Integración por descomposición del integrando en fracciones parciales

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Integral Indefinida
Departamento Académico de Matemática
Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo: 2020 - II
Departamento Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo: 2020 - II 1 / 19
Contenido
1 1.3.4 Integracion por descomposición del integrando en fracciones parciales
2 Función racional
3 Casos
4 Métodos de integración
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Función Racional
Definición
Una función racional o cociente de polinomios tiene la forma:
f(x) =
P (x)
Q(x)
donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado n y m respectivamente.
Si n < m diremos que la función racional es propia.
Si n ≥ m diremos que la función racional es impropia.
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Ejemplo 1
Dadas las funciones racionales
F (x) =
x3 + 2x3 − 1
x6 + 3x4 + x2 − 10
, G(x) =
x3 + 2x2 − x+ 1
x2 − 12
.
F es una función racional propia.
G es una función racional impropia.
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Teorema
Si f(x) es una función racional impropia, por la división de polinomios, existen dos
polinomios s(x) y r(x).
f(x) =
P (x)
Q(x)
= s(x) +
r(x)
Q(x)
donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x).
Observe que
r(x)
Q(x)
es una función racional propia.
Si queremos determinar la integral
∫
P (x)
Q(x)
dx bastará saber integrar funciones
racionales propias.
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Teorema
Si Q(x) es un polinomio de grado n(n ≥ 1), entonces Q(x) se descompone como
producto de factores lineales y cuadrátivos irreductibles en R.
Teorema
Si P (x)Q(x) es una función racional impropia y Q(x) se descompone como en el Teorema
anterior, entonces P (x)Q(x) se puede escribir como suma de fracciones simples o
fracciones parciales de la forma
A
(ax+ b)k
ó
Ax+B
(ax2 + bx+ c)k
.
Importante : Sabemos integrar cualquiera de las fracciones parciales anteriores.
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Casos
Caso 1 : Si el denominador Q(x) tiene factores factores lineales distintos y ninguno
se repite.
Es decir, si
Q(x) = · · · (a1x+ b1)(a2x+ b2) · · · (akx+ bk) · · ·
Entonces
P (x)
Q(x)
= · · ·+ A1
a1x+ b1
+
A2
a2x+ b2
+ · · ·+ Ak
akx+ bk
+ · · · (1)
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Caso 2 : Si el denominador Q(x) tiene factores lineales y algunos de ellos se
repiten.
Es decir, si el factor lineal (a1x+ b1) se repite k veces.
Q(x) = · · · (a1x+ b1)k · · ·
Entonces
P (x)
Q(x)
= · · ·+ A1
a1x+ b1
+
A2
(a1x+ b1)2
+ · · ·+ Ak
(a1x+ b1)k
+ · · · (2)
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Caso 3 : Si el denominador Q(x) tiene factores cuadráticos irreductibles y ninguno
de ellos se repiten.
Es decir, si
Q(x) = · · · (ax2 + bx+ c) · · ·
Entonces
P (x)
Q(x)
= · · ·+ Ax+B
ax2 + bx+ c
+ · · · (3)
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Caso 4 : Si el denominador Q(x) tiene factores cuadráticos irreductibles repetidos.
Es decir, si
Q(x) = · · · (ax2 + bx+ c)k · · ·
Entonces
P (x)
Q(x)
= · · ·+ A1x+B1
ax2 + bx+ c
+
A2x+B2
(ax2 + bx+ c)2
+ · · ·+ Akx+Bk
(ax2 + bx+ c)k
+ · · · (4)
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Métodos de integración
Los pasos para integrar una función racional
P (x)
Q(x)
son los siguientes:
I. Si la función racional es propia.
(i) Factorizamos el denominador en factores lineales y factores cuadráticos irreductibles.
(ii) Usar los casos del (1)-(4) para expresar la función racional como suma de fracciones
parciales.
(iii) Integrar la suma de estas fracciones parciales.
II. Si la función racional es impropia, realizamos la división de polinomios
P (x)
Q(x)
= s(x) +
r(x)
Q(x)
,
y realizamos los pasos (1)-(4) para
r(x)
Q(x)
.
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Ejemplo 2
Integrar
I =
∫
P (x)
Q(x)
dx =
∫
x3 − 3x+ 2
x2 + x− 2
dx.
Resolución : La función racional es impropia. Luego
P (x)
Q(x)
= s(x) +
r(s)
Q(x)
= (x− 1) + 1
x2 + x− 2
.
(i) Factorizamos Q(x)
x2 + x− 2 = (x− 1)(x+ 2).
