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Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Métodos Matemáticos II (ENMEM155) Primavera 2022 Tarea 3 1. Suma y producto de matrices Dados escalares α, β ∈ ]0, 1[, considere la matriz A = 1 0 10 α 0 0 0 β . Justificando detalladamente sus argumentos, calcule 803∑ k=223 Ak. Respuesta: Note que A2 = 1 0 1 + β0 α2 0 0 0 β2 , A3 = 1 0 1 + β + β20 α3 0 0 0 β3 , A4 = 1 0 1 + β + β2 + β30 α4 0 0 0 β4 , 1 0 10 α 0 0 0 β 1 0 n−1∑ k=0 βk 0 αn 0 0 0 βn = 1 0 n∑ k=0 βk 0 αn+1 0 0 0 βn+1 . Por lo tanto, An = 1 0 n−1∑ k=0 βk 0 αn 0 0 0 βn = 1 0 1−βn1−β0 αn 0 0 0 βn , ∀n ∈ N. Lo anterior nos asegura que ∑803 k=223 A k = ∑803 k=223 1 0 1−βk1−β0 αk 0 0 0 βk = 803∑ k=223 1 0 803∑ k=223 1−βk 1−β 0 803∑ k=223 αk 0 0 0 803∑ k=223 βk = 581 0 5811−β − ( 903∑ k=0 βk− 222∑ k=0 βk ) 1−β 0 903∑ k=0 αk − 222∑ k=0 αk 0 0 0 903∑ k=0 βk − 222∑ k=0 βk = 581 0 581 1−β − ( 1−β903 1−β − 1−β222 1−β ) 1−β 0 1−α 903 1−α − 1−α222 1−α 0 0 0 1−β 903 1−β − 1−β222 1−β . Página 1 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Considere la siguiente definición alternativa de multiplicación de matrices de R2×2, conocida como producto de Hadamard : ( a1 b1 c1 d1 ) · ( a2 b2 c2 d2 ) = ( a1a2 b1b2 c1c2 d1d2 ) . Justificando detalladamente sus argumentos, demuestre o dé un contraejemplo para cada una de las siguientes afirmaciones: (i) Dadas matrices A,B ∈ R2×2, tenemos que A ·B = B ·A. (ii) Existe un único U ∈ R2×2 tal que U ·A = A · U = A para toda matriz A ∈ R2×2. (iii) Si las columnas de A ∈ R2×2 son vectores linealmente independientes de R2, entonces existe una única B ∈ R2×2 tal que A ·B = U . Respuesta: (i): Si A = ( a1 b1 c1 d1 ) y B = ( a2 b2 c2 d2 ) , entonces la conmutatividad del producto de escalares nos asegura que A ◦B = ( a1a2 b1b2 c1c2 d1d2 ) = ( a2a1 b2b1 c2c1 d2d1 ) = B ◦A. (ii): Es fácil verificar que la matriz U = ( 1 1 1 1 ) cumple las condiciones del enunciado (Ud. deb́ıa verificarlo en detalle). (iii): La afirmación es falsa. Por ejemplo, si A = ( 1 1 1 0 ) entonces las columnas de A son linealmente independientes. Sin embargo, para toda matriz B = ( a b c d ) tenemos que A ◦B = ( 1 1 1 0 ) ◦ ( a b c d ) = ( a b c 0 ) ̸= ( 1 1 1 1 ) . Dadas las matrices A = 3 2 7−5 4 8 10 4 4 B = 3 −5 57 6 2 4 5 −7 Calcule X ∈ R3x3 sabiendo que : At +B = 2Bt −A+X Página 2 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Respuesta: At = 3 −5 102 4 4 7 8 4 At +B = 6 −10 159 10 6 11 13 –3 Bt = 3 7 4−5 6 5 5 2 −7 2Bt = 6 14 8–10 12 10 10 4 –14 