examen parcial de matematica computacional I

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICA
Examen Parcial de Matemática Computacional I
1. para una función continua, se quiere dar una fórmula de cuadratura𝑓: 𝑅2 → 𝑅
que aproxime con usando el teorema de Fubini de la∫
𝐷
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 ⊂ 𝑅2 
siguiente manera:
a. Si , se define la función , y luego𝐷 = [0, 1] × [0, 1] 𝐹(𝑥) =
0
1
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
● se aproxima los valores con la regla de𝐹(0) , 𝐹(1/2 ) , 𝐹(1)
Simpson.
● se aproxima usando otra vez la misma regla.
0
1
∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
hallar explícitamente la regla que se obtiene.
b. repetir el procedimiento y dar la fórmula correspondiente para el𝐷 
triángulo de vértices (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) 
c. Probar que si es el triángulo de vértices la𝐷 (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) 
fórmula anterior es exacta para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
2. se considera el problema
en𝑦'(𝑡) = 𝑦(𝑡) + 𝑡2 + 3 [− 2, 0]
𝑦(0) =− 2
a. hallar la solución de ecuación.
b. construir un algoritmo de Euler para este problema
c. Utilice los métodos de Euler , con para obtener laℎ = 0. 05
aproximaciones de la solución y graficarla.
d. encontra el error de aproximación y gráficas de las soluciones
3. demostrar la fórmula de derivación progresiva de orden 2
𝑓''(𝑥
0
) =
2𝑓(𝑥
0
)−5𝑓(𝑥
0
+ℎ)+4𝑓(𝑥
0
+2ℎ)−𝑓(𝑥
0
+3ℎ)
ℎ2
 + 𝑂(ℎ2)
4. resolver:
a. la fórmula de integración numérica
0
1
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎
0
𝑓(0) + 𝑎
1
𝑓(1) + 𝑎
2
𝑓'(1)
halle el valor de si existiera.𝑎
0
 , 𝑎
1
, 𝑎
2
b. considere la fórmula
0
1
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐
0
𝑓(0) + 𝑐
1
𝑓(1) + 𝑐
2
𝑓'(1) + 𝑐
3
𝑓'(0)
determine los valores de las constantes para que sea exacta.