Calculo diferencial Universidad-111

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Se puede determinar los valores máximos y mínimos también 
denominados extremos de toda una función o de solo un intervalo de 
la misma. Se verá que al encontrar estos valores, resulta más fácil deter-
minar la gráfica. El encontrar los extremos de una función es posible 
resolver ciertos tipos de problemas de optimización. Se establecerán de-
finiciones importantes para encontrar los valores máximos y mínimos 
de una función f que es continua sobre un intervalo cerrado f. 
4.3.1 Extremos absolutos
En la gráfica de la función f(x) = x2 -2x +3 es evidente observar 
que hay un punto A(1;2) que es el valor más bajo que toma la variable 
dependiente y denominándose este punto mínimo absoluto de la fun-
ción f(x) = x2 -2x +3
Figura 5 
Extremo absoluto
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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4.3.2 Definiciones de máximos y mínimos locales y absolutos 
Una función ftiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si 
f(c) ≥ f(x) para todo x enD, dondeD es el dominio de f. El número f(c) se llama valor 
máximo de fenD, de manera análoga, ftiene un mínimo absoluto en f(c) ≤ f(x) para 
todo x en D; el número f(c) se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo 
y mínimo de f se conocen como valores extremos de f
Ejemplo 1: Determinar gráficamente si la función
f(x) = 4x3+ 3x2- 6x +1posee algún extremo absoluto.
solución
Figura 6 
Función del ejemplo 1
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Si graficamos esta función observamos que la función no presen-
ta ningún extremo absoluto, pero se puede observar un máximo (punto 
A) y un mínimo (punto B) que se podrían denominar locales depen-
diendo del intervalo que se estudie.
4.3.3 Puntos estacionarios y puntos críticos
Teorema de valor extremo: si f es continua sobre un intervalo cerrado [a,b], entonces 
f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos 
números c y ddentro del intervalo [a,b].
Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que f ‘ (c) 
= 0 o es indefinida. Si ftiene un máximo o mínimo local en c, entonces c es un nú-
mero crítico de f
Ejemplo 2: Determinar los números críticos de f(x) = 3x3 -4x +8 
solución
Al diferenciar y factorizar obtenemos
f ‘(x) = 9x2 -4
Igualamos a 0 para determinar en qué valores de x la pendiente 
es 0 y tenemos:
9x2 -4 = 0
Despejando tenemos que:
𝑥𝑥 = ±�
4
9
= ±
2
3
 
Por lo tanto observamos que f ‘(x)= 0 es decir pendiente es igual 
a cero en la función en los puntos cuando x = -2/(3 ) yx = 2/3 es decir 
estos son los números críticos.