Álgebra Básica em ℝ

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PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
Álgebra en ℝ 
 
 
 
 
 
 
 ➢➢➢ Sesión M – 5 / Álgebra en ℝ 
 
 
| Eje Temático: Álgebra Tareas: Identificar – Operar – Reconocer – Aplicar – 
 Sub – Eje: Expresiones Algebraicas Establecer – Calcular. 
 
Conceptos Algebraicos Básicos 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Término Algebraico 
 
Se define un término algebraico como la 
combinación multiplicativa entre un número real 
y una o varias variables. 
 
Ejemplos: −5𝑥 ; 3𝑥2𝑦 ; 2𝑎𝑏𝑐 ; −7𝑟2𝑠3𝑡 
 
Todo término algebraico está compuesto por un 
factor numérico y por un factor literal. Por 
ejemplo: 
 
−7 ⋅ 𝑟2𝑠3𝑡 
 
 Factor Factor 
 Numérico Literal 
 
Se define el grado de un término algebraico 
como la suma de los exponentes de las variables 
que componen al factor literal. 
 
Ejemplos: −7𝑟2𝑠3𝑡 tiene grado 6 
 2𝑥2𝑧 tiene grado 3 
 
 
Expresiones Algebraicas 
 
Se define una expresión algebraica como la 
combinación aditiva (suma o resta) entre 
expresiones algebraicas. 
 
Ejemplos: 𝑥2 + 𝑦2 ; 3𝑥3𝑡2 − 4𝑧5𝑤 ; etc. 
 
Se define el grado de una expresión algebraica 
como el valor máximo entre los grados de cada 
término que compone a la expresión. 
 
Ejemplos: El grado de 3𝑥3𝑡2 − 4𝑧5𝑤 
corresponde al valor máximo 
entre el grado de 3𝑥3𝑡2, el cual 
es (5) y el grado de 4𝑧5𝑤el cual 
es (6). Por lo tanto el grado de 
la expresión algebraica será 6. 
 
 
 
Tipos de Expresiones Algebraicas 
 
Monomios: Son aquellas expresiones 
algebraicas que cuentan con un solo 
término. 
 
Binomios: Son aquellas expresiones 
algebraicas que se componen de 
dos términos algebraicos de distinto 
factor literal. 
 
 Ejemplos: 𝑥 + 𝑦 ; 3𝑥2 − 𝑧3 ; 𝑥𝑦 + 𝑐𝑑 
 
Trinomios: Son aquellas expresiones 
algebraicas que se componen de 
tres términos algebraicos de distinto 
factor literal. 
 
 Ejemplos: 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ; 3𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 
 
Polinomios: Son expresiones algebraicas que 
corresponden a la suma de muchos 
términos algebraicos. 
 
 Ejemplos: 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥7 
 
 
Operaciones con Expresiones Algebraicas 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Lenguaje Coloquial v/s Algebraico 
 
Las expresiones básicas más usadas en la 
conversión del lenguaje coloquial al algebraico y 
viceversa son: 
 
• El sucesor de 𝑛 : 𝑛 + 1 
• El antecesor de 𝑛 : 𝑛 − 1 
• La diferencia entre 𝑥 e 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 
• El producto entre 𝑥 e 𝑦 : 𝑥𝑦 
• El cociente entre 𝑥 e 𝑦 : 𝑥/𝑦 
• El doble de 𝑥 : 2𝑥 
• El triple de 𝑥 : 3𝑥 
• El cuádruplo de 𝑥 : 4𝑥 
• La mitad de 𝑥 : 𝑥/2 
• La tercera parte de 𝑥 : 𝑥/3 
• La cuarta parte de 𝑥 : 𝑥/4 
• El cuadrado de 𝑥 : 𝑥2 
• El cubo de 𝑥 : 𝑥3 
 
 
 
 
 
 
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
NÚMEROS / ÁLGEBRA 
EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA 
Guía de Destrezas M – 5: Álgebra en ℝ 
 
 
Sesión M – 5 / Álgebra en ℝ  
 
 
Reducción de Términos Semejantes 
 
Se definen dos términos semejantes como 
aquellos que cuentan con el mismo factor literal, 
es decir, deben contar con las mismas variables y 
sus respectivos exponentes deben coincidir. 
 
Ejemplos: 
 
−𝑥2𝑦 y 15𝑧𝑡 no son términos semejantes 
3𝑥2𝑦 y 2𝑥2𝑦 si son términos semejantes 
 
Para reducir términos semejantes, se puede 
seguir los siguientes pasos: Reconocer términos 
semejantes, ordenarlos y luego reducirlos: 
 
Ejemplo: 
 
3𝑥2𝑦 − 5𝑥𝑦3 − 7𝑥2𝑦 + 7𝑥𝑦3 = / Rec. 
 
