Pauta_Tarea_5_Primavera_2022

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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Métodos Matemáticos II (ENMEM155)
Primavera 2022
Tarea 5
Problema 1
Dada A ∈ Rm×n, explique por qué Ker(A) e Im(A) son subespacios vectoriales de Rn y Rm respectivamente.
Resp. Primero, el núcleo de A ∈ Rm×n está conformado por los vectores X ∈ Rn (la dimensión de esos
vectores es igual al número de columnas de A) tal que AX = 0m (debe ser igual a 0m ya que cuando X ∈ Rn,
el producto AX es una combinación lineal de las columnas de A, cada una de ellas un elemento de Rm). Es
decir:
Ker(A) = {X ∈ Rn : AX = 0m}.
Por lo tanto, es directo que 0n ∈ Ker(A) ya que A0n = 0m. Segundo, si X1, X2 ∈ Ker(A) entonces AX1 = 0m
y AX2 = 0m, por lo que A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 0m + 0m = 0m, de modo que X1 + X2 ∈ Ker(A).
Finalmente, dado β ∈ R, tenemos que A(βX1) = βAX1 = β0m = 0m, por lo que βX1 ∈ Ker(A). Por todo
lo anterior, Ker(A) es un subespacio vectorial de Rn.
La imagen de A es el conjunto de las combinaciones lineales de las columnas de A. Ya que esos son elementos
de Rm, la imagen de A es un subespacio vectorial de Rm. Visto de otra manera, dado Y ∈ Rm, el hecho que
Y ∈ Im(A) informa que existe un vector X ∈ Rn tal que Y = AX. Por lo tanto:
0m ∈ Im(A) ya que 0m = A0n (para Y = 0m el vector X correspondiente es 0n).
Si Y1, Y2 ∈ Im(A) entones existe X1 ∈ Rn y X2 ∈ Rn tal que Y1 = AX1 e Y2 = AX2. Luego,
Y1 + Y2 = AX1 +AX2 = A(X1 +X2), por lo que Y1 + Y2 ∈ Im(A).
Dado β ∈ R, βY1 = βAX1, por lo que βY1 = A(βX1), implicando que βY1 ∈ Im(A).
Problema 2
Dados α, β ∈ R, diferentes de 0, definamos
A =
[
1 α
]
∈ R1×2 ∧ B =
[
1
β
]
∈ R2×1.
(a) Muestre que Im(A) = R y que si X =
[
x1
x2
]
∈ Ker(A) entonces x1 = −αx2. Con esto último, explique
por qué Ker(A) es el subespacio vectorial generado por el vector[
−α
1
]
∈ R2.
Resp. Las columnas de A son los vectores unidimensionales (números reales) A•1 = 1 ∈ R y A•2 =
α ∈ R. Luego, la imagen de A son las combinaciones lineales de 1 y de α, es decir, α1 + α2α con α1 y
α2 recorriendo R. Con eso se obtiene cualquier número real, por lo que la imagen de A es R. Visto de
otra manera, ¿qué se obtiene multiplicando 1 por una cantidad arbitraria y sumando ese resultado con
el producto de α multiplicado por una cantidad cualquiera? La respuesta es que se obtiene un número
real cualquiera y, por ese hecho, la imagen de A es R.
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Para estudiar el núcleo, ya que A tiene dos columnas ocurre que los vectores del núcleo deben ser
vectores de R2. Por lo tanto, es por definición que si X =
[
x1
x2
]
∈ Ker(A) entonces AX = x1+αx2 = 0,
es decir, x1 = −αx2. De esta manera, un vector X =
[
x1
x2
]
está en núcleo de A si la primera componente
es igual a (−α) veces la segunda componente, es decir, el vector X es un ponderado del vector
[
−α
1
]
.
Eso corresponde a decir que el núcleo es generado por el vector
[
−α
1
]
. Visto de otra manera, como
x1 = −αx2 tenemos que
X =
[
x1
x2
]
=
[
−αx2
x2
]
= x2
[
−α
1
]
.
Como x2 es arbitrario, el vector X ∈ Ker(A) es una ponderación del vector
[
−α
1
]
.
(b) Explique por qué Ker(B) = {0}. Por otro lado, encuentre el valor de γ para que el vector
[
3
γ
]
∈ R2
esté en la imagen de B.
Resp. Ya que B tiene solo una columna, los elementos del núcleo de B son reales (vectores de dimensión
uno). Tenemos entonces que
X ∈ Ker(B) ⇐⇒
[
1
β
]
X =
[
0
0
]
,
cosa que se obtiene solo cuando X = 0. Luego, Ker(B) = {0}.
Para la segunda parte, el hecho que [
3
γ
]
∈ Im(B)
corresponde a decir que existe α1 tal que[
3
γ
]
= α1
[
1
β
]
⇐⇒ (i) : 3 = α1 ∗ 1 ∧ (ii) : γ = α1 ∗ β.
De (i) tenemos que α1 = 3 y eso en (ii) implica que γ = 3β.
Problema 3
Calcule los valores y vectores de la matriz:
A =
 1 2 16 −1 0
−1 −2 −1

