Ayudantia_4_Pauta

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Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Introducción a la Macroeconomı́a
Profesores: Eugenia Andreasen, Giselli Castillo, José De Gregorio, Eduardo Garćıa, Emilio Guamán, Humberto
Mart́ınez, Alejandro Micco, Claudio Soto & Maŕıa Isidora Undurraga
Ayudante Coordinadora: Tamara Muñoz O.
Ayudant́ıa 4
Otoño 2023
Comentes
1. Carolina desea irse de viaje, pero dado su perfil de ingresos estima que es más conveniente hacerlo al terminar
su postgrado. Esto es un claro contra argumento de que el consumo presente es más valorado al consumo
futuro. Comente.
Respuesta
Falso. Existe una confusión entre la valoración y las preferencias del individuo. Carolina desea irse de viaje, es decir,
si tuviese los recursos hoy para hacerlo, se iŕıa de todas maneras. Sin embargo, no puede debido a las restricciones
que hoy posee (Restricción Presupuestaria y/o Restricciones de Liquidez que le impiden endeudarse, además de la
deuda de su postgrado). Es por ello que no es un contraargumento acerca de la valoración del consumo, ya que ella
sigue valorando más su consumo presente por sobre el futuro, pero sus restricciones le impiden consumir dicho bien
hoy.
2. Si un individuo tiene una posición neta de activos deudora, entonces es más probable que un aumento de la
tasa de interés suba el ahorro en comparación a un individuo con posición neta acreedora.
Respuesta
Verdadero. Los cambios en el ahorro ante cambios en la tasa de interés dependen del tamaño del efecto sustitución
versus el efecto ingreso y principalmente de si los consumidores tiene el carácter de deudor neto o acreedor neto en
el primer periodo. T́ıpicamente si es deudor neto por efecto sustitución disminuirá el consumo presente y por efecto
ingreso su deuda será mayor lo que aumentara su ahorro para pagar la deuda en el futuro. En este caso aumentara
el ahorro en el primer periodo.
3. ¿Cuál es la diferencias entre el efecto riqueza, sustitución e ingreso en la teoŕıa de la elasticidad del consumo
a la tasa de interés? Explique matemáticamente. (Hint: Utilizar la función de utilidad isoelástica (CRRA))
Respuesta
Usando la siguiente expresión (que resulta de una optimización utilizando una forma funcional CRRA), podemos
observar tres v́ıas por la cuales la tasa de interés afecta el consumo:
C1 =
1
1 + β
1
σ (1 + r)1−
1
σ
(
Y1 +
Y2
1 + r
)
Efecto Sustitución: Un aumento en la tasa de interés hace más atractivo ahorrar hoy y aśı se reduce el consumo
presente.
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Efecto Ingreso: Una tasa más alta le entrega mayores recursos a los que teńıan ahorro y le reduce el ingreso a los que
eran deudores. Por ello este efecto es ambiguo. Al buscar suavizar su consumo intertemporal aumenta el consumo
presente. La tensión entre el efecto sustitución y efecto ingreso se ve en el término (1 + r)1−
1
σ . Dependiendo del
valor que tome σ, predominará un efecto u otro.
Efecto Riqueza: Este efecto es a través del término
(
Y1 +
Y2
1+r
)
donde una tasa más alta disminuye el valor presente
de la riqueza. Este efecto refuerza el efecto sustitución.
4. En la medida que enfrenten una mayor tasa de interés real, los agentes económicos ineqúıvocamente dismi-
nuirán su consumo presente (y aumentarán su ahorro).
Respuesta
Falso. Esta situación se dará dependiendo del tamaño del efecto sustitución versus el efecto ingreso y principalmente
si los consumidores tiene el carácter de deudor neto o acreedor neto en el primer periodo. T́ıpicamente si es deudor
neto por efecto sustitución disminuirá el consumo presente y por efecto ingreso su deuda será mayor lo que aumentara
su ahorro para pagar la deuda en el futuro, en este caso aumentara el ahorro en el primer periodo.
5. De acuerdo al modelo de consumo intertemporal, la inclusión financiera o aumentar acceso al mercado de
crédito ineqúıvocamente aumenta el bienestar de las familias.
Respuesta
Verdadero. Es posible demostrar que los consumidores en el intento de suavizar su consumo a través del tiempo,
situación que es respaldada además por la evidencia emṕırica, pueden separar su perfil de ingresos por periodo, de
su consumo, adquiriendo deudas en el mercado de capitales o financiero.
