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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 608
Además, como esta serie converge también parax D 1, el teorema de Abel nos dice que:
�
4
D arc tg1D lKım
x!1
x<1
arc tgx D
1X
nD0
.�1/n
2nC 1
Serie binomial de Newton
Consideremos la funciónf .x/D.1Cx/˛, dondę 2 RnZ, ya que parą 2Z el desarrollo
es conocido. Calculemos la serie de Taylor def en0. Tenemos que
f 0.x/D ˛.1C x/˛�1
f .n.x/D ˛.˛ � 1/ � � � .˛ � nC 1/.1C x/˛�n
Los coeficientes de la serie serán:
f .n.0/
n!
D ˛.˛ � 1/ � � � .˛ � nC 1/
n!
D
�
˛
n
�
:
Por tanto la serie de Taylor def es:
X
n>0
�
˛
n
�
xn:
Calculemos su radio de convergencia.
cn D
�
˛
n
�
)
ˇ̌
ˇ̌cnC1
cn
ˇ̌
ˇ̌D j˛ � njjnC 1j ! 1
Por tanto, el radio de convergencia esRD 1. Definamos parajxj < 1
g.x/D
1X
nD0
�
˛
n
�
xn; .jxj < 1/
Queremos probar ahora que la función suma de la serie,g, coincide con la funciónf en el
intervalo � � 1; 1Œ. Para esto consideremos la funciónh.x/ D .1 C x/�˛g.x/, definida para
jxj < 1. Calculemosh 0.
h 0.x/D�˛.1C x/�˛�1g.x/C .1C x/�˛g 0.x/D .1C x/�˛�1
�
�˛g.x/C .1C x/g 0.x/
�
Analicemos ahora la expresión entre corchetes,
.1C x/g 0.x/� ˛g.x/D .1C x/
1X
nD1
n
�
˛
n
�
xn�1 � ˛
1X
nD0
�
˛
n
�
xn
D
1X
nD1
n
�
˛
n
�
xn�1 C
1X
nD1
n
�
˛
n
�
xn � ˛
1X
nD0
�
˛
n
�
xnD
D
1X
nD0
�
.nC 1/
�
˛
nC 1
�
� ˛
�
˛
n
�
C n
�
˛
n
��
xnD
D
1X
nD0
�
.nC 1/
�
˛
nC 1
�
C .n � ˛/
�
˛
n
��
xn D 0
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 609
Hemos probado queh 0.x/D0 para todox 2��1; 1Œ, de donde deducimos queh.x/ es constante,
y comoh.0/D 1, concluimos queg.x/D .1C x/˛ parajxj < 1. Hemos probado así que:
.1C x/˛ D
1X
nD0
�
˛
n
�
xn; .jxj < 1/
Para centrar esta serie en un puntoa > �1 podemos proceder como sigue:
.1C x/˛ D .1C aC .x � a//˛ D .1C a/˛
�
1C x � a
1C a
�˛
D .1C a/˛
1X
nD0
�
˛
n
��
x � a
1C a
�˛
D
D
1X
nD0
�
˛
n
�
1
.1C a/n�˛ .x � a/
n siempre que jx � aj < 1C a:
Donde hemos tenido en cuenta que1C a > 0.
Serie de Taylor del arcoseno en cero
Seaf .x/D arc senx, su derivada viene dada como:
f 0.x/D 1p
1 � x2
D .1� x2/�1=2
Haciendo las sustitucionesx ! �x2 y ˛ ! �1=2 en la serie binomial de Newton obtenemos:
f 0.x/D .1� x2/�1=2 D
1X
nD0
��1=2
n
�
.�x2/n D
1X
nD0
��1=2
n
�
.�1/nx2n .jxj < 1/:
Integrando término a término la expresión anterior obtenemos la serie del arcoseno:
arc senx D
1X
nD0
��1=2
n
�
.�1/n
2nC 1x
2nC1 .jxj < 1/
Como
��1=2
n
�
D �1=2.�1=2 � 1/ � � � .�1=2 � nC 1/
n!
D .�1/n 1
2n
3 � 5 � � � .2n� 1/
n!
D
D .�1/n 3 � 5 � 7 � � � .2n � 1/
2 � 4 � 6 � .2n/
Resulta finalmente:
arc senx D x C
1X
nD1
3 � 5 � 7 � � � .2n � 1/
2 � 4 � 6 � .2n/
1
2nC 1x
2nC1 .jxj < 1/
Además, como la serie también converge parax D 1, por el teorema de Abel tenemos que:
arc sen1D �
2
D 1C
1X
nD1
3 � 5 � 7 � � � .2n � 1/
2 � 4 � 6 � .2n/
1
2nC 1
Ya dijimos que las series de Taylor de una función no siempre convergen a dicha función.
Veamos un ejemplo de esto.
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 610
10.33 Ejemplo. Consideremos la funciónf WR! R definida de la siguiente forma
f .x/D
(
e�1=x
2
si x > 0
0 si x 6 0
La función es de clase infinito, y puede probarse sin dificultad quef .n/.0/ D 0 para todo
n D 0; 1; 2; : : :, por lo que su serie de Taylor ena D 0 es la serie idénticamente nula que,
evidentemente, no converge af en ningún intervaloabiertoque contenga a0. �
Por esta razón se define una clase de funciones que son precisamente aquellas que pueden
representarse localmente por sus series de Taylor.
10.34 Definición. Se dice quef es unafunción analítica en un intervalo abiertoI si para
cada puntoa2I hay una serie de potencias centrada ena que converge en un intervalo abierto
no vacíoJa, y su suma es igual af en el intervaloJa \ I .
Dicho de forma más concisa: las funciones analíticas son lasfunciones que se representan
localmente por medio de series de potencias. Teniendo en cuenta el teorema de derivación y el
carácter local de la derivabilidad, es inmediato que una función f es analítica en un intervalo
abiertoI si, y sólo si, se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. f 2 C 1.I /.
2. Para todo puntoa 2 I la serie de Taylor def ena converge en un intervalo abierto no
vacíoJa, y su suma es igual af en el intervaloJa \ I .
10.35 Ejemplos.Hemos visto antes que para todoa > 0 se verifica que:
logx D logaC
1X
nD0
.�1/n
.nC 1/anC1 .x � a/
nC1 .jx�aj<a/: (10.11)
Esto nos dice que la función logaritmo es analítica en el intervalo ID�0;C1Œ. Observa que en
cada puntoa > 0 la serie de Taylor del logaritmo converge en el intervaloJaD�0; 2aŒ y es en
ese intervalo en donde representa a la función. El intervaloes tanto más pequeño cuanto más
próximo estéa de0.
También hemos visto que para todoa > �1 se verifica que:
.1C x/˛ D
1X
nD0
�
˛
n
�
1
.1C a/n�˛ .x � a/
n jx � aj < 1C a:
Esto nos dice que la funciónf .x/ D .1 C x/˛ es analítica en el intervaloID� � 1;C1Œ.
Observa que en cada puntoa > �1 la serie de Taylorf converge en el intervalo abierto no
vacíoJaD� � 1; 2aC 1Œ y es en ese intervalo en donde representa a la función. El intervalo es
tanto más pequeño cuanto más próximo estéa de�1.
De la misma forma, los resultados vistos para las funciones exponencial, seno y coseno,
muestran que dichas funciones son analíticas enR y sus series de Taylor en cualquier punto
convergen en todoR.
La función del ejemplo10.33no es analítica en ningún intervalo abierto que contenga a0,
pero sí es analítica en intervalos abiertos que no contengana0.
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