Ayudantia_3_Pauta

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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Introducción a la Macroeconomı́a
Profesores: Eugenia Andreasen, Giselli Castillo, José De Gregorio, Eduardo Garćıa, Emilio Guamán, Humberto
Mart́ınez, Alejandro Micco, Claudio Soto & Maŕıa Isidora Undurraga
Ayudante Coordinadora: Tamara Muñoz O.
Ayudant́ıa 3
Otoño 2023
Comentes
1. ¿A qué nos referimos cuando hablamos de crecimiento económico?
Respuesta
Nos referimos a crecimiento del PIB. En el modelo neoclásico de crecimiento el PIB está dado por tres componentes
fundamentales. El stock de Capital, el Trabajo y la Productividad Total de Factores. Matemáticamente lo expresamos
como una función Cobb-Douglas de la siguiente forma:
Y = A ·K1−αLα
Es decir, el producto está dado por el stock de capital y de trabajo, los cuales tienen retornos decrecientes. También
juega un papel importante la PTF (A). Un aumento de productividad puede producir un incremento del PIB incluso
cuando el stock de capital y trabajo se mantienen constantes.
2. ¿A qué se le llama estado estacionario?
Respuesta
Estado estacionario es cuando el capital deja de acumularse en un páıs. Esto se da en el largo plazo cuando, dados
los rendimientos decrecientes del capital, ya no es rentable seguir acumulando capital.
En estado estacionario llegamos a un stock óptimo de capital y a un producto de estado estacionario asociado a
este stock óptimo.
Páıses con mayores tasas de ahorro tienen mayor nivel de capital de estado estacionario; Páıses con mayores tasas
de crecimiento de la población tienen menor nivel de capital de estado estacionario; Páıses con mayor productividad
total de factores tienen mayor nivel de capital de estado estacionario.
3. En el modelo básico de crecimiento de Solow (en economı́a cerrada, sin gobierno, sin crecimiento poblacional
y sin progreso tecnológico), todo el producto se utiliza para consumo e inversión. A su vez, toda la inversión
corresponde a un aumento en el nivel de capital de la economı́a. Comente.
Respuesta
Falso. Los supuestos iniciales son correctos, sin embargo, no toda la inversión corresponde a aumento de capital.
Parte de ella se va a reemplazar el capital que se deprecia. Es decir, lo que se acumula de capital en cada peŕıodo
es la diferencia entre el ahorro y la depreciación.
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4. En el modelo de crecimiento de Solow, si no hay crecimiento de la productividad, no es posible que haya
crecimiento en estado estacionario. Por lo tanto cuanto ahorran o inviertan es irrelevante en el largo plazo.
Respuesta
Verdadero. Si no hay crecimiento de la productividad, no es posible que haya crecimiento pues la productividad
marginal del capital caerá a un punto en el cual apenas permite que el ahorro cubra la depreciación. El ahorro y la
inversión son irrelevantes para el crecimiento de largo plazo.
5. Mientras mayor es el ingreso per cápita de estado estacionario en un determinado páıs, mayor será el bienestar
de su población.
Respuesta
Falso. En el modelo de crecimiento neoclásico, el nivel de ingreso per cápita de estado estacionario se maximiza
cuando la tasa de ahorro es cero. Esto no puede ser óptimo desde el punto de vista del bienestar de la población,
pues el consumo per cápita en este caso seŕıa igual a cero (ingreso es igual a ahorro más consumo). El nivel de
ingreso per cápita que maximiza el consumo per cápita (y el bienestar de la población) está dado por la la tasa de
ahorro de regla de oro, la cual en general será mayor que cero y menor que uno.
6. En términos de convergencia no condicional, es más productivo una unidad extra de capital en África que en
USA. Comente.
Respuesta
Verdadero, la convergencia no condicional asume que todos los páıses tienen el mismo estado estacionario. Por lo
tanto los páıses pobres debeŕıan crecer más rápidamente que los páıses ricos, ya que se encuentran mas lejanos al
producto de estado estacionario.
7. Una poĺıtica de control de natalidad no tiene mayores efectos sobre el crecimiento de la economı́a, según el
modelo neoclásico de Solow.