2Bt–A = 3 12 1−5 8 2 0 0 −18 X = At +B–(2Bt–A) = 9 2 164 18 8 11 13 −21 Dada la matriz A = 1 −3 −12 −2 6 3 1 −3 Determine A·A a través del método de combinaciones lineales y usando producto interno Respuesta: Por Combinación Lineal Columna 1 C1 = 1 12 3 + 2 −3−2 1 + 3 −16 −3 = −816 −4 Columna 2 C2 = (−3) 12 3 + (−2) −3−2 1 + 1 −16 −3 = 24 −14 Página 3 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Columna 3 C3 = (−1) 12 3 + 6 −3−2 1 + (−3) −16 −3 = −16−32 12 En consecuencia, AA = −8 2 −1616 4 −32 −4 −14 12 Cálculo a través de Producto interno P11 = 1−3 −1 ∗ 12 3 = 1 ∗ 1 + (–3) ∗ 2 + (–1) ∗ 3 = –8 P12 = 1−3 −1 ∗ −3−2 1 = 1 ∗ (−3) + (–3) ∗ (−2) + (–1) ∗ 1 = 2 P13 = 1−3 −1 ∗ −16 −3 = 1 ∗ (−1) + (–3) ∗ 6 + (–1) ∗ (−3) = –16 P21 = 2−2 6 ∗ 12 3 = 2 ∗ 1 + (–2) ∗ 2 + 6 ∗ 3 = 16 P22 = 2−2 6 ∗ −3−2 1 = 2 ∗ (−3) + (–2) ∗ (−2) + 6 ∗ 1 = 4 P23 = 2−2 6 ∗ −16 −3 = 2 ∗ (−1) + (–2) ∗ 6 + 6 ∗ (−3) = –32 P31 = 31 −3 ∗ 12 3 = 3 ∗ 1 + 1 ∗ 2 + (−3) ∗ 3 = –4 P32 = 31 −3 ∗ −3−2 1 = 3 ∗ (−3) + 1 ∗ (−2) + (–3) ∗ 1 = –14 P33 = 31 −3 ∗ −16 −3 = 3 ∗ −1 + 1 ∗ 6 + (–3) ∗ (−3) = 12 En consecuencia, AA = −8 2 −1616 4 −32 −4 −14 12 Página 4 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Dada la matriz: A = 1 0 10 1 0 1 0 1 Calcule A2, A3, ...., A128 Respuesta: A2 = A ·A = 1 0 10 1 0 1 0 1 · 1 0 10 1 0 1 0 1 = 2 0 20 1 0 2 0 2 A3 = A2 ·A = 2 0 20 1 0 2 0 2 · 1 0 10 1 0 1 0 1 = 4 0 40 1 0 4 0 4 A128 = 2127 0 21270 1 0 2127 0 2127 Sean las matrices: A = ( 5 3 3 2 ) , B = ( 2 x x 1 ) , C = ( 0 −1 −1 4 ) 1. Determinar el valor de x para que se verifique B2 = A. 2. Calcular el valor de x para que B + C = A−1. 3. Calcular el valor de x para que se verifique A−B + 12C = 3I Respuesta: 1. B2 = ( 2 x x 1 ) · ( 2 x x 1 ) = ( 4 + x2 3x 3x x2 + 1 ) = ( 5 3 3 2 ) ⇒ 4 + x2 = 5 → x = ±1 3x = 3 → x = 1 x2 + 1 = 2 → x = ±1 ⇒ x = 1 Página 5 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios 2. A = ( 5 3 3 2 ) ⇒ det(A) = 10− 9 = 1 ⇒ A−1 = 1 1 ( 2 −3 −3 5 ) = ( 2 −3 −3 5 ) B + C = A−1 ⇔ ( 2 x x 1 ) + ( 0 −1 −1 4 ) = ( 2 x− 1 x− 1 5 ) = ( 2 −3 −3 5 ) ⇒ x− 1 = −3 → x = −2. 3. A−B + 1 2 C = 3I ⇔ B = A+ 1 2 C − 3I( 2 x x 1 ) = ( 5 3 3 2 ) + 1 2 ( 0 −1 −1 4 ) − ( 3 0 0 3 ) = ( 2 52 5 2 1 ) → x = 5 2 Dadas las matrices: A = ( −1 1 2 k 0 1 ) , B = 0 1−1 0 k 2 1. Encuentre para qué valores de k la matriz BtAt tiene inversa. 2. Resolver la ecuación (AB)tX = I si k = 0. Respuesta: 1. A = ( −1 1 2 k 0 1 ) → At = −1 k1 0 2 1 B = 0 1−1 0 k 2 → Bt = (0 −1 k 1 0 2 ) C = BtAt = ( 0 −1 k 1 0 2 ) · −1 k1 0 2 1 = (2k − 1 k 3 k + 2 ) Para que C tenga inversa,se debe cumplir con que det(C) ̸= 0, es decir, 2k2−2 ̸= 0 → k ̸= ±1. 