicar regla del cociente, del producto y de la
cadena (dos veces). Se tiene entonces que:
f 0(x) =
(
p
1 + x2) · (ex
2
·
p
x)0 � (ex
2
·
p
x) · (
p
1 + x2)0
(
p
1 + x2)2
=
p
1 + x2 · ex
2
·
⇣
1
2
p
x
+ 2 · x3/2
⌘
�
⇣
ex
2
·
p
x
⌘
· 2x
2·
p
1+x2
1 + x2
=
(1 + x2) · ex
2
·
⇣
1
2
p
x
+ 2 · x3/2
⌘
�
⇣
ex
2
·
p
x
⌘
· x
(1 + x2)3/2
Por ejemplo, evaluando en x = 1 se tiene que
f 0(1) =
2 · e · (1/2 + 2)� e
23/2
=
4 · e
23/2
.
Ejemplo 6
Dada f : R+ ! R+ tal que f (x) = x2, sabemos que la función inversa
(evaluada en x) es f �1(x) =
p
x , cuya derivada es 1
2·
p
x
. Obtengamos ese
resultado usando la regla general de la derivada de la función inversa:
I f (x) = x2 por lo que f 0(x) = 2 · x . Luego, evaluada en 4 se tiene
que f 0(4) = 2 ·4.
I Sabemos que f �1(x) = px .
I Luego:
[f �1]0(x) =
1
f 0(f �1(x))| {z }
2·f �1(x)
=
1
2 ·
p
x
.
Ejemplo 7: derivada del logaritmo natural
Considere f (x) = ex , cuya función inversa es
f �1(x) = ln(x).
Se tiene entonces que:
I Primero, para f (x) = ex entonces f 0(x) = ex. Luego,
f 0(4) = e4.
I Segundo, f �1(x) = ln(x).
I Tercero, por regla de la función inversa tenemos que:
(f �1)0(x) =
1
f 0(f �1(x))
) (f �1)0(x) = 1
e ln(x)
=
1
x
.
La derivada del logaritmo natural es
[ln(x)]0 =
1
x
.
Ejemplo 8
Si f (x) = ln(g(x)) (por ejemplo, f (x) = ln(1 + x2)), entonces
f (x) = f2(f1(x))
donde f1(x) = g(x) y f2(x) = ln(x). Luego, f 02 (x) =
1
x , y por regla de la
cadena, se tiene que:
f 0(x) = [ln(g(x))]0 · g 0(x) = 1
g(x)
· g 0(x).
Por ejemplo, para f (x) = ln(1 + x2) se tiene que
f 0(x) =
2 · x
1 + x2
.
Idea y concepto
I La primera derivada de función f (x) es f 0(x).
I La segunda derivada de la función f (x) es la “derivada de primera
derivada”, f 00(x) = [f 0(x)]0.
I La tercera derivada de la función f (x) es la “derivada de segunda
derivada”,
f (3)(x) = [f 00(x)]0.
I Se continua aśı, para definir la derivada k 2 N de la función f (x)
como la derivada de la derivada k � 1. La k derivada se denota
como:
f (k)(x).
Ejemplo 9
Para una función polinómica de grado k :
f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + · · ·+ ak�1xk�1 + ak · xk
se tiene que
f 0(x) = a1 + a2 · 2 · x + a3 · 3 · x2 + · · ·+ ak�1 · (k � 1) · xk�2 + ak · k · xk�1.
f 00(x) = a2 ·2+a3 ·2 ·3 ·x+ · · ·+ak�1 ·(k�1) ·(k�2)xk�3+ak ·k ·(k�1) ·xk�2.
Se puede continuar con el proceso de derivación para obtener que la
derivada k de la función polinómica (de grado k) es
f (k)(x) = ak · k · (k � 1) · (k � 2) · · · 3 · 2 · 1.
La cantidad 1 · 2 · 3 · · · k se llama “factorial de k” y se representa como
k!. A este respecto, se acepta la convención de que 0! = 1.
I Usando lo anterior, tenemos que f (k)(x) = ak · k!.
I Por otro lado, note que para s > k se tiene: f (s)(x) = 0.