3𝑥2𝑦 − 5𝑥𝑦3 − 7𝑥2𝑦 + 7𝑥𝑦3 = / Ord. 
 
3𝑥2𝑦 − 7𝑥2𝑦 + 7𝑥𝑦3 − 5𝑥𝑦3 = / Red. 
 
−4𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦3 
 
 
Multiplicación de Expresiones Algebraicas 
 
La multiplicación entre expresiones algebraicas 
se define a partir de la Distributividad de la 
Multiplicación sobre la Suma de los Números 
Reales. Esta propiedad dice que: 
 
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 
 
Por lo tanto, se resume a que se debe “calcular 
el producto término a término y luego sumarlos” 
 
De aquí, se propone la siguiente igualdad como 
propiedad: 
 
(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎(𝑐 + 𝑑) + 𝑏(𝑐 + 𝑑) 
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 
 
Ejemplo: 
 
 (3𝑥 + 2𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 
(3𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 − 2𝑦2) = 
3𝑥2 − 𝑥𝑦 − 2𝑦2 
 
Productos Notables 
 
Conceptos Fundamentales 
 
Los productos notables resultan al generalizar 
ciertas multiplicaciones entre expresiones 
algebraicas, ya que presentan regularidades. 
Ellos permiten determinar el resultado sin 
efectuar las operaciones propias de una 
multiplicación 
 
CUADRADO DE UN BINOMIO 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
SUMA POR SU DIFERENCIA 
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
 
CUBO DE UN BINOMIO 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
 
BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN 
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎 ∙ 𝑏 
 
CUADRADO DE UN TRINOMIO 
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 
 
PRODUCTOS QUE GENERAN UNA SUMA O 
DIFERENCIA DE CUBOS 
(𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 𝑥3 + 𝑦3 
(𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 𝑥3 − 𝑦3 
 
 
 
Factorización de Expresiones Algebraicas 
 
 Conceptos Fundamentales 
 
Factorizar una expresión algebraica consiste en 
representarla como producto de dos o más 
factores. 
Para factorizar una expresión se debe identificar 
el factor común en cada uno de los términos que 
la componen. 
 
 
 
 
 
 
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Factor Común 
 
En este caso el factor común corresponde a un 
monomio y el coeficiente numérico de este 
monomio será el máximo común divisor entre 
los coeficientes numéricos de los términos que 
forman la expresión, mientras que el factor 
literal corresponderá a la o las potencias con el 
mayor exponente común de cada término. 
 
Ejemplo: 
6𝑎2 + 2𝑎 − 4𝑎3 = 𝟐𝒂 ∙ 3𝑎 + 𝟐𝒂 ∙ 1 − 𝟐𝒂 ∙ 2𝑎2 
 = 𝟐𝒂(3𝑎 + 1 − 2𝑎2) 
 
 
Factorización de productos notables 
 
Algunas expresiones algebraicas se pueden 
factorizar utilizando productos notables. 
 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 
 
DIFERENCIA DE CUADRADOS 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
 
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS 
𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Factorización de 𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 + 𝒒 
 
Este tipo de expresiones son factorizables 
siempre y cuando 𝑝2 − 4𝑞 ≥ 0. Suponiendo que 
esta última condición se cumple, el método 
radica en la búsqueda de dos números reales 
positivos 𝑀 y 𝑚, los cuales, sin pérdida de 
generalidad, consideraremos que cumplen las 
siguientes condiciones: 
 
𝑀 ⋅ 𝑚 = |𝑞| ; 𝑀 ≥ 𝑚 
 
Así, en función del signo de 𝑞 y del valor de 𝑝, se 
pueden dar uno de los siguientes casos de 
factorización: 
 
a) Si 𝑞 < 0 ; 𝑝 < 0 ; 𝑀 − 𝑚 = −𝑝, luego: 
 
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 − 𝑀) 
 
b) Si 𝑞 < 0 ; 𝑝 > 0 ; 𝑀 − 𝑚 = 𝑝, luego: 
 
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑥 + 𝑀)(𝑥 − 𝑚) 
 
c) Si 𝑞 > 0 ; 𝑝 < 0 ; 𝑀 + 𝑚 = −𝑝, luego: 
 
