Clase_18_Derivadas_3___2_

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Matemáticas I
Clase 18: Derivadas (3)
Mayo 2022
Agenda
Objetivos de la clase
Regla de la cadena
Aplicaciones de la regla de la cadena
Objetivos de la clase
I Conocer la regla de la cadena.
I Conocer aplicaciones de la regla de la cadena. En particular, conocer
la regla de la derivada de la función inversa.
Estableciendo la regla de la cadena
En lo que sigue, los dominios que correspondan se asumen conocidos, de
modo que no haremos referencia a ellos.
I La derivada de la función
f (x) =
p
1 + ex
no se puede obtener de las reglas “suma, producto, cociente”.
I La función f (x) es la composición de las funciones
f1(x) = 1 + e
x y f2(x) =
p
x ,
de modo que
f (x) = (f2 � f1)(x) = f2(f1(x)).
x
f1
=) f1(x) = 1 + ex
f2
=) f (x) = f2(f1(x)) =
p
1 + ex .
Continuación
I La derivada de f1 evaluada en x es f 01 (x) = ex .
I La derivada de f2 evaluada en x es
f 02 (x) =
1
2
p
x
.
I La derivada de f2 evaluada en 4 es
f 02 (4) =
1
2
p
4
.
I La derivada de f2 evaluada en f1(x) = 1 + ex es
f 02 (f1(x)) =
1
2
p
1 + ex
.
Regla de la cadena: la derivada de f (x) = f2(f1(x)) es
f 0(x) = f 02 (f1(x)) · f 01 (x) =
1
2
p
1 + ex
· ex = e
x
2
p
1 + ex
.
Regla de la cadena
Dadas f1 : R ! R y f2 : R ! R (pueden ser otros dominios) y dada
f : R ! R tal que f (x) = (f2 � f1)(x) = f2(f1(x)), se tiene que
f 0(x) = f 02 (f1(x)) · f 01 (x).
Nota.
I Primero, es importante notar el orden en que van las derivadas: no
es lo mismo aplicar la regla de la cadena a f2(f1(x)) que aplicarla a
f1(f2(x)).
I En ejercicios prácticos, es entonces importante identificar quién es el
f1 y quién es el f2. La función f1 es la primera que se aplica, y la
función f2 es la segunda que se aplica.
I De manera natural la regla se puede extender cuando se componen
tres o más funciones.
Ejemplos
Ejemplo
Calcular la derivada de f (x) = ex
2+a·x .
En este caso, identificamos f1(x) = x2 + a · x y f2(x) = ex , de modo que
f (x) = f2(f1(x)).
x
f1=) x2 + a · x f2=) ex
2+a·x .
Notamos ahora que:
I f 01 (x) = 2x + a
I f 02 (x) = ex . Luego, f 02 (4) = e4.
Por lo tanto:
f 0(x) = f 02 (f1(x)) · f 01 (x) = e f1(x) · f 01 (x) = ex
2+a·x · (2x + a).
Más ejemplos
Ejemplo
Calcular la derivada de f (x) = 2x .
En este caso, del hecho que 2 = e ln(2), notamos que
f (x) = e ln(2)·x .
Luego, identificamos f1(x) = ln(2) · x y f2(x) = ex de modo que
f (x) = f2(f1(x)).
Por lo tanto,
f 0(x) = f 02 (f1(x)) · f 01 (x) = e ln(2)·x · ln(2) = 2x · ln(2).
En general, si f (x) = ax (con a > 0) se tiene que
f 0(x) = ln(a) · ax .
Ejemplo
Calcular la derivada de f (x) = ex
2 ·
p
x (evaluada en x).
Para el caso, se debe aplicar regla de producto y regla de la cadena:
f 0(x) = ex
2
· (
p
x)0 + (ex
2
)
0 ·
p
x .
Ya que ex
2
= f2(f1(x)) con f1(x) = x2 y f2(x) = ex . Luego,
(ex
2
)
0
= ex
2
· 2x ,
por lo que
f 0(x) = ex
2
· 1
2 ·
p
x
+
⇣
ex
2
· 2x
⌘
·
p
x
= ex
2
·
✓
1
2
p
x
+ 2 · x3/2
◆
.