6. La teoŕıa del ciclo de vida predice que los agentes necesitan un sistema obligatorio de ahorro para su pensión.
Respuesta
Falso. La teoŕıa del ciclo de vida señala que un individuo puede decidir su trayectoria de consumo, la que presumi-
blemente es suave a lo largo de la vida, tomando en cuenta toda su trayectoria de ingresos futuros (Suaviza), lo que
implica que pueden ahorrar o desahorrar en momentos respectivos de su vida para conseguir un consumo constante.
Sin embargo son otros factores los que explican la obligatoriedad de un sistema de pensiones: 1) La inconsistencia
temporal, los individuos no tiene incentivos en ahorrar para la vejez, 2) los individuos son miopes, y no valoran el
futuro como predice la teoŕıa, 3) otras teoŕıas de econoḿıa poĺıtica.
Matemático I: Consumo y Tasa de Interés
Considere un individuo que vive por dos peŕıodos y maximiza la siguiente función de utilidad:
U = log(C1) + β log(C2)
Donde Ci es el consumo en el peŕıodo i, con i = 1, 2. β =
1
1+ρ representa el factor de descuento intertemporal y ρ
la tasa del descuento (que refleja sus preferencia por el futuro respecto del presente). El individuo recibe flujos de
ingreso Y1 e Y2 en los peŕıodos 1 y 2, respectivamente.
Supondremos que hay una tasa de interés r. La tasa de descuento es igual a la tasa de interés r, en todo momento
(o sea r y ρ se mueven juntos; esto es una simplificación para facilitar la solución del problema, y le permite
reemplazar en todo el problema ρ por r).
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a) Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del individuo y encuentre las expresiones para el consumo
y el ahorro individual S en ambos peŕıodos como función de los flujos de ingreso y la tasa de interés. ¿Qué
pasa con el ahorro cuando Y1 = Y2? ¿Por qué?
Respuesta
Las restricciones que enfrenta el individuo cada peŕıodo son:
Y1 = S + C1
C2 = S(1 + r) + Y2
Donde la primera ecuación muestra que el ingreso recibido en el peŕıodo 1, el individuo puede dedicarlo al consumo
de ese peŕıodo o puede ahorrarlo (endeudarse en el caso de deudor). En la segunda ecuación, vemos que el consumo
del segundo peŕıodo se sustenta de dos partes: lo ahorrado del peŕıodo anterior, con sus respectivos intereses, y el
ingreso del segundo peŕıodo. Despejando el ahorro de la segunda ecuación y reemplazando la expresión en la primera
ecuación tenemos:
S =
C2
1 + r
− Y2
1 + r
Y1 =
C2
1 + r
− Y2
1 + r
+ C1
Y1 +
Y2
1 + r
= C1 +
C2
1 + r
Despejamos de la restricción intertemporal C2 y reemplazamos en la función de utilidad:
C2 = (1 + r)(Y1 − C1) + Y2
U = logC1 + β log[(1 + r)(Y1 − C1) + Y2]
β =
1
1 + r
dU
dC1
=
1
C1
+
β
((1 + r)(Y1 − C1) + Y2)
· −(1 + r) = 0
Reemplazando β:
1
C1
=
1
1+r
(1 + r)(Y1 − C1) + Y2
· (1 + r)
1
C1
=
1
(1 + r)(Y1 − C1) + Y2
C1 =
(1 + r)Y1 + Y2
2 + r
Reemplazando este resultado en la restricción presupuestaria, obtenemos que C1 = C2 (Anexo 1). Encontrando una
expresión para el ahorro obtenemos:
S = Y1 − C1
S = Y1 −
(1 + r)Y1 + Y2
2 + r
S =
(2 + r)Y1 − (1 + r)Y1 − Y2
2 + r
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S =
(2Y1 + rY1 − Y1 − rY1 − Y2)
2 + r
S =
Y1 − Y2
2 + r
Por lo tanto, cuando Y1 = Y2, el ahorro es cero. Esto ocurre porque, dado que ρ = r y por la función de utilidad
del individuo, este presenta la misma valoración por el consumo presente y futuro, por lo que, ante igualdad de los
ingresos, no está dispuesto a endeudarse o a ahorrar por un mayor consumo en alguno de los dos peŕıodos.
b) Ahora estudiaremosel impacto de un cambio en la tasa de interés sobre el ahorro, en los casos extremos.