Respuesta
Falso. Utilizando el instrumental de Solow, podemos ver que un aumento de la población hace que el capital per
cápita disminuya, que se deprecie más rápido y que el nivel de capital de estado estacionario sea menor, tal como
muestra la siguiente figura:
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En este caso ocurre lo contrario. Un control de natalidad disminuye la tasa de crecimiento de la población, con lo
que se puede lograr un mayor nivel de capital de estado estacionario y por lo tanto un mayor crecimiento en la
transición hacia este estado estacionario.
Matemático I: Crecimiento
Suponga una economı́a determinada por la siguiente función de producción:
F (K,L) = ALαK1−α
En donde no hay crecimiento de la población ni progreso técnico y en el cual hay una tasa de depreciación δ.
a) Demuestre que la siguiente función Cobb-Douglas cumple con las condiciones propias de un modelo neoclásico.
Respuesta
1. Retornos constantes a escala:
F (λK, λL) = A(λK)1−α(λL)α
Aλ1−αK1−αλαLα
= λ1−α+αAK1−αLα
= λAK1−αLα
F (λK, λL) = λAF (K,L)
2. Productividad marginal decreciente en cada factor:
∂Y
∂K
= (1− α)AK−αLα > 0
∂2Y
∂K2
= (1− α)(−α)AK−α−1Lα < 0
∂Y
∂L
= αAK1−αLα−1 > 0
∂2Y
∂L2
= α(α− 1)AK1−αLα−2 < 0
b) Encuentre el capital per cápita, el producto per cápita y el consumo per cápita en estado estacionario en
términos de s, δ y α. Luego, dados los valores α = 0, 6, δ = 0, 03 y s = 0, 24, ¿Cuáles son los valores de k∗, y∗
y c∗?
Respuesta
En primer lugar, es necesario que la función de producción se lleve a términos per cápita, es decir, el cociente entre
la variable y Lt:
Yt = AF (Kt, Lt)
Yt
Lt
= AF (
Kt
Lt
,
Lt
Lt
)
yt = AF (kt, 1)
yt = Af(kt)
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Luego, por lo supuestos del modelo de Solow (econoḿıa cerrada, sin gasto de gobierno, etc), la econoḿıa se puede
representar por:
Yt = Ct + It
En donde como S = I, esto se puede escribir como:
St = Yt − Ct
Donde S = sY y por ende C = (1− s)Y Entendiendo además que el cambio en el capital se denomina:
∆Kt = Kt+1 −Kt
∆Kt = It − δKt
En donde It = St = sY , reemplazando:
∆Kt = sYt − δKt
Si lo transformamos ahora en términos per cápita tenemos:
∆Kt
Lt
= s · Yt
Lt
− δ · Kt
Lt
∆Kt
Lt
= s · yt − δkt
donde sabemos que yt = Af(kt), reemplazamos en la ecuación de capital:
∆kt = sAf(kt)− δkt
Ahora bien, queremos el capital per cápita de estado estacionario. Sin embargo, sabemos que en estado estacionario
el crecimiento del stock de capital es constante, es decir, no hay crecimiento de capital. Esto implica que:
∆kt = 0
0 = sAf(k)− δk
δk = sAf(k)
k
f(k)
=
sA
δ
Por enunciado nos dicen que la función de producción es una Cobb-Douglas, donde en términos per cápita eso
significa que y = k1−α. Usando esto:
k
k1−α
=
sA
δ
kα =
sA
δ
k∗ =
(
sA
δ
) 1
α
Dado a que no hay progreso tecnológico A = 1, el capital per cápita será:
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k∗ =
(s
δ
) 1
α
Para el producto per cápita:
y = k1−α
y∗ =
(s
δ
) 1−α
α
Finalmente el consumo per cápita:
c∗ = y∗ − sy∗ = (1− s)
(s
δ
) 1−α
α
Luego, evaluando los valores del enunciado, tendremos que:
k∗ =
(
0, 24
0, 03
) 1
0,6
k∗ = 32
y∗ =
(
0, 24
0, 03
) 1−0,6
0,6
y∗ = 4
c∗ = (1− 0, 24)
(
0, 24
0, 03
) 1−0,6
0,6
c∗ = 3, 04
c) Suponga que el gobierno decide forzar a todos a subir s a 60%. ¿Qué pasa con k∗, y∗ y c∗? ¿Están mejor en
el nuevo escenario? Explique intuitivamente.