Y más ejemplos
Ejemplo
Calcular la derivada de
f (x) =
ex
2 ·
p
xp
1 + x2
.
En este caso debemos aplicar regla del cociente, del producto y de la
cadena (dos veces). Se tiene entonces que:
f 0(x) =
(
p
1 + x2) · (ex
2
·
p
x)0 � (ex
2
·
p
x) · (
p
1 + x2)0
(
p
1 + x2)2
=
p
1 + x2 · ex
2
·
⇣
1
2
p
x
+ 2 · x3/2
⌘
�
⇣
ex
2
·
p
x
⌘
· 2x
2·
p
1+x2
1 + x2
=
(1 + x2) · ex
2
·
⇣
1
2
p
x
+ 2 · x3/2
⌘
�
⇣
ex
2
·
p
x
⌘
· x
(1 + x2)3/2
Por ejemplo, se tiene que
f 0(1) =
2 · e · (1/2 + 2)� e
23/2
=
4 · e
23/2
.
Derivada de la función inversa
Si f tiene inversa, digamos, f �1, sabemos que
(f � f �1)(x) = x , f (f �1(x)) = x .
Derivando ambos lados de la parte derecha de lo anterior (usar cadena)
se tiene que:
f 0(f �1(x)) · (f �1)0(x) = 1 ) (f �1)0(x) = 1
f 0(f �1(x))
.
Es decir, la derivada de la función inversa es “1 dividido por la derivada
de la función, evaluada en la inversa de la imagen”.
Ejemplo
Dada f : R+ ! R+ tal que f (x) = x2, sabemos que la función inversa
(evaluada en x) es f �1(x) =
p
x , cuya derivada es 1
2·
p
x
. Obtengamos ese
resultado usando la regla general de la derivada de la función inversa:
I f (x) = x2 por lo que f 0(x) = 2 · x . Luego, evaluada en 4 se tiene
que f 0(4) = 2 ·4.
I Sabemos que f �1(x) = px .
I Luego:
[f �1]0(x) =
1
f 0(f �1(x))| {z }
2·f �1(x)
=
1
2 ·
p
x
.
Ejemplo importante: derivada del logaritmo natural
Considere f (x) = ex , cuya función inversa es
f �1(x) = ln(x).
Se tiene entonces que:
I Primero, para f (x) = ex entonces f 0(x) = ex . Luego,
f 0(4) = e4.
I Segundo, f �1(x) = ln(x).
I Tercero, por regla de la función inversa tenemos que:
(f �1)0(x) =
1
f 0(f �1(x))
) (f �1)0(x) = 1
e ln(x)
=
1
x
.
La derivada del logaritmo natural es
[ln(x)]0 =
1
x
.
Ejemplos
Ejemplo
Si f (x) = ln(g(x)) (por ejemplo, f (x) = ln(1 + x2)), entonces
f (x) = f2(f1(x))
donde f1(x) = g(x) y f2(x) = ln(x). Luego, f 02 (x) =
1
x , y por regla de la
cadena, se tiene que:
f 0(x) = [ln(g(x))]0 · g 0(x) = 1
g(x)
· g 0(x).
Por ejemplo, para f (x) = ln(1 + x2) se tiene que
f 0(x) =
2 · x
1 + x2
.
Ejemplos
Ejemplo
Si f (x) = xx , entonces h(x) = ln(f (x)) = x · ln(x). Luego,
h0(x) = x · 1
x
+ ln(x) = 1 + ln(x).
Pero, por regla de la cadena,
h0(x) =
1
f (x)
· f 0(x).
Combinando ambos resultados:
1
f (x)
· f 0(x) = 1 + ln(x) ) f 0(x) = xx · (1 + ln(x)).
Nota. Para la función f (x) = xx no se puede aplicar la regla de las
potencias, ya que esa sirve cuando el exponente es constante.