Ejercicio resueltos de algebra lineal para computacion (10)

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Kendall Rodŕıguez Bustos..................................................................................................................26
Aśı, 〈At〉ij = 〈A〉ij ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n} .
Por lo tanto, si A = B − 2
X tX
XX t con B una matriz simétrica, entonces At = A. �
18. Calcule el determinante de orden n:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 · · · n
1 x+ 1 3 · · · n
1 2 x+ 1 · · · n
...
...
...
. . .
...
1 2 3 · · · x+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Solución:
Se aplican operaciones elementales buscando transformarlo en una matriz triangular superior para
calcular su determinante; multiplicando los elementos de su diagonal.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 · · · n
1 x+ 1 3 · · · n
1 2 x+ 1 · · · n
...
...
...
. . .
...
1 2 3 · · · x+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−F1+F2−→
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 · · · n
0 x− 1 0 · · · 0
1 2 x+ 1 · · · n
...
...
...
. . .
...
1 2 3 · · · x+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−F1+F3−→
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 · · · n
0 x− 1 0 · · · 0
0 0 x− 2 · · · 0
...
...
...
. . .
...
1 2 3 · · · x+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−F1+F4
...−→
−F1+Fn−2
−F1+Fn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 · · · n
0 x− 1 0 · · · 0
0 0 x− 2 · · · 0
...
...
...
. . .
...
1 2 3 · · · x+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−F1+Fn−→
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 · · · n
0 x− 1 0 · · · 0
0 0 x− 2 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · x− (n− 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Por lo tanto, su determinante es igual a (x− 1)(x− 2) · ... · (x− (n− 1)). �
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19. Se sabe que si A es una matriz de n× n que posee inversa, se cumple:
A · Adj(A)
det(A)
= In
Donde In es la matriz identidad de n × n. Demuestre que si B es una matriz de n × n que posee
inversa, entonces:
(Adj (Bt))
t
= det(B) ·B−1
Solución:
Hipótesis: A · Adj(A)
det(A)
= In, donde además se tiene que A es una matriz de n× n.
HQM: (Adj (Bt))
t
= det(B) ·B−1, con B una matriz de n× n.
En esta prueba, partiremos de la conclusión (lo que se quiere probar) y lo trabajaremos hasta llegar
a una afirmación verdadera.
(
Adj
(
Bt
))t
= det(B) ·B−1
2
⇔
(
Adj(B)t
)t
= det(B) ·B−1
3
⇔ Adj(B) = det(B) ·B−1
⇔ B · Adj(B) = B
(
det(B) ·B−1
)
⇔ B · Adj(B) = det(B) ·
(
B ·B−1
)
⇔ B · Adj(B) = det(B) · In
⇔ B · Adj(B)
det(B)
= In (Hipótesis)
Como la última igualdad es verdadera entonces (Adj (Bt))
t
= det(B) ·B−1 es verdadera.
2Si A es una matriz de n× n entonces Adj (At) = [Adj(A)]t.
3Si A es una matriz de n× n entonces (At)t = A.
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Por lo tanto, si A y B son matrices invertibles de tamaño n×n, donde se cumple que A·Adj(A)
det(A)
= In,
entonces (Adj (Bt))
t
= det(B) ·B−1. �
20. Suponga que A es una matriz de n × n que satisface la condición A2 = A. Pruebe que que
∀k ∈ N, con k ≥ 1, se cumple que:
(A+ In)
k = In +
(
2k − 1
)
A
Solución:
Se demuestra por inducción sobre k.
• Para k = 1⇔ (A+ In)1 = In + (21 − 1)A⇔ A+ In = In + A X.
• Asumimos validez para algún k > 1, es decir (A+ In)k = In +
(
2k − 1
)
A es nuestra hipótesis
inductiva (HI).
• Con base en lo anterior hay que probar la validez para k + 1, es decir, hay que probar
(A+ In)
k+1 = In +
(
2k+1 − 1
)
A.
• Prueba:
(A+ In)
k+1 = (A+ In)
k (A+ In)
HI
=
(
In +
(
2k − 1
)
A
)
(A+ In)
= In · A+ In2 +
(
2k − 1
)
A2 +
(
2k − 1
)
A · In
= A+ In +
(
2k − 1
)
A+
(
2k − 1
)
A
(
Hipótesis: A2 = A
)
= A+ In + 2
(
2k − 1
)
A
= In + 2
(
2k − 1
)
A+ A
= In +
(
2k+1 − 2
)
A+ A