Conteste:
i) ¿Cuál es el signo del impacto de un aumento en la tasa de interés sobre el ahorro (sube o baja), cuando
todo el ingreso se recibe en el peŕıodo 1, es decir, Y 2 = 0? Explique su resultado.
Respuesta
Primero, el ahorro queda definido como:
S =
Y1
2 + r
Encontrando la variación del ahorro ante un cambio en la tasa de interés, tenemos:
∆S
∆r
=
−Y1
(2 + r)2
< 0
Dado que el individuo no registra ingresos en el segundo peŕıodo, todo lo que sea consumo en el mañana vendrá de
su ahorro. Ante un aumento de la tasa de interés, las cantidad que tendrá disponible en el mañana aumentará por
el solo concepto de intereses. Por lo tanto, puede acceder a un mayor consumo en el futuro sin una mayor renuncia
al consumo presente.
ii) ¿Cuál es el signo del impacto de un aumento en la tasa de interés sobre el ahorro (sube o baja), cuando
todo el ingreso se recibe en el peŕıodo 2, es decir, Y1 = 0? Explique su resultado.
Respuesta
En este caso, el ahorro queda definido como:
S =
−Y2
2 + r
Encontrando como cambia el ahorro al variar la tasa de interés en este caso, tenemos:
∆S
∆r
=
+Y2
(2 + r)2
> 0
En este caso, S representa el nivel de endeudamiento en el que incurre el individuo (ahorro negativo). Si la tasa de
interés aumenta, el pedir prestado se vuelve más caro, por lo que ese nivel de endeudamiento disminuye.
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Matemático II: Consumo y Restricciones de Liquidez
Considere un consumidor que vive dos peŕıodos y que recibe ingresos Yt y paga impuestos Tt en cada peŕıodo
T = 1, 2. Las preferencias del individuo sobre consumo del primer (C1) y segundo (C2) peŕıodo están definidas por
la siguientes función:
U(C1, C2) = logC1 +
1
1 + ρ
logC2
a) Determine y grafique la restricción presupuestaria intertemporal asumiendo que la tasa de interés es r.
Respuesta
Las restricciones que enfrenta el individuo cada peŕıodo son:
Y1 − T1 = S + C1
C2 + T2 = S(1 + r) + Y2
Donde la primera ecuación muestra que el ingreso recibido en el peŕıodo 1 luego de pagar los impuestos, el individuo
puede dedicarlo al consumo de ese peŕıodo o puede ahorrarlo (endeudarse en el caso de deudor). En la segunda
ecuación, vemos que el consumo y el pago de impuestos del segundo peŕıodo se sustentan de dos partes: lo ahorrado
del peŕıodo anterior, con sus respectivos intereses, y el ingreso del segundo peŕıodo. Despejando el ahorro de la
segunda ecuación y reemplazando la expresión en la primera ecuación tenemos:
S =
C2
1 + r
− Y2 − T2
1 + r
Y1 − T1 =
C2
1 + r
− Y2 − T2
1 + r
+ C1
Y1 − T1 +
Y2 − T2
1 + r
= C1 +
C2
1 + r
La parte de Y1 − T1 + Y2−T21+r representa el valor presente del ingreso disponible, mientras que C1 +
C2
1+r representa
el valor presente del consumo. Gráficamente,
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b) Asumiendo que r = ρ = 50% y que los ingresos de cada peŕıodo son Y1 = 100 e Y2 = 350 y que los impuestos
son T1 = T2 = 50, calcule el óptimo de consumo en cada peŕıodo.
