Integral definida Riemann

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II. La integral definida
Dpto. Académico de Matemática
UNALM
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) II. La integral definida Ciclo: 2020 -II 1 / 10
2.1 La integral definida como un ĺımite de sumas
Definición (Suma )
Designamos la suma de los números reales x1, x2, · · · , xn, mediante la
notación
n∑
i=1
xi = x1 + x2 + · · ·+ xn
Aśı por ejemplo, tenemos:
4∑
i=1
i3 = 13 + 23 + 33 + 43.
2∑
k=−1
(4k + 1) = (4 (−1) + 1) + (4 (0) + 1) + (4 (1) + 1) + (4 (2) + 1) .
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Propiedades de las sumas
i.
n∑
i=1
c = cn ii.
n∑
i=1
cxi = c
n∑
i=1
xi iii.
n∑
i=1
(xi ± yi ) =
n∑
i=1
xi ±
n∑
i=1
yi
Algunas sumas importantes:
1
n∑
i=1
i =
n (n + 1)
2
2
n∑
i=1
i2 =
n (n + 1) (2n + 1)
6
3
n∑
i=1
i3 =
n2 (n + 1)2
4
4
n∑
k=1
ak =
a (1− an)
1− a
, a > 0, a 6= 1
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Definición (Partición)
Sea [a, b] un intervalo cerrado con a < b. El conjunto
P = {x0, x1, . . . , xn} ⊂ [a, b]
es denominada una partición de [a, b], si
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
y los xi no necesariamente son equidistantes.
Cabe señalar que la partición P divide al intervalo [a, b] en n-subtintervalos
[xi−1, xi ] con i = 1, 2, . . . , n; y cuya longitud se denota ∆xi = xi − xi−1.
Cuando la partición P es regular (xi equidistantes) se tiene ∆xi =
b − a
n
.
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Definición (Suma de Riemann)
Sea f una función definida en [a, b] y sea P una partición de [a, b] dada por
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b,
donde ∆xi es la longitud del i-ésimo intervalo. Si ti es cualquier punto del
i-ésimo intervalo [xi−1, xi ] , entonces la suma
n∑
i=1
f (ti ) ∆xi , xi−1 ≤ ti ≤ xi
se llama suma de Riemann de f para la participación P.
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Definición (La integral definida )
Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y el ĺımite de la
suma de Riemann de f sobre la partición P de [a, b]
lim
‖∆‖→0
n∑
i=1
f (ti ) ∆xi , donde xi−1 ≤ ti ≤ xi , ∆xi = xi − xi−1
existe, entonces decimos que f es integrable en [a, b] y el ĺımite es
denotado por
lim
‖∆‖→0
n∑
i=1
f (ti ) ∆xi =
∫ b
a
f (x) dx .
El valor real del ĺımite es llamado integral definida (o integral de Riemann)
de f desde a hasta b. El número a es el ĺımite inferior de integración y el
número b es el ĺımite superior de integración.
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Teorema
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea P una
partición regular de [a, b]. Supongamos que para cada entero n ≥ 1 es
dada la suma de Riemann
n∑
i=1
f (ti ) ∆x , xi−1 ≤ ti ≤ xi , ∆x =
b − a
n
entonces ∫ b
a
f (x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (ti ) ∆x .
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Ejemplo
Usando sumas de Riemann, calcule
∫ 3
0
(
4x − x2
)
dx .
Solución. Notemos que f (x) = 4x − x2, x ∈ [0, 3] .
∆x = b−an =
3−(0)
n =
3
n , xi = a +
(
b−a
n
)
i = 0 + 3in
Sea ti = xi ∈ [xi−1, xi ] . Entonces f (ti ) = 4
(
3i
n
)
−
(
3i
n
)2
.
Ahora, reemplazando en la suma y efectuando las operaciones respectivas
tenemos:∫ 3
0
(
4x − x2
)
dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (ti ) ∆x = lim
n→∞
n∑
i=1
(
12i
n
− 9i
2
n2
)
3
n
= lim
n→∞
[
36
n
n∑
i=1
i − 27
n3
n∑
i=1
i2
]
= lim
n→∞
[
36
n2
(
n (n + 1)
2
)
− 27
n3
(
n (n + 1) (2n + 1)
6
)]
= 18− 9 = 9.
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Ejemplo
Usando sumas de Riemann calcule
∫ 2
−1
4xdx .
Solución.
Notemos que f (x) = 4x , x ∈ [−1, 2] .
∆x = b−an =
2−(−1)
n =
3
n , xi = a +
(
b−a
n
)
i = −1 + 3in
Sea ti = xi ∈ [xi−1, xi ] . Entonces f (ti ) = 4(−1+
3i
n ).
Reemplazando en la suma y efectuando las operaciones respectivas tenemos:∫ 2
−1
4xdx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (ti ) ∆x = lim
n→∞
n∑
i=1
(
4(−1+
3i
n )
) 3
n
= lim
n→∞
[
3
4n
n∑
i=1
(
4
3
n
)i]
= lim
n→∞
3
4n
(
4
3
n
(
1− 43
)
1− 4
3
n
)
=
63
4 ln 4
.
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Ejercicos propuestos
Usando sumas de Riemann, calcule las siguientes integrales.
1
∫ 1
0
(2x) dx
2
∫ 3
0
(
x2 − x
)
dx
3
∫ 2
−1
(x + 2)2 dx
4
∫ 1
−1
(
x + 42x
)
dx
En los ejercios 5 - 6 exprese como una integral definida los siguientes
ĺımites.
5 L = lim
n→∞
n∑
i=1
5in5
(n + i)7
6 L = lim
n→∞
n∑
j=1
2j√
2n4 − jn2
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