Deposito Algebra lineal (81)

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241 Espacio vectorial euclídeo 
Como los vectores G�& y G�' son combinación lineal de los vectores %��& y %��', el subespacio 
vectorial generado por $G�&, G�'* está contenido en el subespacio vectorial generado por $%��&, %��'*: 〈G�&, G�'〉 ⊆ 〈%��&, %��'〉 
Además, ambos subespacios vectoriales tienen la misma dimensión, por lo que son iguales: 
〈G�&, G�'〉 = 〈%��&, %��'〉 
Se construye un vector d���h = %��h + i&G�& + i'G�' y se determinan i& y i' de forma que d���h sea 
ortogonal a G�& y a G�': 
jG�& · d���h = 0G�' · d���h = 0
C ⇒ jG�& · %��h + i& = 0G�' · %��h + i' = 0
C ⇒ ji& = −(G�& · %��h)i' = −(G�' · %��h)
C 
Sustituyendo los valores de i& y i' en la expresión de d���h: 
d���h = %��h − (G�& · %��h)G�& − (G�' · %��h)G�' 
Este vector no es nulo porque si lo fuese, existiría una relación de dependencia lineal entre los 
vectores G�&, G�' y %��h, y teniendo en cuenta que 〈G�&, G�'〉 = 〈%��&, %��'〉, los vectores $%��&, %��', %��h* 
serían linealmente dependientes, lo cual no es cierto. 
Se normaliza el vector d���h obteniéndose así el tercer vector de la base F: 
G�h = d���h‖d���h‖ 
Razonando de forma similar, se puede demostrar que 〈G�&, G�', G�h〉 = 〈%��&, %��',, %��h〉. 
Repitiendo el proceso anterior, se consigue la base ortonormal F = $G�&, G�', … , G�)* del espacio 
vectorial euclídeo �. 
6.7 Subespacios vectoriales ortogonales 
Definición: Sean (�,∙) un espacio vectorial euclídeo y k& y k' dos subespacios vectoriales del 
mismo. Se dice que k& y k' son ortogonales si cualquier vector de k& es ortogonal a cualquier 
vector de k', es decir, 
�� · 
� = 
� · �� = 0, ∀�� ∈ k&, ∀
� ∈ k' 
Proposición: Sean (�,∙) un espacio vectorial euclídeo y k& y k' dos subespacios vectoriales 
ortogonales del mismo, entonces k& ∩ k' = $0��*. 
 
 
242 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Proposición: Sean (�,∙) un espacio vectorial euclídeo y m un subespacio vectorial del mismo. 
El conjunto formado por todos los vectores que son ortogonales a los vectores de m es un 
subespacio vectorial de � denominado subespacio ortogonal de m y se denota por mn. 
mn = $�� ∈ �: �� · 
� = 0	∀
� ∈ m	* 
Teorema: Sean m y ; dos subespacios vectoriales de �, entonces se verifican las siguientes 
propiedades: 
- �m + ;�n = mn ∩ ;n 
- �mn�n = m 
- m ⊆ ; ⇒ ;n ⊆ mn 
- �m ∩ ;�n = mn + ;n 
Teorema: Sean ��,∙� un espacio vectorial euclídeo y m un subespacio vectorial del mismo. 
Entonces � = m⨁mn, es decir: 
- m ∩ mn = $0��* 
- � = m + mn 
 
 
 
243 Espacio vectorial euclídeo 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
P1. Sea el espacio vectorial euclídeo �ℝ�,∙� y sea ��	 = ���, �
, … , ��� ∈ ℝ�. Determinar si las 
siguientes funciones son normas asociadas a algún producto escalar de este espacio vectorial: 
a) ‖��	‖ = ���
 + �

 +…+ ��
 
b) ‖��	‖ = |��| + |�
| + ⋯+ |��| 
c) ‖��	‖ = �|��| + |�
| + ⋯+ |��| 
 
RESOLUCIÓN 
Una función es una norma si cumple las siguientes propiedades 
- ‖��	‖ ≥ 0, ∀��	 ∈ ℝ�		y ‖��	‖ = 0, si y sólo si, ��	 = 0�	 
- ∀��	 ∈ ℝ�, ∀� ∈ ℝ, ‖���	‖ = |�|‖��	‖ 
- ∀��	, �	 ∈ ℝ�, ‖��	 + �	‖ ≤ ‖��	‖ + ‖�	‖ 
 
a) Se comprueba si la función ‖��	‖ = ���
 + �

 +…+ ��
 verifica las propiedades 
- ‖��	‖ = ���
 + �

 +…+ ��
 ≥ 0, ∀��	 ∈ ℝ� 
 Si ‖��	‖ = ���
 + �

 +…+ ��
 = 0 ⇒ �� = 0 ∀� = 1,2,… , !		puesto que ��
 ≥ 0		 
 ∀� = 1,2, … , !	 ⇒ ��	 = 0�	. 
- ‖���	‖ = ‖����, ��
, … , ����‖ = ������
 + ���
�
 +⋯+ �����
	
											= "�
���
 + �

 +…+ ��
� = |�|"��
 + �

 +…+ ��
	
											= |�|‖��	‖, ∀��	 ∈ ℝ�, ∀� ∈ ℝ	
- ‖��	 + �	‖
 = ��� + #��
 + ��
 + #
�
 +⋯+ ��� + #��
 =	
																			= ��
 + 2��#� + #�
+�

 + 2�
#
 + #

 +…+ ��
 + 2��#� + #�
	
																			= ��
+�

 +…+ ��
+2���#� + �
#
 +⋯+ ��#�� + #�
 + #

 +⋯+ #�
	
																			= ‖��	‖
 + 2���#� + �
#
 +⋯+ ��#�� + ‖�	‖