Respuesta
La función de utilidad está dada por:
U(C1, C2) = logC1 +
1
1 + ρ
logC2
Y la restricción presupuestaria:
Y1 − T1 +
Y2 − T2
(1 + r)
= C1 +
C2
(1 + r)
Por lo tanto, el Lagrangeano es:
L : logC1 +
1
1 + ρ
logC2 + λ
(
Y1 − T1 +
Y2 − T2
1 + r
− C1 −
C2
1 + r
)
Maximizando la expresión obtenemos las siguientes CPOs:
∂L
∂C1
=
1
C1
− λ = 0 (1)
∂L
∂C2
=
1
C2(1 + ρ)
− λ
1 + r
= 0 (2)
∂L
∂λ
= Y1 − T1 +
Y2 − T2
(1 + r)
= C1 +
C2
(1 + r)
(3)
Combinando (1) y (2):
C2
C1
=
1 + r
1 + ρ
Lo cual vendŕıa siendo la ecuación de Euler. Reemplazando en (3), obtenemos que el consumo presente está dado
por:
C∗1 =
(
Y1 − T1 +
Y2 − T2
(1 + r)
)
·
(
1 + ρ
2 + ρ
)
Del mismo modo, el consumo en C2 está dado por:
C∗2 =
(
Y1 − T1 +
Y2 − T2
(1 + r)
)
·
(
1 + r
2 + ρ
)
Dado que r = ρ, en el óptimo el consumo del peŕıodo 1 y 2 son iguales. Reemplazando los valores:
C∗1 = C
∗
2 = C
∗ =
(
Y1 − T1 +
Y2 − T2
(1 + r)
)
·
(
1 + r
2 + r
)
C∗ =
(
100− 50 + 350− 50
1 + 0, 5
)
·
(
1 + 0, 5
2 + 0, 5
)
C∗ =
1, 5 ·
(
50 + 3001,5
)
2, 5
= 150
Por lo tanto, en el primer peŕıodo el individuo toma deuda por C1 + T1 − Y1) = 100, mientras que en el segundo
peŕıodo consume menos que su ingreso para poder aśı pagar la deuda contráıda en el peŕıodo 1.
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c) Ahora asuma que el consumidor tiene acceso restringido al mercado de capitales: aún puede ahorrar a la
tasa r, pero ya no tiene acceso a deuda en el primer peŕıodo. Muestre gráficamente cómo esto afecta (i) a la
restricción presupuestaria del consumidor, y (ii) al óptimo de consumo en cada peŕıodo (calcule los nuevos
óptimos de consumo).
Respuesta
Si el consumidor tiene acceso restringido al mercado de capitales, entonces el conjunto presupuestario sólo incluirá
las combinaciones en que C1 < Y1 − T1. Esto se puede ver gráficamente en la siguiente figura:
Como se puede apreciar, la recta presupuestaria es la misma que en en el caso anterior hasta el punto de inflexión,
pero ahora todos los puntos donde C1 > Y1 −T1 no están dentro del conjunto factible. Ya no es posible alcanzar el
óptimo de consumo calculado en el inciso anterior (C∗1 > Y1−T1). Por lo tanto, la solución que proporciona máxima
utilidad será aquella en la que el individuo consume en el primer periodo todo su ingreso disponible (C1 = Y1−T1).
Para ver porque esto es aśı, note que en el punto en que C1 = Y1 − T1 y C2 = Y2 − T2, TMgS es mayor que
(1+r), lo que quiere decir que la utilidad marginal relativa que le reporta una unidad adicional de consumo presente
supera el precio relativo de éste en el mercado. El individuo estaŕıa mejor si consume más hoy y menos mañana,
Sin embargo, no puede moverse porque tiene restricciones de liquidez. Moverse hacia la izquierda le reporta menos
utilidad (usando el mismo razonamiento anterior). Por tanto, maximiza su utilidad en el punto de dotación, donde
CRL1 = 50 y C
RL
2 = 300.
Queda como propuesto demostrar que en esta situación con restricciones de liquidez el individuo se encuentra peor,
en términos de utilidad, que antes.
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Anexos
Anexo 1
Para llegar a la conclusión de que C1 = C2, se reemplaza la definición de C1 encontrado en la restricción presu-
puestaria. A continuación se lleva a cabo ese desarrollo.
C1 =
(1 + r)Y1 + Y2
2 + r
Y1 +
Y2
1 + r
= C1 +
C2
1 + r
Reemplazando,
Y1 +
Y2
1 + r
=
(1 + r)Y1 + Y2
2 + r
+
C2
1 + r
(1 + r)Y1 + Y2
1 + r
− (1 + r)Y1 + Y2
2 + r
=
C2
1 + r
[(1 + r)Y1 + Y2] ·
[
1
1 + r
− 1
2 + r
]
=
C2
1 + r
[(1 + r)Y1 + Y2] ·
[
(2 + r)− (1 + r)
(1 + r)(2 + r)
]
=
C2
1 + r
[(1 + r)Y1 + Y2] ·
[
2 + r − 1− r
(1 + r)(2 + r)
]
=
C2
1 + r
[(1 + r)Y1 + Y2] ·
[
1
(1 + r)(2 + r)
]
=
C2
1 + r
(1 + r)Y1 + Y2
(2 + r)
= C2
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