Respuesta
Los nuevos resultados con s = 0, 6 seŕıan los siguientes:
k∗ =
(
0, 6
0, 03
) 1
0,6
k∗ = 147, 36
y∗ =
(
0, 6
0, 03
) 1−0,6
0,6
y∗ = 7, 37
c∗ = (1− 0, 6)
(
0, 6
0, 03
) 1−0,60,6
c∗ = 2, 95
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k∗ sube bastante como también lo hace y∗, sin embargo c∗ baja. Dado que es mediante el consumo que medimos
el bienestar, bajo el nuevo escenario la econoḿıa está peor. Esto se debe a que al subir la tasa de ahorro, por un
lado aumenta el producto, pero por otro disminuye la proporción de ese ingreso que los individuos consumen.
d) ¿Existe algún nivel de ahorro que logre maximizar el nivel de consumo de la economı́a en su estado estacio-
nario? Complemente su respuesta mediante análisis gráfico.
Respuesta
La Regla de Oro es el nivel de ahorro que maximiza el consumo de una econoḿıa. Esto implica que debemos
optimizar la función de consumo en base al capital de estado estacionario:
c = (1− s)f(k∗)
c = f(k∗)− sf(k∗) = f(k∗)− δk∗
c = k1−α − δk∗
∂c
∂k
= (1− α)k−α − δ = 0
k−α =
δ
(1− α)
kα =
(1− α)
δ
kRD =
(
(1− α)
δ
) 1
α
Sabemos además que podemos igualar el capital óptimo de estado estacionario con el de regla dorada para llegar al
nivel de ahorro de la regla dorada:
kRD = k∗(
(1− α)
δ
) 1
α
=
(s
δ
) 1
α
(1− α) = s
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Gráfico:
Matemáticamente, s = (1− α) = (1− 0, 6) = 0, 4. Entonces,
k∗ =
(
0, 4
0, 03
) 1
0,6
k∗ = 74, 97
y∗ =
(
0, 4
0, 03
) 1−0,6
0,6
y∗ = 5, 62
c∗ = (1− 0, 4)
(
0, 3
0, 03
) 1−0,6
0,6
c∗ = 3, 37
e) Aqúı veremos la derivación del capital óptimo en estado estacionario con los mismos supuestos que antes pero
considerando crecimiento de la población.
Respuesta
Dado a que hay crecimiento de la población, esto implica que:
Lt+1 = (1 + n)Lt
Por lo tanto, ahora un cambio en el nivel de capital va a implicar lo siguiente:
∆Kt
Kt
=
Kt+1 −Kt
Kt
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∆Kt
Kt
=
sF (Kt, Lt)
Kt
− δKt
Kt
Si asumimos que la variación porcentual de la multiplicación de dos variables equivale a la suma de sus variaciones
porcentuales. Sabiendo que Kt = kt · Lt:
∆Kt
Kt
=
∆kt
kt
+
∆Lt
Lt
∆Kt
Kt
=
∆kt
kt
+ n
∆Kt
Kt
=
∆Kt
Lt
· Lt
Kt
+ n
Por otro lado:
∆Kt
Kt
=
∆Kt
Lt
· 1
kt
∆Kt
Kt
=
∆kt
kt
+ n =
∆Kt
Lt
· 1
kt
(
∆kt
kt
+ n) · kt =
∆Kt
Lt
∆kt + nkt =
∆Kt
Lt
De arriba sabemos que:
∆Kt
Lt
= s · yt − δkt
Juntando ambas ecuaciones tenemos:
∆kt + nkt = s · yt − δkt
∆kt + nkt = sAf(kt)− δkt
∆kt = sAf(kt)− δkt − nkt
∆kt = sAf(kt)− (δ + n)kt
Haciendo el mismo despeja que anteriormente:
0 = sk1−α = (δ + n)k
k1−α
k
=
δ + n
s
k−α =
δ + n
s
kα =
s
δ + n
k∗ =
(
s
δ + n
) 1
α
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