2. (AB)tX = I → X = [(AB)t]−1 · I = [(AB)t]−1 = [Bt ·At]−1 = C−1 → X = C−1 para k = 0: C = ( −1 0 3 2 ) y det(C) = −2 ⇒ C−1 = −1 2 ( 2 0 −3 −1 ) ⇒ ( −1 0 3 2 1 2 ) = X Página 6 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Sea A = 0 0 03 0 0 6 3 0 . 1. Calcular Ak para todos los valores posibles del entero positivo de k. 2. Sea B = I3 +A. Calcular B 3 Respuesta: Calcular Ak para todos los valores posibles del entero positivo de k. A0 = I3 A1 = A A2 = 0 0 03 0 0 6 3 0 · 0 0 03 0 0 6 3 0 = 0 0 00 0 0 9 0 0 A3 = A2 ·A = 0 0 00 0 0 9 0 0 · 0 0 03 0 0 6 3 0 = 0 0 00 0 0 0 0 0 = 03 Finalmente, para k > 3 se tiene que Ak−3 · 03 = 03 Sea B = I3 +A. Calcular B 21 B = 1 0 00 1 0 0 0 1 + 0 0 03 0 0 6 3 0 = 1 0 03 1 0 6 3 1 B2 = B ·B = 1 0 03 1 0 6 3 1 · 1 0 03 1 0 6 3 1 = 1 0 06 1 0 21 6 1 B3 = B2 ·B = 1 0 06 1 0 21 6 1 · 1 0 03 1 0 6 3 1 = 1 0 09 1 0 45 9 1 Sea A = ( 1 2 −2 1 ) y B = ( −1 3 4 5 ) ∈ M2(R), calcular: 1 7 · [ 4 · ( −2At + I2 ) − 2I2 + 3Bt ]t Página 7 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios Respuesta: Definiremos las matrices: At = ( 1 −2 2 1 ) Bt = ( −1 4 3 5 ) I2 = ( 1 0 0 1 ) ( −2At + I2 ) = −2 · ( 1 −2 2 1 ) + ( 1 0 0 1 ) = ( −1 4 −4 −1 ) [ 4 · ( −2At + I2 ) − 2I2 ] = 4 · ( −1 4 −4 −1 ) − 2 · ( 1 0 0 1 ) = ( −6 16 −16 −6 ) [ 4 · ( −2At + I2 ) − 2I2 + 3Bt ] = ( −6 16 −16 −6 ) + 3 · ( −1 4 3 5 ) = ( −9 28 −7 9 ) 1 7 · [ 3 · ( −2At + I2 ) − 2I2 + 3Bt ]t = ( −9/7 4 −1 9/7 ) Hallar la Matriz X que verifica la siguiente ecuación matricial:( 1 0 3 2 1 5 ) + ( 4 5 2 3 ) ·X = ( 0 0 4 3 6 14 ) Respuesta: Tenemos que: ( 1 0 3 2 1 5 ) + ( 4 5 2 3 ) ·X = ( 0 0 4 3 6 14 ) ( 4 5 2 3 ) ·X = ( −1 0 1 1 5 9 ) X = ( 4 5 2 3 )−1 · ( −1 0 1 1 5 9 ) X = ( 1, 5 −2, 5 −1 2 ) · ( −1 0 1 1 5 9 ) X = ( 1 12, 5 24 3 10 17 ) Determinar las matrices X e Y , sabiendo que: Página 8 de 9 MEM155 Universidad de Chile Facultad de Economı́a y Negocios 2X − 5Y = ( 1 −2 4 1 ) −Xt + (3Y )t = ( 2 3 4 0 ) Respuesta:Trasponiendo la segunda ecuación se tiene: [ −Xt + (3Y )t ]t = ( 2 3 4 0 )t −X + (3Y ) = ( 2 4 3 0 ) De esta manera, el sistema de ecuaciones: a) 2X − 5Y = ( 1 −2 4 1 ) b) −X + (3Y ) = ( 2 4 3 0 ) Sumamos: a)+ 2b) ⇒ Y = ( 1 −2 4 1 ) + 2 · ( 2 4 3 0 ) = ( 5 6 10 1 ) Reemplazando en b) −X + 3 · ( 5 6 10 1 ) = ( 2 4 3 0 ) ⇒ X = 3 · ( 5 6 10 1 ) − ( 2 4 3 0 ) X = ( 13 14 27 3 ) Página 9 de 9 Suma y producto de matrices
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