Resp. Comenzamos con el paso 1: buscar sus valores propios. Como es una matriz de 3x3 tenemos que
cumplir que:
det(A− Iλ) = 0
det(AIλ) = det
1− λ 2 16 −1− λ 0
−1 −2 −1− λ
 = 0
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Con este último, tenemos que los valores propios son:
λ1 = 0 λ2 = 3 λ2 = −4
Seguimos con el paso 2: Encontrar un vector propio asociado a λ1, que llamamos v1, un vector propio
asociado a λ2, que llamamos v2 y un vector propio asociado a λ3, que llamamos v3. Partimos por λ1, el cual
sabemos cumple con:  1 2 16 −1 0
−1 −2 −1
x1x2
x3
 = 03
de lo cual aprendemos que todo vector propio asociado a λ1 cumple con:
x1 + 2x2 + x3 = 0
6x1 − x2 = 0
−x1 − 2x2 − x3 = 0
Con esto, la solución del sistema de ecuaciones se puede reducir a las siguientes relaciones: (6x1 = x2) y
(−13x1 = x3)
Con lo cual, el primer vector propio es:
v1 =
 16
−13

Realizando el mismo procedimiento para λ2, tenemos que:−2 2 16 −4 0
−1 −2 −4
x1x2
x3
 = 03
Con esto, la solución del sistema de ecuaciones se puede reducir a las siguientes relaciones: (3x1 = 2x2) y
(−x1 = x3)
Con lo cual, el segundo vector propio es:
v2 =
 11, 5
−1

Realizando el mismo procedimiento para λ3, tenemos que: 5 2 16 3 0
−1 −2 3
x1x2
x3
 = 03
Con esto, la solución del sistema de ecuaciones se puede reducir a las siguientes relaciones: (x1 = −2x2) y
(−x1 = x3)
Con lo cual, el segundo vector propio es:
v3 =
 1−2
−1

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Problema 4
Diagonzalice la siguiente matriz y determine A20
A =
3 1 01 3 0
0 0 3

Resp. Diagonalizamos la matriz A. Comenzamos con el paso 1: buscar sus valores propios. Como es una
matriz de 3x3 tenemos que cumplir que:
det(A− Iλ) = 0
det(AIλ) = det
3− λ 1 01 3− λ 0
0 0 3− λ
 = 0
Con este último, tenemos que los valores propios son:
λ1 = 2 λ2 = 3 λ2 = 4
Seguimos con el paso 2: Encontrar un vector propio asociado a λ1, que llamamos v1, un vector propio
asociado a λ2, que llamamos v2 y un vector propio asociado a λ3, que llamamos v3. Partimos por λ1, el cual
sabemos cumple con: 1 1 01 1 0
0 0 1
x1x2
x3
 = 03
de lo cual aprendemos que todo vector propio asociado a λ1 cumple con:
x1 + x2 = 0
x3 = 0
Con esto, la solución del sistema de ecuaciones se puede reducir a las siguientes relaciones: (x1 = −x2) y
(x3 = 0)
Con lo cual, el primer vector propio es:
v1 =
−11
0

Realizando el mismo procedimiento para λ2, tenemos que:0 1 01 0 0
0 0 0
x1x2
x3
 = 03
Con esto, la solución del sistema de ecuaciones se puede reducir a las siguientes relaciones: (x1 = 0) y (x2 = 0)
Con lo cual, el segundo vector propio es:
v2 =
00
1

Realizando el mismo procedimiento para λ3, tenemos que:
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−1 1 01 −1 0
0 0 0
x1x2
x3
 = 03
Con esto, la solución del sistema de ecuaciones se puede reducir a las siguientes relaciones: (x1 = x2)
Con lo cual, el segundo vector propio es:
v3 =
11
0

Continuamos con el paso 3: normalizar los vectores v1, v2, v3 y construir la matriz P :
v̂1 =
−1√21√
2
0
 v̂2 =
00
1
 v̂3 =
 1√21√
2
0

Luego, la matriz P viene dada por:
P =
−1√2 0 1√21√
2
0 1√
2
0 1 0

Por lo tanto, la diagonalización de A viene dada por:
A =
3 1 01 3 0
0 0 3
 =
−1√2 0 1√21√
2
0 1√
2
0 1 0
2 0 00 3 0
0 0 4
−1√2 1√2 00 0 1
1√
2
1√
2
0

Ya con la diagonalización de la matriz, podemos calcular A20 facilmente:
A20 = PD20P t
=
3 1 01 3 0
0 0 3
 =
−1√2 0 1√21√
2
0 1√
2
0 1 0
220 0 00 320 0
0 0 420
−1√2 1√2 00 0 1
1√
2
1√
2
0

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