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑀) 
 
d) Si 𝑞 > 0 ; 𝑝 > 0 ; 𝑀 + 𝑚 = 𝑝, luego: 
 
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑥 + 𝑀)(𝑥 + 𝑚) 
 
Ejemplo: 
 
Factoricemos 𝑥2 − 9𝑥 − 36. Dado que 𝑞 = −36 
y 𝑝 = −9 , debemos considerar la factorización 
del caso a). Así: 
 
𝑥2 − 9𝑥 − 36 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 − 𝑀) 
 
Donde 𝑀 − 𝑚 = 9 y 𝑀 ⋅ 𝑚 = 36. Así el par de 
números positivos que cumplen con esto es: 
𝑚 = 3 y 𝑀 = 12. Luego, la factorización es: 
 
𝑥2 − 9𝑥 − 36 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Expresiones Algebraicas Fraccionarias 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Definición 
 
Una expresión algebraica fraccionaria 
corresponde al cociente entre dos expresiones 
algebraicas. Es decir: 
 
Sean 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) dos expresiones algebraicas 
cualesquiera, así una expresión algebraica 
fraccionaria es de la forma: 
 
𝐹(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 
 
Para que esta “nueva” expresión esté bien 
definida, es necesario que la expresión del 
denominador sea distinta de cero para los 
elementos de su dominio. Es decir: 
 
𝑞(𝑥) ≠ 0 
 
Así, el 𝐷𝑜𝑚(𝐹) = {𝑥 ∈ ℝ |
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑝) ∧
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑞) ∧
𝑞(𝑥) ≠ 0
} 
 
En ocasiones, el Conjunto Restricción 
corresponde al Dominio de la expresión, a no ser 
que se especifique alguna condición extra que 
no tenga relación alguna con la expresión. 
 
Ejemplo: 
 
Se tiene la siguiente expresión algebraica 
fraccionaria: 
 
𝐹(𝑥) =
𝑥2 − 3𝑥 − 40
𝑥2 − 64
 
 
Su conjunto restricción es: 
 
𝑅 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥2 − 64 ≠ 0} 
 = {𝑥 ∈ ℝ | (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) ≠ 0} 
 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 + 8 ≠ 0 ∧ 𝑥 − 8 ≠ 0} 
= {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ −8 ∧ 𝑥 ≠ 8} 
= ℝ − {−8,8} 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificación de Expr. Alg. Fraccionarias 
 ¿Cómo simplificar? 
 
Ejemplo 
 
Consideremos simplificar la expresión: 
 
𝐹(𝑥) =
𝑥2 − 3𝑥 − 40
𝑥2 − 64
 
 
Lo primero que debemos hacer es factorizar 
tanto denominador como numerador: 
 
 
𝑥2 − 64 es una resta de cuadrados, por lo tanto, 
es una suma por diferencia: 
 
𝑥2 − 64 = (𝑥 + 𝑟)(𝑥 − 𝑟) 
 
Donde 𝑟2 = 64, entonces, 𝑟 = 8. Así: 
 
𝑥2 − 64 = (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) 
 
 
𝑥2 − 3𝑥 − 40 es un trinomio de la forma 
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 , donde 𝑝 = −3 y 𝑞 = −40, lo cual 
significa que se factoriza como en el caso a): 
 
𝑥2 − 3𝑥 − 40 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 − 𝑀) 
 
Considerando que los números reales positivos 
𝑀 y 𝑚deben cumplir las siguientes condiciones: 
 
𝑀 ⋅ 𝑚 = 40 ; 𝑀 − 𝑚 = 3 
 
Lo cual se cumple cuando 𝑀 = 8 y 𝑚 = 5. Así: 
 
𝑥2 − 3𝑥 − 40 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 8) 
 
 
Luego: 
 
𝐹(𝑥) =
𝑥2 − 3𝑥 − 40
𝑥2 − 64
=
(𝑥 + 5)(𝑥 − 8)
(𝑥 + 8)(𝑥 − 8)
 
 
Así: 
 
𝐹(𝑥) =
𝑥 + 5
𝑥 + 8
 
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Nivel Básico – Medio 
 
1. El valor de la expresión 𝑥2 − 𝑥3 cuando −𝑥 = 1, es: 
 
A) −2 
B) −1 
C) 0 
D) 2 
E) 3 
 
2. ¿Qué expresión resulta al resolver 2𝑎(𝑎 − 3)? 
 