(ii) Expresamos r(x)Q(x) como suma de fracciones parciales
1
x2 + x− 2
=
1
(x− 1)(x+ 2)
=
A
x− 1
+
B
x+ 2
.
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Determinamos los valores A y B
1 = (A+B)x+ (2A−B)
A+B = 0, 2A−B = 1⇒ A = 1/3, B = −1/3.
Ası́
P (x)
Q(x)
= (x− 1) + 1/3
x− 1
+
−1/3
x+ 2
.
(iii) Integramos ∫
P (x)
Q(x)
dx =
∫
(x− 1)dx+
∫
1/3
x− 1
dx+
∫
−1/3
x+ 2
dx.
Por tanto
I =
x2
2
− x+ 1
3
ln |x− 1| − 1
3
ln |x+ 2|+ C.
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Ejemplo 3
Integrar
I =
∫
P (x)
Q(x)
dx =
∫
2x2 − x+ 4
x3 + 4x
dx.
Resolución : La función racional es propia. Luego
(i) Facorizamos Q(x)
Q(x) = x3 + 4x = x(x2 + 4).
(ii) Expresamos P (x)Q(x) como suma de fracciones parciales
2x2 − x+ 4
x(x2 + 4)
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 4
.
Determinamos los valores de A,B y C
2x2 − x+ 4 = A(x2 + 4) + (Bx+ C)x,
= (A+B)x2 + Cx+ 4A,
ası́ A+B = 2, C = −1 y 4 = 4A⇒ A = 1, B = 1 y C = −1.
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Luego
P (x)
Q(x)
=
2x2 − x+ 4
x(x2 + 4)
=
1
x
+
x− 1
x2 + 4
.
(iii) Integramos ∫
P (x)
Q(x)
dx =
∫
2x2 − x+ 4
x(x2 + 4)
dx =
∫
1
x
dx+
∫
x− 1
x2 + 4
dx,
= ln |x|+
∫
x
x2 + 4
dx−
∫
dx
x2 + 4
.
Haciendo un cambio de variable (u = x2) en la primera integral del lado derecho.
Por tanto
I = ln |x|+ 1
2
ln(x2 + 4)− 1
2
arctan(x/2) + C.
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Ejemplo 4
Integrar
I =
∫
1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
dx.
Resolución : La función racional es propia. Luego
(i) Factorizamos Q(x)
Q(x) = x(x2 + 1)2.
(ii) Expresamos P (x)Q(x) como suma de fracciones parciales
1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 1
+
Dx+ E
(x2 + 1)2
.
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Determinamos los valores de las constantes A,B,C,D y E
−x3 + 2x2 − x+ 1 = A(x2 + 1)2 + (Bx+ C)x(x2 + 1) + (Dx+ E)x,
= (A+B)x4 + Cx3 + (2A+B +D)x2 + (C + E)x+A,
igualando coeficientes
A+B = 0, C = −1, 2A+B +D = 2, C + E = −1, A = 1
⇒ A = 1, B = −1, C = −1, D = 1 y E = 0.
Luego
P (x)
Q(x)
=
1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
dx =
1
x
− x+ 1
x2 + 1
+
x
(x2 + 1)2
.
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(iii) Integramos∫
P (x)
Q(x)
dx =
∫
1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
dx =
∫ (
1
x
− x+ 1
x2 + 1
+
x
(x2 + 1)2
)
dx,
=
∫
1
x
dx−
∫
x+ 1
x2 + 1
dx+
∫
x
(x2 + 1)2
dx.
Por tanto ∫
P (x)
Q(x)
dx = ln |x| − 1
2
ln(x2 + 1)− arctan(x)− 1
2(x2 + 1)
+ C.
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Ejercicios Propuestos :
1 Calcule
∫
x4 + 3x2 − x+ 2
x3 − x2 + 4x− 4
dx
2 Calcule
∫
x3 + 3x2 − 2x− 1
x2 − 1
dx
3 Calcule
∫
3x4 + 4
x2(x2 + 1)3
dx
4 Calcule
∫
x3 + x− 1
(x2 + 2)2
dx
5 Calcule
∫
3x2 + 1
(x2 + 1)3
dx
6 Calcule
∫
3x2 + x+ 3
(x− 1)3(x2 + 1)
dx
7 Calcule
∫
1
x3 + 4x2 + 6x+ 4
dx
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	1.3.4 Integracion por descomposición del integrando en fracciones parciales
	Función racional
	Casos 
	Métodos de integración