A) 2𝑎 − 3 
B) 2𝑎2 − 3 
C) 3𝑎 − 𝑎 
D) 2𝑎2 − 6𝑎 
E) 2𝑎2 − 6 
 
3. Los lados de un rectángulo son (2𝑥 + 3𝑦) y 
(5𝑥 – 𝑦) entonces su perímetro es: 
 
A) 7𝑥 + 2𝑦 
B) 10x2 – 3y2 
C) 14x + 4y 
D) 10x2 +13xy – 3y2 
E) 7x2 + 2y2 
 
4. Al resolver 
 (2𝑎 – 5𝑏 + 3𝑐) – (−5𝑎 + 𝑏 – 4𝑐) – (−𝑎 – 𝑏) 
resulta: 
A) 6𝑎– 5𝑏 + 7𝑐 
B) – 4𝑎 – 5𝑏 – 𝑐 
C) 8𝑎 – 5𝑏 + 7𝑐 
D) 8𝑎 – 7𝑏 + 7𝑐 
E) 8𝑎 + 7𝑏 + 7𝑐 
 
5. La expresión que corresponde al enunciado “si al 
doble del suplemento del ángulo 𝒙 se le suma el 
triple del complemento del ángulo 𝒚 resulta dos 
ángulos rectos”, es: 
 
A) 2(180° − 𝑥) + 3(90° − 𝑦) = 90° 
B) 2(180° − 𝑥) + 3(90° − 𝑦) = 180° 
C) 2(180° − 𝑥) + 3(180° − 𝑦) = 180° 
D) (180° − 2𝑥) + (90° − 3𝑦) = 90° 
E) (180° − 2𝑥) + (90° − 3𝑦) = 180° 
 
 
 
 
 
6. 𝑝 − [𝑝 − {𝑞 − (−𝑞 + 2𝑝)} + 𝑝 − (−𝑞)] = 
 
A) 𝑝 − 3𝑞 
B) 𝑞 − 3𝑝 
C) 3𝑝 + 3𝑞 
D) −3𝑝 − 2𝑞 
E) 𝑝 − 𝑞 
 
7. 
3 3
4 4
3 3
a a  
+ − =    
  
 
 
A) 
𝑎6
9
− 16 
B) 
𝑎5
9
− 16 
C) 
𝑎
3
+ 8
𝑎3
3
− 16 
D) 𝑎6 + 16 
E) Ninguna de las anteriores 
 
8. Si 𝑥 ≠ 0. La expresión 
14𝑥2+14𝑥
7𝑥
 es equivalente a: 
 
A) 2𝑥 + 2 
B) 2𝑥2 + 2 
C) 14𝑥2 + 2 
D) 4𝑥 
E) 7𝑥 
 
9. Dada las dimensiones del plano rectangular, la 
expresión algebraica que representa su área es: 
 
 
 
A) (𝑎 + 𝑑 + 𝑒) ⋅ (𝑏 + 𝑐) 
B) 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓) 
C) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑑𝑏 + 𝑑𝑐 + 𝑒𝑏𝑐 
D) (𝑏 + 𝑐)𝑎 + (𝑒 + 𝑑)𝑏𝑐 
E) Ninguna de las anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. Si 𝒙 e 𝒚 son dos números distintos, se puede 
determinar el valor de la expresión: 
 
𝑥2 − 𝑦2
𝑥 + 𝑦
 
 
(1) 𝑥 + 𝑦 = 15 
(2) 𝑥 − 𝑦 = 3 
 
A) (1) por sí sola. 
B) (2) por sí sola. 
C) Ambas juntas, (1) y (2). 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). 
E) Se requiere información adicional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
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Nivel Avanzado 
 
1. Si el doble de 𝑥 es 2𝑎 + 4𝑏, y el triple de 𝑦 es 
6𝑎 + 3𝑏, entonces 𝑥 + 𝑦 = 
 
A) 8𝑎 + 7𝑏 
B) 22𝑎 + 17𝑏 
C) 3𝑎 + 3𝑏 
D) 19𝑎 + 11𝑏 
E) Ninguna de las anteriores 
 
2. La expresión algebraica 
 
1
1
4
𝑥 − (
2
3
𝑦 + 0,75𝑥 − (𝑥 + 0,3𝑦)) 
 
es equivalente a: 
 
A) 
3
2
𝑥 
B) 𝑥 −
1
3
𝑦 
C) 
3
2
𝑥 −
1
3
𝑦 
D) 𝑥 − 𝑦 
E) Ninguna de las anteriores 
 
3. Sea 
3 3 3
3
3 3
2g e f
C
f e
+ +
=
−
. Si 𝑔 = 5 , 𝑒 = −2 y 
𝑓 = 1. ¿Cuál es el valor de 𝐶? 
 
A) √243
3
 
B) √9
3
 
C) 9 
D) 3 
E) Ninguna de las anteriores 
 
4. La expresión (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏 + 𝑐) es 
equivalente a: 
 
A) 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 
B) 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 − 2𝑏𝑐 
C) 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑏𝑐 
D) 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 − 2𝑏𝑐 
E) Ninguna de las anteriores 
 
 
 
 
5. Si 𝑎 ⋅ 𝑏 = 10 y 𝑎2 + 𝑏2 = 29, entonces el valor de 
(𝑎 − 𝑏)2 es: 
 
A) 9 
B) 19 
C) 29 
D) 49 
E) No se puede determinar el valor 
 
6. Para una campaña solidaria, Mariana aporta con 
(𝑙 + 12) latas de conservas, Marcos, con 5 menos 
que Mariana; y Manuel, con 7 más que Mariana. 
¿Cuántas latas lograron reunir entre los 3? 
 
A) (𝑙 + 38) latas 
B) (𝑙 + 24) latas 
C) (2𝑙 + 36) latas 
D) (3𝑙 + 36) latas 
E) (3𝑙 + 38) latas 
 
7. [(𝑚 − 𝑛) − 5𝑐][5𝑐 + (𝑚 − 𝑛)] = 
 
A) 5𝑐 − 𝑛 − 𝑚 
B) 𝑚2 + 𝑛2 + 5𝑐2 
C) 5𝑐2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2 
D) 𝑚2 − 𝑛2 
E) 𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2 − 25𝑐2 
 
8. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a 
la factorización de 𝑎2 − 𝑏2 − (𝑎 + 𝑏)2? 
 
A) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
B) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 
C) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
D) 2𝑏(𝑎 + 𝑏) 
E) −2𝑏(𝑎 + 𝑏) 
 
9. La expresión 𝑎4 − 𝑏4 es equivalente a: 
 
A) (𝑎2 − 𝑏2)2 
B) (𝑎2 + 𝑏2)2 
C) (𝑎2 + 𝑏2)(𝑎2 − 𝑏2) 
D) (𝑎 + 𝑏)2(𝑎 − 𝑏)2 
E) Ninguna de las anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. Uno de los factores de 49𝑚2 + 9𝑛2 − 42𝑚𝑛 es: 
 
A) 7𝑚 + 5𝑛 
B) 6𝑚 − 4𝑛 
C) 𝑚 + 42𝑛 
D) 𝑚 − 3𝑛 
E) Ninguna de las anteriores 
 
11. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente 
a 
𝑥2+𝑥−2
𝑥2−1
? 
 
A) 𝑥 + 2 
 
B) 𝑥 − 2 
 
C) 
𝑥+2
𝑥+1
 
 
D) 
𝑥−2
𝑥−1
 
 
E) 
𝑥−2
𝑥+1
 
 
12. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 
𝑏3−𝑎2𝑏
𝑎(𝑏−𝑎)(𝑏+𝑎)
? 
 
A) 
𝑏+3
𝑎+3
 
B) 
𝑏−3
𝑎−3
 
C) 
𝑏(𝑏+3)
−𝑎(𝑏−3)
 
D) 
𝑏
𝑎
 
E) Ninguna de las anteriores 
 
13. Sean 𝑥 e 𝑦 las medidas de los lados de un 
rectángulo en metros, el área de dicho rectángulo 
es 48 𝑚2. Si 𝑥2 + 𝑦2 = 100 ¿Cuál es el valor de 
(𝑥 + 𝑦)? 
 
A) √148 𝑚 
B) √52 𝑚 
C) 14 𝑚 
D) 10𝑚 
E) 2 𝑚 
 
14. Se puede determinar el valor de la expresión 
𝑎3−𝑏3
5𝑎+5𝑏
 
si: 
(1) 𝑎 ≠ −𝑏 
(2) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 1 
 
A) (1) por sí sola. 
B) (2) por sí sola. 
C) Ambas juntas, (1) y (2). 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). 
E) Se requiere información adicional. 
 
15. Si 𝑚 representa un número impar, ¿Cuál de las 
siguientes expresiones corresponde a la razón 
entre el antecesorimpar y el sucesor impar de 𝑚? 
 
A) 1 
B) 𝑚 
C) 
𝑚−2
𝑚+2
 
D) 
𝑚−1
𝑚+1
 
E) 
𝑚+2
𝑚−2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
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13 
14 
15 E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
HOJA DE RESPUESTAS